Loi de frottement

Loi de frottement

REVUE DE LITTERATURE

Introduction

Plusieurs chercheurs ont travaillé sur la modélisation hydrodynamique dans l’étude des écoulements à surface libre dans un canal rectangulaire. Ils ont utilisé plusieurs codes de calcul comme Fluent, CFX, ANSYS, etc.….
Nous abordons les différentes approches de modélisation hydrodynamique utilisées à ce jour, puis nous soulignerons les diverses approches de modélisation de la turbulence, ainsi que leurs différentes caractéristiques.

Ecoulement à surface libre et modélisation hydrodynamique

Les caractéristiques des phénomènes hydrodynamiques dans un cours d’eau sont rattachées à l’étude d’un milieu physique continu. L’équilibre de ce milieu repose sur les principes généraux de conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l’énergie. Nous trouvons dans Mechanics of Fluids par Irving H. Shames (2003) (Deissler, 1976) une description détaillée de la formulation du système d’équations généralisées de Navier Stokes assurant le respect de l’équilibre du milieu. Dans l’ensemble, les équations d’équilibre sont valides pour un fluide newtonien quelconque. Ces relations présentent un système d’équations aux dérivées partielles, non linéaire, couplé, formulé à partir des variables primaires de l’écoulement, soit: les vitesses, la pression et la température.
Considérant un écoulement isotherme, visqueux, et turbulent pour un fluide incompressible, le système d’équations est ramené aux équations de Navier Stokes, aux contraintes de Reynolds moyennées, mieux connues sous le nom de Reynolds Averaged Navier-Stokes équations (RANS) Où l’on considère des vitesses et une pression, moyennes et fluctuantes, associées à l’agitation turbulente. Les conditions d’équilibre tiennent compte à la fois des forces de volume, de la force nette de la pression et des contraintes causées par la viscosité du fluide et la turbulence de l’écoulement. Ainsi formulées, les équations de Navier-Stokes (RANS) n’ont pas de solution directe en ce que des termes, les contraintes de Reynolds, associés à l’action turbulente apparaissent directement dans les équations.
La difficulté réside donc dans la formulation de ces contraintes qui se veulent être une propriété de l’écoulement, alors que l’action des contraintes visqueuses, elle, est associée aux propriétés physiques du fluide. Le nombre d’inconnues est alors supérieur au nombre d’équations et l’on assiste au problème de fermeture (Lesieur, 1987) bien établi en hydraulique fluviale. La résolution de ce système d’équations de manière analytique n’est possible que dans des cas très particuliers.

Intégration verticale ou transversale

La modélisation des phénomènes hydrodynamiques peut généralement être envisagée correctement à partir de modèles où une ou deux dimensions spatiales sont privilégiées, plutôt que l’ensemble des trois dimensions. Une telle approche est possible considérant que les processus d’intérêt, pour les modèles, diffèrent dans les échelles de temps selon les dimensions longitudinale, verticale ou transversale (De Vriend et al. 1993). Les équations de Navier-Stokes 2D, intégrées verticalement ou transversalement, sont à la base de plusieurs modèles d’écoulements, de faible profondeur ou largeur le cas échéant, couramment utilisés en hydraulique fluviale (Molls et Chauldry, 1995). On peut réduire le problème, par exemple, à une étude bidimensionnelle en procédant à une intégration verticale des équations de Navier-Stokes (RANS), à partir du fond jusqu’à la surface libre, tel qu’illustré à la figure 2.1.En tenant compte des conditions aux limites, nous avons, pour la surface libre, la condition cinématique de surface, et pour le fond, une limite fixe. Dans l’ensemble, les modèles issus de ce système d’équations se veulent incapables de reproduire correctement certaines conditions d’écoulement observées dans la nature: dans un estuaire par exemple, entièrement ou partiellement stratifié où l’on remarque des variations importantes des propriétés de l’écoulement sur la profondeur, considérant des dimensions horizontales réduites. Il en serait de même dans le cas où l’écoulement serait rapidement varié avec une transition importante.En procédant à partir de valeurs moyennes, des détails importants sur la structure verticale/transversale de l’écoulement sont perdus. Les hypothèses à la base de la mise en équations du phénomène sont ainsi mal adaptées à la dynamique d’écoulement bidimensionnelle ou tridimensionnelle particulière, observée dans certains milieux, (Chang.P, 2008).

Méthodes de résolution numérique

L’étude d’un phénomène physique présuppose d’abord la formulation mathématique du processus à l’étude et l’analyse numérique du modèle. Le développement d’un modèle est donc initié à partir de certaines hypothèses avancées selon nos connaissances du phénomène physique considéré. La dérivation des équations de base une fois établie, il peut être particulièrement difficile d’envisager une solution exacte à partir de méthodes d’analyse mathématique. En effet, un trait commun à toute investigation quantitative d’un problème pratique en génie est que la géométrie de la frontière des domaines d’intérêt est souvent très irrégulière, au point où la recherche d’une solution analytique adaptée devient impraticable.Ajoutons également que l’évolution des conditions aux limites du point de vue temporel présente une difficulté supplémentaire importante. Nous avons donc recours à des méthodes alternatives où une solution numérique approximée, mais valable est recherchée.La résolution du problème physique se présente donc, pour le modèle, sous la forme d’un système d’équations aux dérivées partielles. Les méthodes les plus couramment utilisées pour la résolution approchée de ces équations sont basées sur une formulation différentielle du problème physique et nécessitent une discrétisation sous une forme ou une autre du domaine et/ou de la frontière et du temps. Nous pouvons distinguer plusieurs approches de résolution, mais au sens large, les méthodes variationelles classiques (Rayleigh-Ritz) et les méthodes par résidus pondérés (Galerkin, moindre carré, collocation) sont sans doute les plus communes aujourd’hui dans l’étude de système d’équations différentielles complexes. Le système d’équations est représenté sous la forme équivalente d’une intégrale pondérée et une solution approximative est développée à partir d’une combinaison d’une fonction d’interpolation et de coefficients quelconques à déterminer.

Les modèles de turbulence

Les fluctuations de petites échelles dans le temps, conduisent à l’adoption de méthodes particulières pour la résolution numérique des problèmes en mécanique des fluides. La méthode RANS ou la moyenne de Reynolds des équations de Navier Stokes, ou les différentes variables d’état instantanées peuvent êtres décomposées en une composante moyenne et une composante fluctuante. Les équations moyennées résultantes comportent de nouveaux termes qui traduisent la production des fluctuations des vitesses et constituent le transfert d’un mouvement convectif du aux fluctuations de la vitesse , (Hamami .A, 2005).Ces nouveaux termes sont appelés les contraintes de Reynolds, (− ′ ′ Celles-ci posent un problème de fermeture des équations gouvernantes, dont solution actuelle passe par des “modèles de turbulence” souvent semi empiriques.

Hypothèse de Boussinesq

Après qu’il fût établi expérimentalement que les contraintes turbulentes augmentaient avec l’augmentation du taux de déformation moyen des éléments du fluide, Boussinesq proposa une relation entre les contraintes de Reynolds et les taux de déformation, qui a été étendue par la suite :
τ = −ρ U U = µ + − ρk + µ δ …….(2.1)
K étant l’énergie cinétique associée à la turbulence.
ij =1 Si i = j et ij = 0 si i≠j (Delta de Kronecker).
µt est la viscosité dynamique turbulente.
Notons que dans l’hypothèse de Boussinesq, il est supposé que µt est un scalaire isotrope, ce qui n’est pas tout à fait vrai. Les modèles de turbulence conduisent
à l’adoption d’équations de transport des quantités de la turbulence, (K, Ɛ, et ), pour résoudre la viscosité turbulente . De ce point de vue, nous retrouvons trois catégories sous « Fluent » :
 Modèle de turbulence à une équation de transport : Le modèle Spalart Allmaras.
 Modèles de turbulence à deux équations: Le modèle K-Ɛ Standard et ses
variantes RNG et Realizable puis les modèles k- Standard et k- SST.
 Modèle de turbulence à 5 équations (7 équations en 3D): Le modèle RSM (Reynolds Stress model).

Modèle Spalart-Allmaras

Il résout, en plus des équations de Navier-Stokes moyennées, une équation de transport d’une quantité turbulente en vue de calculer µt Ce scalaire est une viscosité cinématique turbulente modifiée ( ̅) pour prendre en compte les effets de parois.
Dans ce modèle, la viscosité dynamique turbulente est calculée à partir de la relation suivante:
µ = ρv f ……(2.2)
f v ‘ est une fonction d’atténuation de ( ̅) (Damping function)
Ce modèle a été Conçu initialement pour des applications aérospatiales impliquant des écoulements limités par des parois. Il a été montré que ce modèle donnait de médiocres résultats pour les couches limites sujettes à des gradients de pression adverses. Cependant, il est en train de gagner en popularité pour les applications dans les turbomachines.

Le modèle (k, )

Ce modèle de transport des contraintes de Reynolds a été implémenté dans le code de calcul FLUENT. Les contraintes qu’impose ce code dans la prise en compte des rugosités.

 Modèle k–ɛ standard

Ce modèle met l’accent sur les mécanismes affectant l’énergie cinétique turbulente en se basant sur la modélisation de deux équations de transport. La première est celle de l’énergie cinétique turbulente (k) et le deuxième est son taux de dissipation visqueuse (Ɛ). Ainsi, la viscosité dynamique turbulente y est calculée par :
µ = ρ C …..(2.3)
C = 0.09
La robustesse du model, ainsi que son économie en temps de résolution et une précision raisonnable pour une large gamme d’écoulements turbulents expliquent sa popularité pour les écoulements industriels et les simulations de transfert de chaleur.
Néanmoins, ce modèle présente quelques faiblesses en présence de couches limites courbées, les écoulements tournants et tourbillonnaires (Swirling), ainsi que les écoulements entièrement développés dans des conduites non circulaires.

Modèle k-ɛ RNG

Le modèle k-Ɛ RNG a été appelée « ReNormalization Group ».
dérivé en utilisant une technique statistique
Il inclue les améliorations suivantes:
 Dispose d’un terme additionnel dans l’équation de Ɛ, qui améliore la précision pour les écoulements avec des contraintes rapides (changements de directions soudains).
 Incluse l’effet du tourbillonnement sur la turbulence afin d’accroître la précision pour les écoulements tourbillonnaires.

Table des matières

Introduction générale
Chapitre I : Rappels théoriques
1.1 Introduction
1.2 La surface libre
1.3 La turbulence
1.4 Classification des écoulements
1.4.1 Écoulements permanents graduellement variés
1.4.2 Ecoulements rapidement variés
1.5 Ecoulements secondaires dans les écoulements a surface libre
1.5.1 Effets de l’anisotropie de la turbulence et des conditions aux limites
1.5.2 Effets de la surface libre
1.5.3 Ecoulements dans des canaux rectangulaires à parois lisses
1.6 Modélisation de la turbulence en hydrodynamique
1.6.1 Contexte historique
1.6.2 Classification des modèles turbulents
1.6.2.1 Simulation directe
1.6.3 Mesure de la turbulence en laboratoire
1.7 Propriétés des écoulements turbulents
1.7.1 Caractéristiques de la turbulence
1.7.2 Turbulence homogène et isotrope
1.8 Loi de frottement
1.9 Équation de Chézy
1.10 Formule de Manning
1.11 Formule de Manning-Strickler
1.12 Classification des schémas numériques……
1.12.1 La discrétisation spatiale
1.13 Conclusion
Chapitre II : Revue de littérature
2.1 Introduction
2.2 Ecoulement à surface libre et modélisation hydrodynamique
2.2.1 Intégration verticale ou transversale
2.3 Méthodes de résolution numérique
2.4 Les modèles de turbulence
2.4.1 Hypothèse de Boussinesq
2.4.2 Modèle Spalart-Allmaras
2.4.3 Le modèle (k, )
2.4.3.1 Modèle k–ɛ standard
2.4.3.2 Modèle k-ɛ RNG
2.4.3.3 Modèle k-ɛ Réalisable
2.4.4 Modèle k – standard
2.4.5 Modèle k- SST
2.4.6 Le modèle RSM
2.5 Généralités sur les modèles multiphasiques
2.6 Quelques études expérimentales
2.6.1 Ecoulements secondaires dans des canaux étroits a parois lisses
2.6.2 Effets de la surface libre sur la turbulence
2.6.3 Applications aux écoulements par modèle RSM
2.6.4 Autres travaux
2.7 Les problèmes de fermeture des équations
2.7.1 Les modèles de turbulence
2.8 Conclusion
Chapitre III : Modélisation numérique
3.1 Introduction
3.2 Rappel sur la méthode des volumes finis
3.2.1 Maillage
3.3 Méthode de résolution
3.3.1 Le choix d’un solveur
3.3.2 Conditions initiales
3.3.3 Conditions aux limites
3.3.3.1. Introduction à la couche limite turbulente
3.3.3.2. Observations expérimentales
3.3.3.3. Couche limite turbulente
3.3.3.3.1. Observations expérimentales
3.3.3.4 Traitement de la turbulence aux parois
3.3.3.4.1 Structure de la couche limite turbulente sans gradient de pression
3.3.3.4.2 Couches limites en présence d’un gradient de pression extérieur
3.4 Présentation de la configuration étudiée
3.4.1 Présentions de la géométrie
3 .4.2 Conditions initiales
3.4.3 Conditions aux limites
3.4.4 Modèles de turbulence
3.4.5 Convergence des calculs
3.5 Présentation du code de calcul
3.5.1 Architecture du logiciel
3.6 Modèle de transport du tenseur de Reynolds
3.6.1 Modélisation du terme de diffusion turbulente
3.6.2 Modélisation du terme diffusion /dissipation par la viscosité.
3.6.3 Modélisation du terme de diffusion par champ de pression.
3.6.4 Modélisation du taux de dissipation
3.6.5 Une équation pour fixer le débit
3.6.6 Lois de paroi
3.6.7 Modélisation de la surface libre
3.7 Les profils verticaux de la vitesse moyenne longitudinale
3.8 Conclusion
Chapitre IV : Etude paramétrique de la vitesse
4.1 Introduction
4.2. Etude paramétrique de la vitesse au moyen du logiciel Fluent
4.2.1. Influence de la pente du canal et la lame d’eau sur la vitesse d’écoulent.79
4.2.1.1 Écoulement sur fond lisse
4.2.1.1.1 La représentation des deux phases (eau et l’air)
4.2.1.1.2 Caractéristiques de l’expérience
4.2.1.1.3 Comparaison entre les résultats du modèle numérique testé et expérimentaux
4.2.2. Influence de la rugosité sur la vitesse d’écoulement
4.2.2.1. Écoulement sur fond de rugosité homogène
4.2.2.1.1 Caractéristiques de l’expérience
4.2.2.1.2 Comparaison entre les résultats du modèle numérique testé et expérimentaux
4.3 Conclusion
Conclusion générale

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