L’influence du module de cisaillement G

L’influence du module de cisaillement G

Erreurs de modèle liée au modèle théorique

Ces erreurs sont dues au fait que les modèles mathématiques sont plus ou moins idéalisés ou à l’approximation du problème réel, ce qui donne lieu à plusieurs erreurs, ils dépendent des équations mathématiques du modèle et des incertitudes de mesure.
Même si l’ouvrage a été correctement décrit, les moyens de mesure utilisés pour sa description sont également entachés d’incertitude. Cette incertitude de mesure dépend des moyens utilisés donc il semble cependant que des erreurs mêmes faibles sur certaines grandeurs sensibles peuvent avoir des conséquences importantes.
L’erreur de modèle est liée aux choix effectués par l’utilisateur sur le type d’analyse (statique, dynamique, calcul drainé, calcul non drainé, etc.) et les lois de comportement des matériaux (élasticité linéaire, isotrope ou anisotrope, élastoplasticité parfaite, élastoplasticité avec écrouissage, élasto-viscoplasticité).
Généralement, l’erreur de modèle croît dans la proportion où des phénomènes physiques importants sont négligés dans la modélisation et où les hypothèses de calcul deviennent incohérentes avec la réalité du projet et de son environnement .Ainsi, même lorsque les erreurs de données et de discrétisation sont faibles, l’erreur de modèle peut rester très grande.
Par exemple les erreurs dans les lois de comportement proviennent généralement de la programmation des lois de comportement dans les logiciels soit au gestion des tractions (logarithmes ou puissance de nombre négatif, grandes valeurs pour les exponentielles), pas de solution pour une équation implicite liée aux relations de comportement écrites au niveau d’un point d’intégration, maillage identique pour une étude avec différentes lois de comportement, cas de lois isotrope et anisotrope ( Mestat,2010).
Exemples des données pouvant entraîner une erreur de modèle (Mestat et al., 2000).
– Modèle bidimensionnel alors que les phénomènes sont tridimensionnels.
– Hypothèse d’un sol monophasique,
– Loi de comportement trop simplifiée (par exemple : élasticité pour un sol).
– Phénomène physique important négligé (interaction sol-structure, mouvement de l’eau, effet du temps, etc.)
– Phénomène de décollement empêché.
– Absence d’interface (mauvaises conditions de liaison entre les matériaux ou les structures).
– Loi de chargement inappropriée (par exemple : phasage des travaux trop simplifié).
En pratique, l’erreur de modèle s’apprécie qualitativement au moment de la justification des hypothèses de calcul ou l’utilisateur doit prendre les limites du modèle qu’il est en train d’élaborer.

Erreurs de convergence

Elles sont dues soit à un découpage inapproprié du chargement(estimation de la rupture), soit à des données inadaptées pour les algorithmes de résolution ou convergence au sens du maillage (elle est assurée par le choix et la formulation mathématique des éléments finis. Lorsque le maillage devient de plus en plus fin, la solution numérique tend vers une limite très proche de la solution exacte du problème, elles concernent seulement les problèmes de comportement non linéaire et la résolution par une technique itérative(non linéarités) .
Elle peut être aussi une convergence au sens du schéma d’intégration locale : Elle permet le calcul des contraintes et des quantités non linéaires (déformation plastique, écrouissage) traitant des équations différentielles de comportement (vérifier la loi de comportement).
Et le troisième type de ce genre d’erreurs est la convergence au sens du processus de résolution incrémental et itératif qui permet d’obtenir la solution en déplacements et en contraintes pour un maillage et un schéma d’intégration des lois de comportement non linéaire donnés (Mestat ,2003).
Des taux de convergence sont définis quand le problème d’éléments finis est bien posé et que la suite des déplacements converge, on observe la plupart du temps que la suite des taux de convergence est monotone décroissante. Lorsque de plus elle tend vers une limite strictement inférieure à l’unité, la suite est « absolument convergente » (Mestat et al, 2000). Dans les problèmes en 2D, les maillages sont généralement acceptables, sauf lorsqu’il y a beaucoup de matériaux et d’interfaces : risque de mauvaise estimation des contraintes dans les revêtements de tunnels ou dans les ouvrages de soutènement par contre en 3D les maillages sont pour la plupart du temps insuffisants à cause de la taille (Mestat ,2005).
Cette erreur est naturellement rattachée à l’étude de la suite des déplacements solution du problème en comportement non linéaire (Mestat et al, 2000).

Erreurs de calcul

Elles représentent la différence entre la solution analytique et la solution numérique à la fin de calcul ou c’est la combinaison des erreurs précédentes, car elles sont proches de l’erreur de modèle.
L’erreur de calcul peut s’évaluer par référence aux ordres de grandeur connus pour des ouvrages et des sols similaires.

Erreurs de données (les erreurs dues au modélisateur)

Elles sont provoquées par des caractéristiques de calcul erronées (fautes de frappe, mauvaise estimation des paramètres mécaniques) ou ils sont dues à la présence dans le modèle mathématique de paramètres numériques dont les valeurs ne peuvent être déterminées qu’approximativement suite à des mesures expérimentales.
Par exemple les erreurs peuvent provenir d’une simple faute de saisie. Elles peuvent aussi provenir d’une mauvaise connaissance du modèle utilisé pour représenter le phénomène étudié. Dans ce cas, le code peut donner une description géométrique tout à fait inadéquate de l’ouvrage, mais on ne peut les quantifier ce type d’erreurs directement comme les erreurs précédentes.
Les erreurs dans les conditions aux limites peuvent être un changement d’une condition aux limites, cela entraîne l’application de la réaction avec un signe opposé ou des nouveaux conditions aux limites (blocage de déplacements) cela entraîne un nouveau calcul de la matrice de rigidité (Mestat, 2010).
Voici quelques exemples qui peuvent être des erreurs de données.
– Conditions limites en déplacements (Il faut empêcher les mouvements de corps rigides).
– Calcul aux points d’intégration et exploitation des contraintes aux noeuds.
– Changements de valeurs de paramètres entre deux calculs enchaînés (par exemple des modules d’Young).
– Relâchement d’une condition aux limites en déplacements (par exemple, une condition u=0 supprimé).
– Exploitation de calculs non convergés.
– Valeurs de paramètres constants pour une grande profondeur (exemple : excavation et module d’Young constant). Etc.
Une partie importante de notre travail portant sur l’évaluation des erreurs associées à ce type d’erreur que nous allons développer de façon un peu plus détaillée dans le chapitre03.
Dans la méthode des éléments finis on s’intéresse plus aux erreurs de discrétisation car elles définissent le modèle de calcul (dimensions, types d’éléments finis, densité de maillage, condition aux limites, etc.) mais on peut ajouter d’autres types d’erreurs selon la modélisation d’ouvrage choisit :

Erreurs globales et erreurs locales

Les erreurs globales : déplacements en norme énergétique qui ne présentent pas d’informations pertinentes pour l’ingénieur, les erreurs locales sont représentées par des quantités calculées en un noeud ou un point d’intégration telles que le champ decontraintes, le champ de déplacements ou les champs de vitesses (Oden et Prudhomme, 2001 cité par Vulpe, 2011).

Les erreurs locales : champs de déplacement, champs de contraintes, facteur d’intensité.

Les erreurs locales deviennent plus importantes que les erreurs globales puisquesouvent les erreurs qui nous intéressent sont localisées dans une zone restreinte de la discrétisation et l’accent est mis sur l’amélioration de la qualité de la solution numérique dans la zone d’intérêt (cité par Vulpe , 2011).

Erreurs de pollution

L’étude numérique des erreurs de pollution dans la méthode des éléments finis ou l’effet d’erreur de pollution sur la qualité locale de l’évaluation des erreurs pour différentes classes des mailles et des solutions utilisées dans des calculs pratiques des ouvrages. En particulier, on considère les solutions harmoniques avec des singularités algébriques du type d’erreur et avons étudié l’effet de pollution pour les mailles uniformes, les mailles (équilibrées) globalement adaptatives, les mailles raffinées localement et les mailles équilibrées.
La première approche de ce type (Babuska, Strouboulis, Upadhyay et Gangaraj, 1995 ; Huerta et Diez, 2000) définit le concept de pollution, selon lequel l’erreur sur une zone donnée, provient de deux contributions distinctes.
D’une part l’erreur due à la discrétisation, d’autre part un terme de pollution représentant les effets de l’erreur commise sur le reste du domaine. Le calcul de l’erreur locale s’effectue alors en évaluant les deux termes précités à l’aide de problèmes auxiliaires posés sur le
domaine complet (Parret-Fréaud, 2011).
On conclue de l’étude de ce type d’erreurs:
– Quand la maille est globalement adaptative (équilibré dans la norme d’énergie) l’effet de pollution est négligeable, et pour tous les buts pratiques, on garanti la fiabilité de l’évaluation des erreurs pour n’importe quelle maille.
– Si la maille n’est pas équilibrée dans la norme d’énergie, l’effet de pollution peut être significatif.
– Pour les mailles uniformes, l’effet de pollution est significatif.
– L’exactitude de la solution finie d’élément dans un modèle dépend du rapport entre la maille à l’intérieur du modèle et la maille en dehors du modèle et la douceur de la solution exacte.
– Il est possible de commander l’effet de pollution de modèle en utilisant les grilles équilibrées qui moins sont raffinées en dehors du modèle que les grilles globalement équilibrées.
– La fiabilité de l’évaluation des erreurs locales dans un modèle intérieur peut être garantie seulement quand l’erreur de pollution dans le modèle est négligeable en ce qui concerne l’erreur dans la meilleure approximation locale.
Si l’erreur de pollution est grande en ce qui concerne l’erreur dans la meilleure approximation locale, l’évaluation grave peut se produire et en général rien ne peut être dit au sujet de la fiabilité des résultats locaux a posteriori de l’évaluation des erreurs.

Amélioration de la qualité de modèle et l’analyses des erreurs par éléments finis

Pour bien mener une étude de ce genre il est nécessaire d’identifier les diverses sources qui affectent la réponse d’un modèle. Pour cela l’analyse de sensibilité est une méthode bien adaptée pour hiérarchiser ces sources, la technique pour obtenir une meilleure solution est aussi appelée adaptation de maillage elle se déroule suivant trois étapes (Stelzer et Hofstetter, 2005 cité par Parret-Fréaud, 2011).
-Une première analyse éléments finis est effectuée.
– Estimation d’erreurs de la solution numérique. Des estimateurs d’erreurs sont employés pour déterminer les erreurs dans la première solution numérique.
– Une méthode d’adaptation de maillage est appliquée sur le modèle numérique original, la technique d’adaptation consiste à modifier le modèle original entier ou une partie du modèle original afin d’obtenir de meilleures solutions numériques.

L’estimation des erreurs

Pour entamer une meilleure qualité des analyses par la méthode des éléments finis les chercheurs ont donné une grande importance aux paramètres de modélisation par la méthode des éléments finis ou qui plus lié à la discrétisation et basée sur les erreurs globales et locales, Il existe donc des méthodes afin d’estimer véritablement l’erreur commise lors d’un calcul éléments finis et ceci pour un grand nombre d’applications.
On peut dire qu’un estimateur d’erreur est une approximation de l’erreur exacte qui est calculé à partir de la solution approchée.
Par la nature, l’exactitude des résultats de la méthode des éléments finis dépend fortement de la discrétisation du problème, Ces estimateurs permettent de mesurer la qualité de la solution calculée et fournissent une information pour contrôler l’algorithme d’adaptation de maillage.
Pour obtenir des résultats satisfaisants, l’expérience suffit pour obtenir une maille dans le cas des problèmes simples. Avec des problèmes plus complexes, cependant, où la solution évolue avec du temps, ou en présence de contact par exemple, c’est plus difficulté pour obtenir une maille appropriée. Pour cela il existe beaucoup d’estimateurs d’erreurs (Kuss et al, 2011).
Ces erreurs de modèle doivent être comprise comme l’ensemble des erreurs liées au logiciel, à son utilisation, à la méthode de calcul et à la manière d’obtenir les paramètres de calcul.
L’analyse et l’estimation des erreurs peuvent être menées en suivant deux stratégies différentes :

L’estimation d’erreur à priori

Elle se fait avant le calcul par la méthode des éléments finis, elle est utilisée pour déterminer les limites sur les paramètres du problème, donc l’estimateur a priori nous permet d’assurer la convergence de l’erreur vers zéro, sous réserve d’une régularité suffisante de la solution exacte, qui dépend de divers paramètres, sans nécessairement connaître la solution exacte ni sa régularité.

L’estimation d’erreurs à posteriori

Elle donne une estimation de magnitude de l’erreur et pour contrôler l’erreur, ce type d’estimateurs ne dépendent que de la solution numérique et des données du problème, sans nécessiter davantage de régularité sur la solution exacte que celle imposée par la formulation faible, elles permettent aussi de contrôler l’erreur exacte en en donnant une approximation.

Table des matières

RESUME
LISTE DES FIGURES
LISTE DES TABLEAUX
LISTE DES SYMBOLES 
INTRODUCTION GENERALE 
CHAPITRE I : SOURCES D’ERREURS DANS LES CODES
1. Introduction
2. La méthode des éléments finis
3. Définition d’erreur
4. Types d’erreurs
4.1. Erreurs de discrétisation
4.1.1. Les erreurs dues au pas de temps
4.1.2. Les erreurs dues à la discrétisation spatiale
4.1.3. Les erreurs dues au chargement
4.2. Erreurs de modèle liée au modèle théorique
4.3. Erreurs de convergence
4.4. Erreurs de calcul
4.5. Erreurs de données (les erreurs dues au modélisateur)
4.6. Erreurs globales et erreurs locales
4.6.1. Les erreurs globales
4.6.2. Les erreurs locales
4.7. Erreurs de pollution
5. Amélioration de la qualité de modèle et l’analyses des erreurs par éléments fini
6. L’estimation des erreurs
6.1. L’estimation d’erreur à priori
6.2. L’estimation d’erreurs à posteriori
6.2. 1. Estimateurs d’erreur utilisant le concept d’analyse duale
6.2.2. Estimateurs d’erreur par la relation de comportement
6.2. 3. Estimateur d’erreur sur les résidus d’équilibre
a. Estimateurs d’erreur par résidus implicites
b. Estimateurs d’erreur par résidus explicites
6.2.4. Extrapolation de Richardson
6.2.5. Estimateurs d’erreurs basés sur le lissage des contraintes
6.2.6. Estimateurs d’erreurs basés sur les bases hiérarchiques
6.3. Qualité et performances d’un estimateur d’erreur
7. Exemples sur l’application d’erreurs
8. Conclusion
CHAPITRE II : CHOIX D’UN CAS D’ETUDE : EXCAVATION A CHICAGO.
1. Introduction
2. Généralités sur les palplanches
2.1. Introduction
2.2. Définition des palplanches
2.3. Les type de palplanches
2.3.1. Palplanches en porte à faux
2.3.2. Rideaux plans (rideaux simples)
2.4. L’usage de palplanches
2.5. Mise en place de palplanches
3. Présentation du cas d’étude (excavation en milieu urbain à Chicago)
3.1. Description du site
3.2. Modélisation de l’ouvrage (Moussaoui, 2011)
4. Conclusion
CHAPITRE III : APPLICATION : MODELISATION DU CAS D’ETUDE PAR PLAXIS
1. Introduction
2. Présentation de L’outil de Modélisation Numérique Plaxis
3. Paramètres du calcul dans le code d’éléments finis Plaxis
? Le modèle Mohr-Coulomb
– Module de cisaillement
– L’angle de frottement
– La cohésion
– L’angle de dilatance
4. Présentation du modèle
5. Modélisation de l’ouvrage
5.1. Géométrie et maillage
5.2. Les données géotechniques
5.3. Les conditions initiales et les conditions aux limites
6. Erreurs sur les paramètres rhéologiques
6.1. L’influence du module de cisaillement G
6.2. L’influence de la cohésion
6.3. L’influence de l’angle de frottement
6.4. L’étendue du modèl
6.5. L’étendue du maillage
6.6. L’influence de la nappe phréatique
6.7. L’influence de l’angle de dilatance
7. Conclusion
CONCLUSION GENERALE
RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES
WEBOGRAPHIE

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