Lois de composition de Bhargava 

Lois de composition de Bhargava

Nous verrons ici qu’il existe un autre moyen de structurer les classes d’equivalence sous forme de groupe. En e®et, grace aux travaux du mathematicien Manjul Bhargava, notamment dans [1], il nous est possible d’associer une forme quadratique µa un cube de dimension 2 £ 2 £ 2 ou autrement dit, de relier l’espace des formes quadratiques µa l’espace de ces m^emes cubes. Ainsi, Bhargava formula une loi encore plus generale que celle de Gauss au sens oµu elle donne naissance µa d’autres lois de composition.

Loi du cube

Nous mettrons en relief dans cette section comment Bhargava reussit µa extirperd’un cube 2 £ 2 £ 2 trois formes quadratiques. Nous enoncerons egalement une loi fondamentale, celle du cube, µa partir de laquelle nous retrouverons implicitement la loi de composition de Gauss vue précédemment. Il nous sera ainsi possible de relier l’espacedes cubes et l’espace des formes quadratiques, mais voyons tout d’abord comment µa l’aide de ce qu’il appelle les coupes fondamentales Bhargava g¶enµere ses trois formes.

Cube et formes quadratiques

Il s’agit tout d’abord de consid¶erer un vecteur de l’espace tensoriel C2 := Z2 ­ Z2 ­ Z2 comme un cube de dimension 2 £ 2 £ 2. En e®et, puisque C2 ‘ Z8, nous avons que C2 est un groupe ab¶elien libre de rang 8. Notons par fe1; e2g la base standard de Z2. Nous obtenons ainsi avec les propri¶et¶es du produit tensoriel une base pour l’espace C2 soit la base form¶ee des vecteurs ei ­ ej ­ ek pour tout 1 · i; j; k · 2.
La prochaine ¶etape consiste µa tisser le lien qui unit l’espace des cubes µa celui des formes quadratiques. En fait, trois formes quadratiques peuvent ^etre induites d’un cube A 2 C2. Pour ce faire, nous devons couper le cube selon trois plans distincts séparant celui-ci en deux matrices 2 £ 2 pour chaque coupe.
Cube A
Ainsi, le cube A ci-haut peut s’écrire
ae1 ­ e1 ­ e1 + be1 ­ e2 ­ e1 + ce2 ­ e1 ­ e1 + de2 ­ e2 ­ e1
+ ee1 ­ e1 ­ e2 + fe1 ­ e2 ­ e2 + ge2 ­ e1 ­ e2 + he2 ­ e2 ­ e2;
ce qui nous permet d’associer un vecteur de C2 µa un cube entier (a; b; c; d; e; f; g; h 2 Z) et ainsi relier les deux espaces.
Nous pouvons donc µa partir de ce cube A et des matrices ainsi obtenues construire les trois formes quadratiques suivantes :
8>>><
>>>:
QA1
(x; y) = ¡D¶et(M1x ¡ N1y);
QA2
(x; y) = ¡D¶et(M2x ¡ N2y);
QA3
(x; y) = ¡D¶et(M3x ¡ N3y):
Explicitement, nous obtenons les formes :
8>>><
>>>:
QA1
(x; y) = (bc ¡ ad)x2 + (ah + ed ¡ bg ¡ cf)xy + (fg ¡ eh)y2;
QA2
(x; y) = (ce ¡ ag)x2 + (ah + bg ¡ cf ¡ ed)xy + (df ¡ bh)y2;
QA3
(x; y) = (eb ¡ af)x2 + (ah + cf ¡ ed ¡ bg)xy + (gd ¡ ch)y2:

 Action de SL2(Z) £ SL2(Z) £ SL2(Z)

Comme nous avons pu le voir dans le chapitre d’introduction, le groupe multiplicatif SL2(Z) joue un r^ole primordial dans le regroupement des formes quadratiques en classes d’équivalence. Il serait intéressant µa présent de définir, le plus naturellement possible, une action de groupe agissant sur un cube A 2 C2. Définissons donc l’action du groupe SL2(Z)£SL2(Z)£SL2(Z) agissant sur un cube en opérant sur ses six matrices associées et A 2 C2 avec ses 6 matrices associ¶ees au moyen des 3 coupes fondamentales, c’est-µa-dire M1 et N1, M2 et N2 ainsi que M3 et N3. Alors, l’action de ¡ sur le cube A est définie en faisant agir, peu importe l’ordre, chacun des 3 ¶el¶ements de SL2(Z) qui composent ¡.
Pour décrire complµetement le cube A, il est évident qu’il suit de considérer seulement l’une des trois coupes mentionnées plus haut. Pour décrire l’action de ¡ sur A, il faut tout d’abord appliquer ¡1 sur la coupe Devant-Derriµere de A pour obtenir le cube A0 dont la coupe respective Devant-Derriµere sera
M0
1 = r1M1 + s1N1 et N0
1 = t1M1 + u1N1:
Il faut ensuite appliquer ¡2 sur la coupe Gauche-Droite de A0 pour ainsi obtenir le cube A00 dont la coupe Gauche-Droite sera
M00
2 = r2M0
2 + s2N0
2 et N00
2 = t2M0
2 + u2N0
2:
Finalement, il faut appliquer ¡3 sur la coupe Haut-Bas du cube A00 pour obtenir le cube A000 dont la coupe Haut-Bas sera
M000
3 = r3M00
3 + s3N00
3 et N000
3 = t3M00
3 + u3N00
3 :
On démontrera dans un instant que l’ordre ¡1, ¡2, ¡3 n’importe pas. Il su±ra en fait de vérifier que ¡1 suivi de ¡2 donne le m^eme résultat que ¡2 suivi de ¡1.
Cette description en étapes subséquentes peut également ^etre considérée comme une composition des 3 éléments de ¡. En e®et, puisque l’identité de SL2(Z), noté ici Id, n’altµere en rien la coupe sur laquelle elle est appliqu¶ee, on a que ¡ = (Id £ Id £ ¡3) ± (Id £ ¡2 £ Id) ± (¡1 £ Id £ Id):
Il est toutefois primordial de souligner le fait que chacun des ¡i doit op¶erer sur sa coupe respective. Par exemple, pour ¡1£Id£Id, ¡1 agit sur la coupe Devant-Derriµere.
Si par inadvertance, dans le m^eme exemple, ¡1 agissait sur une autre coupe, alors il en résulterait un cube totalement difirent n’ayant plus aucun lien avec la conception de ¡ telle qu’imagin¶ee par Bhargava. Sous cette action, il est possible de regrouper les cubes en classes d’¶equivalence de la m^eme fa»con que SL2(Z) regroupe les formes quadratiques.
Le lemme suivant soulµeve le fait important que l’action des ¡i commute, puisque selon Bhargava ([1]) celles-ci correspondent µa des op¶erations matricielles commutatives de lignes et de colonnes dans M2£2(Z). Ainsi, comme nous le montrerons, le cube d’arrivée est invariant en ce qui concerne le choix de l’ordre des applications ¡i.
Lemme. Soit ¡ = (¡1; ¡2; ¡3). Alors les ¡i pour 1 · i · 3, commutent entre eux.
Démonstration. Il est su±sant de d¶emontrer que ¡1 commute avec ¡2. Soit ¡ = (¡1; ¡2; ¡3) dont les entr¶ees de ¡1 et de ¡2 .
On calcule premiµerement l’action de ¡1 appliqu¶ee µa la coupe Devant-Derriµere de A µa laquelle on fera suivre celle de ¡2 appliqu¶ee µa la coupe Gauche-Droite du nouveau cube ainsi obtenu. On a donc pour ¡1 par rapport µa A :
M0
1 = r1M1 + s1N1 et N0
1 = t1M1 + u1N1;
Calculons maintenant l’ordre inverse en appliquant cette fois ¡2 suivi de ¡1. Lorsqu’on fait agir ¡2 sur la coupe Gauche-Droite de A, on obtient
M0
2 = r2M2 + s2N2 et N0
2 = t2M2 + u2N2;

Discriminant

Nous avons remarqué dans l’introduction de ce mémoire que les classes d’équivalence sont en nombre ¯ni si le discriminant est ¯x¶e et infini autrement. Tout comme pour les formes quadratiques, il serait intéressant de pouvoir parler du discriminant d’un cube et ainsi ^etre en mesure d’en tirer des conclusions analogues µa celles sur le discriminant d’une forme quadratique. Pour ce faire, nous constaterons que les trois formes reliées au cube ont tous le m^eme discriminant. Il su±t donc de poser le discriminant d’un cube égal µa celui des trois formes quadratiques associées.

Table des matières

1 Introduction 
1.1 L’action de SL2(Z)
1.2 Loi de composition de Gauss
2 Lois de composition de Bhargava 
2.1 Loi du cube
2.1.1 Cube et formes quadratiques
2.1.2 Action de SL2(Z) £ SL2(Z) £ SL2(Z)
2.1.3 Discriminant
2.1.4 Composition de Gauss revue
2.2 Lois de groupe
2.2.1 Groupe de classes de formes quadratiques
2.2.2 Groupe de classes de cubes
2.2.3 Composition des formes cubiques binaires
3 Groupe de classes et ideaux 
3.1 Rappels sur le groupe de classes
3.2 Formes et idéaux
3.2.1 Fonction Trace
3.2.2 Classes d’anneaux quadratiques
3.2.3 Classes d’anneaux cubiques
3.2.4 Formes quadratiques binaires et idéaux
3.3 Cubes et idéaux
4 Parametrisation via les anneaux resolvants
4.1 Théorie de Galois
4.2 Anneaux résolvants
4.2.1 Résolvante quadratique d’un anneau cubique
4.2.2 Résolvante cubique d’un anneau quartique
4.3 Anneaux quartiques et formes quadratiques ternaires
4.3.1 Invariant fondamental
4.3.2 Structure d’anneaux quartiques
4.3.3 Delone et Faddeev
4.3.4 Structure d’un anneau cubique
5 Autres résultats
6 Conclusion
Bibliographie

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