Lois constitutives ou modèles de fluides viscoélastiques

Définitions et modèles de fluides viscoélastiques 

Définitions

Les fluides viscoélastiques sont des matériaux qui concernent le domaine de la rhéologie, la science de l’écoulement. Ils peuvent être définis comme étant des fluides complexes qui possèdent à la fois des propriétés élastiques (temps courts) et visqueuses (temps long). Les fluides viscoélastiques peuvent être également définis comme des fluides qui ont une mémoire continue du comportement du milieu. Ce phénomène de mémoire est très souvent dû au fait que, vu à l’échelle microscopique, le fluide est le mélange d’un solvant et de microstructures qui flottent dans ce solvant (par exemple des chaînes de polymères ou de petits cristaux). Un exemple typique de fluide viscoélastique est la pâte de silly-putty : une boule de silly putty apparaît comme une boule de caoutchouc (aspect solide) ou s’étale comme un fluide visqueux (aspect liquide).

Le caractère viscoélastique est un comportement non-newtonien très important et très fréquent dans les solutions de polymères et dans les polymères fondus. Par contre, la présence de très faibles quantités de hauts polymères en solution peut réduire de manière très significative le gradient de pression nécessaire pour obtenir un écoulement, ce qu’on appelle effet Toms [5]. Les solutions de polyéthylène, la pâte à pain, le sable mouillé et les fibres textiles artificielles sont des fluides viscoélastiques.

Lois constitutives ou modèles de fluides viscoélastiques

L’écoulement des fluides viscoélastiques se traduit par une variation d’énergie interne. Il en résulte une superposition de contraintes visqueuses proportionnelles aux vitesses de déformations et de contraintes élastiques proportionnelles aux déformations. Il nécessite donc un très grand nombre de paramètres pour décrire leurs comportements. Cependant, il n’existe pas une loi constitutive générale satisfaite par ces dernières. Les physico-chimistes ont élaboré plusieurs modèles rhéologiques permettant de bien représenter le comportement des fluides viscoélastiques.

Le modèle de Maxwell

La notion de fluide de Maxwell peut être considérée comme une généralisation du modèle unidimensionnel de viscoélasticité linéaire de Maxwell [8]. Pour le cas d’une solution de polymère assimilable à une fluide viscoélastique, le tenseur des extra-contraintes τ̄ qui lui est associé (c’est-à-dire la partie tangentielle du tenseur des contraintes totales de Cauchy) .

Modélisation mathématique 

L’étude des instabilités des écoulements est très importante pour la compréhension de la mécanique des fluides. La recherche de la solution d’un problème physique nécessite très souvent l’utilisation de grandeurs mathématiques. Ces dernières servent d’outils d’analyse, de calcul, et de mesure permettant de bien cerner le problème.

En mécanique des fluides, en supposant que le fluide est un milieu continu, on peut utiliser les lois classiques de conservations de la masse et de la quantité de mouvement qu’il faut adjoindre la loi de comportement du fluide considéré pour trouver la nature du problème posé.

Analyse de stabilité linaire

Établissement des équations de perturbation

Pour étudier la stabilité linéaire des écoulements parallèles, des champs de petites perturbations sont superposés à l’écoulement de base et la réponse de l’écoulement globale par rapport à cette excitation permet alors de caractériser sa stabilité [13]. La notion de stabilité se définit comme la capacité de l’écoulement perturbé à revenir vers l’état initial (ou état non perturbé). Le cas contraire dit écoulement instable nous intéresse dans cette étude.

Modélisation Numérique 

L’équation d’Orr-Sommerfeld déterminée dans chapitre précédent (soit écrite en fonction de l’amplitude de la vitesse transversale (2.32) ou soit en fonction de l’amplitude de la fonction de courant (2.34)), est une équation différentielle du quatrième ordre, fortement couplé donc difficile à résoudre analytiquement. L’utilisation des méthodes numériques s’avère indispensable. La modélisation numérique consiste en la recherche de solution à des problèmes analytiquement insolubles par des méthodes numériques.

L’équation aux valeurs propres 

Le problème qui apparaît dans la modélisation des fluides viscoélastique si situe précisément au niveau du couplage entre le champ de vitesse et le tenseur des extra contraintes. Ceci apparaît dans l’écriture du second terme du membre de gauche de l’équation d’OrrSommerfeld (3.1) et fait intervenir dans les relations ?? des termes en S−1 qui rendent difficile l’étude et la discrétisation de ce type de modèle. Une telle difficulté est surnommée problème à haut nombre de Weissenberg. Lorsqu’on considère la stabilité temporelle, l’équation d’OrrSommerfeld modifiée (3.1) doit être résolue pour la vitesse de phase c, pour un nombre d’onde α réel et dans le sens de l’écoulement. Le problème temporel peut être écrit comme un problème de valeurs propres généralisé de la forme :

Aφ = cBφ (3.5)

où A et B sont deux matrices dépendant des paramètres de contrôles du système tels que ?? ; ? ; ?? et ?? ) et ? est la fonction propre. Pour la situation d’écoulement pour laquelle We << 1 (proche de zéro) les matrices A et B associées à l’équation d’Orr-Sommerfeld (3.1) sont données par :

A = {D4 − 2α2D2 + α4I} − i{α(1 − μr)Weub(D4 − 2α2D2 + α4I) + αRe( ub(D2 − α2I) − Ub′′

B = −iα[(1 − μr)We(D4 − 2α2D2 + α4I) + Re( D2 − α2I)]

Ce problème aux valeurs propres admet de solution non nulle que si la célérité et le nombre d’onde vérifient une relation de dispersion D(α, c, ?? , ?? , ??) = 0. Lorsqu’on considère l’évolution des perturbations dans l’espace, l’équation d’Orr Sommerfeld modifiée (3.1) est résolue pour un nombre d’onde α dans le sens du flux, en fixant une valeur réelle pour la fréquence. L’idée est de ramener l’équation d’Orr-Sommerfeld modifiée (3.1) sous la forme d’une équation aux valeurs propres selon les différentes résolutions. Puis que le champ de vitesse de l’écoulement de base ?? (?) = 1 − ?2 , est une fonction paire et les conditions aux limites sont symétriques dans ce problème, il est donc possible de séparer les modes symétriques et les modes antisymétriques et rechercher parmi ces deux modes ceux qui seront instables. Cependant, l’analyse de la stabilité de l’écoulement de Poiseuille plan des fluides newtoniens effectuée par Orszag (1971) [11] a montré que les modes antisymétriques étaient plus stables que les modes symétriques. C’est pour cela les modes symétriques sont étudiés dans le cas des fluides viscoélastiques.

Table des matières

Introduction Générale
CHAPITRE I
I.1 Définitions
I.2 Lois constitutives ou modèles de fluides viscoélastiques
I.2.1 Le modèle de Maxwell
I.2.2 Le modèle d’Oldroyd-B
I.2.3 1.2.3 Les modèles de Phan-Thien-Tanner (PTT)
I.2.4 1.2.4 Le modèle de White Metzner
CHAPITRE II
II.1 Introduction
II.2 Description et position du problème
II.2.1 Équation de continuité
II.2.2 Équation du mouvement
II.2.3 La loi de comportement de la solution de polymère
II.3 Équations du système physique
II.4 Conditions initiales et aux limites
II.4.1 Conditions initiales
II.4.2 Conditions aux limites
II.5 Écoulement de base
II.6 Adimensionnalisation des solutions de l’écoulement à l’état de base et des équations du système
II.7 Analyse de stabilité linaire
II.7.1 Établissement des équations de perturbation
II.7.2 Décomposition en modes normaux
II.7.3 Fonction de courant
II.8 Conclusion
CHAPITRE III
III.1 Introduction
III.1 L’équation d’Orr-Sommerfeld
III.1.1 L’équation aux valeurs propres
III.2 Résolution numérique de l’équation d’Orr-Sommerfeld par la méthode spectrale de collocation
III.2.1 Formulation de l’équation aux valeurs propres d’après les coefficients ??
III.2.2 Formulation des conditions aux limites d’après les coefficients ??
III.2.3 Ecriture des systèmes algébriques par la méthode des résidus pondérés
III.3 Conclusion
Conclusion générale et perspective
Références bibliographiques
Résumé
Abstract

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