Soutenance mémoire
L’importance de la connaissance du système décimale
Le système de numération que nous utilisons est la numération décimale. C’est un système de numération basé sur dix chiffres (de 0 à 9) et qui est de position. C’est-àdire que contrairement à d’autres systèmes de numération, comme la numération égyptienne, la place des chiffres dans le nombre influe sur celui-ci, par exemple 214 ne sera pas égal à 412. Le système de numération décimale doit être compris et maitrisé de tous avant d’entrer dans le calcul, car c’est ce système qui permet de comprendre que dix unités sont égales à une dizaine et ainsi commencer à créer des collections. Tout cela en faisant le lien entre le système analogique (constellation de dé par exemple :: ), le système verbal (quatre) et le système symbolique des nombres (4). C’est le fait de passer de l’un à l’autre, appelé transcodage, qui permettra la connaissance des nombres.
Selon Rolland Charnay, agrégé de mathématiques, « pour bien concevoir les grandes quantités il faut changer d’unité ». En effet, par exemple, « trente-sept » ne permet une bonne conception de la quantité correspondante que dans la mesure où on est capable de dire que ça représente 3 dizaines et 7 unités.
Connaitre la numération décimale, pour un élève de CP ce n’est pas seulement savoir que pour réaliser une collection de 37 objets on peut indifféremment les compter un à un, ou former 3 groupes de 10 et compléter avec 7 objets, c’est être aussi capable d’effectuer sur les dizaines les mêmes opérations que sur les unités. Les deux fonctions du nombre qui sont : la représentation d’une quantité et le calcul, sont très liées : la numération décimale est une aide essentielle au calcul parce qu’il est plus rapide de « totaliser des dix » que de « totaliser des uns ». C’est la complexité de ce système de numération qui fait qu’il est impératif que les élèves soient à l’aise avec ce système décimale avant de pouvoir effectuer des calculs.
Avant les nombres
Des études de Piaget montrent qu’avant que les élèves entrent dans les aspects numériques, des capacités logiques sont nécessaires. En effet, pour Jean Piaget, avant que le nombre soit compris par les enfants ceux-ci doivent comprendre la permanence de la quantité quelle que soit la disposition des unités qui la composent. Des travaux de Piaget ont permis de mettre en évidence le rôle du jeu et une réflexion sur la pensée mathématique, notamment sur le principe d’anticipation. En neuroscience au début des années 2000 , les scientifiques cherchent à comprendre comment le cerveau traite les opérations. Il mettent en place un modèle qui implique les représentations du nombre vues précédemment. Chaque type de représentation est associé à des localisations et circuits cérébraux spécifiques. Il a été prouvé que passer d’une représentation à l’autre est bénéfique pour l’apprentissage des nombres et du calcul chez les enfants. Il est donc important d’en tenir compte dans les choix pédagogiques, cependant cela ne peut suffire.
Avant le calcul : la manipulation/ le comptage
La manipulation, qui implique par la suite une procédure de comptage, a un rôle important en mathématiques mais n’est pas une fin en soi, une activité mathématique ne peut se limiter à de la manipulation. En effet dans ERMEL : apprentissages numériques au CP, il est bien explicité que l’anticipation de l’action est ce qui fait une activité mathématique et que l’on ne peut se restreindre à de la manipulation. Effectivement lorsque les élèves manipulent pour passer ensuite au comptage, ils n’anticipent pas les différentes étapes et les manipulations possibles sur les chiffres. De plus la manipulation n’est pas toujours possible, les nombres sont parfois trop grands pour effectuer cette manipulation et une procédure de comptage. Cependant la manipulation a tout de même son rôle à jouer. Celle-ci doit avoir un rôle déclencheur de la réflexion, son utilisation doit permettre aux élèves de répondre aux questionnements sur des situations particulières, telles que pour introduire la numération décimale par exemple. Cependant ce n’est pas la manipulation qui fait l’activité mais les questions qu’elle suggère.
Elle peut également permettre aux élèves de valider leur réflexion, leurs résultats. Effectivement après avoir effectuer leurs recherches les élèves peuvent utiliser des jetons, cubes ou autre matériel mis à leur disposition afin de construire dans le réel et ainsi constater de leur réussite ou non. Il convient donc de différencier l’activité de constat que permet d’effectuer la manipulation de matériel et l’anticipation que permet l’activité mathématique. Selon Pierre Esseyric, l’objectif sera donc de dépasser la manipulation pour accéder au concept de nombre. De plus, « pour qu’elle soit un levier dans l’apprentissage, la manipulation devra être contrainte et, à un moment donné, empêchée ; sans cela, elle s’érigera en obstacle aux apprentissages, enfermant l’élève dans l’action, alors que l’objectif est de le conduire à penser cette action. » .
Le calcul
Passage du comptage au calcul
La manipulation vue précédemment implique une procédure de comptage. Selon Rémi Brissiaud, les procédures de comptages nécessitent l’emploi d’objets avec lesquels les élèves vont mimer les transformations demandées dans l’énoncé. Il poursuit en disant que les procédures de calcul vont permettre aux élèves de mettre en relation des quantités, directement à partir des représentations numériques qu’ils en ont. Ces procédures ne nécessitent pas un passage par une réalisation physique d’une ou plusieurs collections avec des éléments qui seraient dénombrés. C’est à partir du CP, que l’objectif d’enseignement visera a amener les élèves à abandonner les procédures de comptage acquises pour élaborer des procédures de calcul. Les procédures relevant du calcul prennent leur sens lorsque les apprentissages des élèves se font sur des nombres de plus en plus grands. Selon Rolland Charnay, le comptage constitue un obstacle au calcul mais il est dans l’ordre de l’apprentissage que de renoncer à ce qui a été acquis, utilisé auparavant. C’est alors à l’enseignant de prendre en compte les obstacles pour aider les élèves à les dépasser.
Roland Charnay met alors en avant les trois phrases décrites par A. Thornton afin que les élèves s’approprient les connaissances numériques :
Phase 1 : comprendre le concept
Phase 2 : apprendre des stratégies ou des procédures pour obtenir des résultats inconnus
Phase 3 : mémoriser ces résultats jusqu’à obtenir des réponses automatisées.
Pour le chercheur A. Thornton, les deux procédures, comptage et calcul, s’opposent car elles relèvent de processus différents qui ne correspondent pas au même niveau de symbolisation des nombres. Pour l’élève, cependant, ces deux procédures sont deux outils complémentaires l’un à l’autre car ils permettent de résoudre les mêmes types de problèmes. Le choix de la procédure se fera alors en fonction de la maitrise qu’il en a, comme de la représentation qu’il a des énoncés, mais également en fonction de la taille des nombres impliqués.
Cependant si pour les élèves les deux procédures sont difficiles à séparer, l’enseignant tentera de mener les élèves vers une utilisation plus automatique des procédures de calcul. C’est la fiabilité et la rapidité du calcul qui pourrait permettre aux élèves de se positionner principalement sur cette procédure.
Calcul mental
Dans les programmes de 2018, le calcul mental tient une place fondamentale : «l’appropriation de stratégies de calcul adaptées aux nombres et aux opérations en jeu. Ces stratégies s’appuient sur la connaissance de faits numériques mémorisés […] et sur celle des propriétés des opérations et de la numération. Le calcul mental est essentiel dans la vie quotidienne […] » Le calcul mental tire son importance du fait qu’il permet le développement de l’attention, de la concentration et de la mémoire. Il implique également une connaissance raisonnée des nombres et des opérations tout en mémorisant des répertoires de base. Il permet aussi l’acquisition du sens des opérations qui est le point qui va être mis en avant ici.
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Table des matières
I. Introduction
II. Cadre théorique
1. L’importance de la connaissance du système décimale
2. Avant les nombres
3. Avant le calcul : la manipulation/ le comptage
4. Le calcul
a) Passage du comptage au calcul
b) Calcul mental
c) Le calcul posé
5. La place du calcul posé dans les apprentissages du CP
6. Contextualisation et décontextualisation
d) Amener le sens par des situations concrètes
e) Savoir extraire le calcul du contexte pour analyser les propriétés mathématiques
f) Des situations variées
7. Le rôle de l’enseignant
III. Méthodologie de recherche
1. Contexte d’enseignement
2. Séquence d’apprentissage
3. Evaluation diagnostique
4. Séance d’introduction à la notion
5. Séances d’exercices d’application
6. Situation « carreler une maison »
7. Situation « Le jeu du banquier »
8. Dernière séance
IV. Résultats
1. Première séance, évaluation diagnostique
2. Première situation « Carreler une maison »
3. Deuxième situation « le jeu du banquier »
4. Dernière séance, évaluation formative
V. Discussion
VI. Conclusion
VII. Bibliographie / Sitographie
VIII. Annexes
