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Les bases de la géométrie des paires symplectiques
Dans cette section on rappel quelques définitions et propriétés en géométrie des paires symplectiques.
Définition 1.2.1. Une paire symplectique sur une variété différentielle M2k+2h de classe C∞ est un couple (ω1, ω2) de 2-forme fermées non trivial tel que :
ω₁k ∧ ω₂h est une forme volume sur M2k+2h , et ω₁ k+1 = 0, ω₂ h+1 = 0.
Les formes ω1 et ω2 sont nécessairement de classe constantes 2k et 2h respectivement. Pour k = 0 ou h = 0, on trouve une forme symplectique. À une telle structure sont naturellement associés deux distributions : la distribution des champs de vecteurs qui annulent ω1 et celle des champs de vecteurs qui annulent ω2. Ces deux distributions sont complètement intégrables car les formes ω1 et ω2 sont fermées. Elles déterminent les feuilletages caractéristiques de ω1 et ω2, que nous noterons par F et G. Le feuilletage caractéristique de ω1 est de codimension 2k et ses feuilles sont des variétés symplectiques de forme symplectique associée ω2. Le feuilletage caractéristique de ω2 est de codimension 2h et ses feuilles sont des variétés symplectiques de forme symplectique associée ω1. Les feuilletages F et G sont évidement transverses et supplémentaires.
Paires de systèmes hamiltoniens complètement intégrables et paires de feuilletages lagrangiens singuliers
Définition 1.4.1. Soit (M2k+2h , ω1, ω2) une paire symplectique et f1, · · · , fk, g1 · · · , gh (k+ h)-fonctions hamiltoniens sur (M2k+2h , ω1, ω2). On dit que (f1, · · · , fk, g1 · · · , gh) est une paire de systèmes hamiltoniens complètement intégrables si les conditions suivantes sont vérifiées :
1. Les champs de vecteurs hamiltoniens Xfi sont tangents à F et les champs de vecteurs hamiltoniens Xgi sont tangents à G.
2. {fi , fj} = {gi , gj} = {fi , gj} = 0 pour tout i, j.
3. Les 1-formes df1, · · · , dfk, dg1, · · · , dgh sont linéairement indépendantes presque partout.
Les fonctions fi , gi sont appelées des intégrales premières du système. Étant donnée une paire de systèmes hamiltoniens complètement intégrables, il existe une R k+h -action hamiltonienne locale d’application moment µ = (f1, · · · , fk, g1, · · · , gh), et deux feuilletages naturellement attachés à la paire de systèmes.
Proposition 1.4.2. Soit (f1, · · · , fk, g1, · · · , gh) une paire de systèmes hamiltoniens complètement intégrables sur une paire symplectique (M2k+2h , ω1, ω2). On suppose que p ∈ M2k+2h est un point pour lequel dpf1 ∧ · · · ∧ dpfk ∧ dg1 ∧ · · · ∧ dgh ≠ 0. Alors les distributions D1 =< Xf1 , · · · , Xfk >, D2 =< Xg1 , · · · , Xgh > sont involutives et les espaces tangent en p aux feuilles passant par p sont respectivement des sous-espaces vectoriels lagrangiens de (ker ω2(p), ω1(p)) et (ker ω1(p), ω2(p)) .
Démonstration. D’une part, puisque [Xfi ; Xfj ] = −X{fi,fj} , la condition {fi , fj} = 0 implique [Xfi , Xfj ] = 0 pour tout i, j et la distribution D1 est involutive. D’autre part, puisque [Xgi ; Xgj ] = −X{gi,gj} , la condition {gi , gj} = 0 implique [Xgi , Xgj ] = 0 pour tout i, j et la distribution D2 est aussi involutive. Soit F et G les feuilles passant par p des distributions D1 et D2 respectivement. D’après la définition du crochet de Poisson {fi , fj} = ω(Xfi , Xfj ) et {gi , gj} = ω(Xgi , Xgj ), les espaces tangent TpF et TpG sont isotropes . La condition dpf1 ∧ · · · ∧ dpfk ∧ dpg1 ∧ · · · ∧ dpgh 6= 0 implique que les champs de vecteurs hamiltoniens Xfi engendrent un espace vectoriel de dimension k au point p et les champs de vecteurs hamiltoniens Xgi engendrent un espace vectoriel de dimension h au point p. Donc l’espace tangent en p à la feuille F est un sous-espace vectoriel lagrangien de (ker ω2(p), ω1(p)) et l’espace tangent en p à la feuille G est un sous-espace vectoriel lagrangien de (ker ω1(p), ω2(p)).
Dans tout ce qui suit on note par F1 le feuilletage défini par la distribution D1 et F2 le feuilletage défini par la distribution D2. Le couple (F1, F2) est appelé paire de feuilletages lagrangiens attaché au paire de systèmes hamiltoniens complètement intégrables.
Paires d’orbites régulières, semi-régulières et singulières
Soit f1, · · · , fk, g1, · · · , gh une paire de systèmes hamiltoniens complètement intégrables d’application moment µ sur une paire symplectique (M2k+2h , ω1, ω2), p un point appartenant à M2k+2h , O1 l’orbite de la distribution D1 passant par p, et O2 l’orbite de la distribution D2 passant par p. On désigne par π1 : R k+h → R k et π2 : R k+h → R h les projections canoniques.
Définition 1.5.1. (O1, O2) est une paire d’orbites régulières si la condition suivante est vérifiée rang(dpπ1 ◦ µ) = k et rang(dpπ2 ◦ µ) = h.
Dans ce cas tout point p0 par lequel passe O1 et O2 vérifie rang(dp 0π1 ◦ µ) = k et rang(dp 0π2 ◦µ) = h., car la régularité est une propriété invariante sous l’action d’une R k+h – action hamiltonienne. On dit que (O1, O2) est de type (k, h).
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Table des matières
Introduction
1 Linéarisation des paires de feuilletages lagrangiens singuliers
1.1 Introduction
1.2 Les bases de la géométrie des paires symplectiques
1.3 Paires de feuilletages lagrangiens singuliers
1.4 Paires de systèmes hamiltoniens complètement intégrables et paires de feuilletages lagrangiens singuliers
1.5 Paires d’orbites régulières, semi-régulières et singulières
1.6 Action d’un groupe de Lie sur une paire symplectique
1.6.1 Actions Automorphes de groupe de Lie
1.7 Linéarisation symplectique dans un voisinage d’une paire d’orbites régulières compactes
1.8 Linéarisation symplectique équivariante dans un voisinage d’une paire d’orbites régulières compactes
1.9 Linéarisation symplectique dans un voisinage d’une paire d’orbites semirégulière compactes
1.10 Linéarisation équivariante symplectique dans un voisinage d’une paire d’orbites semi-régulière compactes
1.11 Linéarisation symplectique dans un voisinage d’une paire d’orbites singulières compactes
1.12 Linéarisation équivariante dans un voisinage d’une paire d’orbites singulières compactes
2 Linéarisation des paires de feuilletages legendriens
2.1 Introduction
2.2 Les bases de la géométrie des paires de contact
2.3 Paires de feuilletages legendrien singuliers
2.4 Paires de systèmes hamiltonien complètement intégrable restreints et paires de feuilletages legendriens
2.5 Paires d’orbites régulières, semi-régulières et singulières
2.6 Action d’un groupe de Lie sur une paire de contact
2.6.1 Actions Automorphismes de groupe de Lie
2.7 Linéarisation contact dans un voisinage d’une paire d’orbite compacte régulière
2.8 Linéarisation équivariante au voisinage d’une paire d’orbite régulière compacte
2.9 Linéarisation dans un voisinage d’une paire d’orbite semi-régulière compacte
2.10 Linéarisation équivariante au voisinage d’une paire d’orbite semi-régulière compacte
2.11 Linéarisation dans un voisinage d’une paire d’orbite compacte singulière
2.12 linéarisation équivariante au voisinage d’une paire d’orbite compacte singulière
3 Linéarisation contacto-symplectique des paires de feuilletages LagrangienLegendrien
3.1 Introduction
3.2 Les bases de la géométrie des paires contacto-symplectiques
3.3 Paires de feuilletages lagrangien-legendrien singuliers
3.4 Paires de systèmes hamiltoniens complètement intégrables restreints et paires de feuilletages lagrangiens-legendriens
3.5 Paires d’orbites régulières, semi-régulières et singulières
3.6 Action d’un groupe de Lie sur une paire contacto-symplectique
3.6.1 Actions Automorphismes de groupe de Lie
3.7 Linéarisation contacto-symplectique dans un voisinage d’une paire d’orbite compacte régulière
3.8 Linéarisation contacto-symplectique équivariante au voisinage d’une paire d’orbite régulière compacte
3.9 Linéarisation contacto-symplectique dans un voisinage d’une paire d’orbite semi-régulière compacte
3.10 Linéarisation contacto-symplectique équivariante au voisinage d’une paire d’orbite semi-régulière compacte
3.11 Linéarisation contacto-symplectique dans un voisinage d’une paire d’orbite compacte singulière
3.12 linéarisation contacto-symplectique équivariante au voisinage d’une paire d’orbite compacte singulière
4 Le théorème de réduction de Marsden-Weinstein pour les paires contactosymplectiques
4.1 Introduction
4.2 Automorphisms and infinitesimal automorphisms
4.3 Actions Hamiltoniens et Actions Hamiltoniens restreints
4.3.1 Propriétés élémentaires de l’application moment
4.3.2 Équivariance de l’application moment
4.4 Le théorème de réduction pour les paires contacto-symplectiques
4.5 Certains exemples
Conclusion
