L’histoire des mathématiques

L’histoire des mathématiques

METHODOLOGIE

Formulation et vérification de l’hypothèse

Après avoir fait le lien entre l’histoire de certains concepts mathématiques et l’acquisition de plusieurs habiletés pour les élèves, nous posons l’hypothèse suivante :
Des séquences d’enseignement sur l’histoire des mathématiques en classe spécialisée amènent du sens à cette branche et améliorent les compétences des élèves en numération et en arithmétique.
Pour vérifier notre hypothèse, nous allons mesurer l’évolution des performances mathématiques de trois élèves de l’enseignement spécialisé avant, durant et après des séquences d’enseignement sur l’histoire des mathématiques.
Nous avons donc créé quatre séquences d’enseignement sur l’histoire de notions mathématiques fondamentales qui posent régulièrement des difficultés aux élèves :
1. le dénombrement
2. le comptage par pointage corporel
3. le passage de la quantité aux symboles (groupement)
4. l’origine des chiffres arabes et du zéro en lien avec la valeur positionnelle
Ces séquences sont présentées aux élèves sur un laps de temps de deux mois. Elles sont en lien direct avec les habiletés mathématiques attendues et évaluées durant le processus.
Pour évaluer l’évolution des performances mathématiques des élèves, nous avons créé un test en numération et en arithmétique, décrit plus précisément dans les pages suivantes.
Pour évaluer le sens que les élèves accordent aux mathématiques, nous avons utilisé un questionnaire général lui aussi explicité plus loin dans ce travail.
Tout au long de cette recherche, un carnet de bord nous permet de prendre du recul et d’analyser les facilitateurs et les difficultés du processus.

Dispositif général

L’expérimentation a lieu dans une classe d’enseignement spécialisé comptant en tout cinq élèves. L’enseignante amène une séquence sur l’histoire des mathématiques toutes les deux semaines environ.
La classe entière est présente lors de l’animation autour des séquences, profitant ainsi de faire émerger les questionnements, les observations de chacun. Les séquences sont construites en deux parties. Dans la première partie, l’enseignante raconte un épisode de l’histoire des mathématiques. Dans la deuxième partie, les élèves sont plus actifs et travaillent en manipulant des objets pour mieux intégrer le thème de la séquence.
Les séquences se déroulent dans la classe des élèves, entre le lieu de regroupement (partie contée) et la grande table (partie manipulée). Les élèves sont ainsi dans un environnement connu, sans nouveauté qui pourrait être source de distraction. Elles ont lieu le matin, lors des leçons scolaires prévues à l’horaire.

Devis expérimental

L’étude de cas

Pour fournir une analyse en profondeur et comprendre le cheminement des élèves, nous utilisons la méthode de l’étude de cas. En effet, dans l’enseignement spécialisé, il est difficile de comparer des groupes ou des classes, tant les caractéristiques sont différentes d’un élève à l’autre. Dans l’impossibilité de créer un groupe expérimental et un groupe contrôle, il nous a semblé logique de nous pencher sur l’évolution de quelques élèves avant, durant et après l’introduction des séquences sur l’histoire des mathématiques. L’étude de cas nous permet ici de mesurer l’évolution d’un élève étant lui-même son propre témoin. Nous sommes donc conscients que les résultats de ce travail ne peuvent être généralisés et qu’ils ne sont représentatifs que de cette situation précise. Comme le précise Gagnon (2012) « la première grande force de l’étude de cas comme méthode de recherche est de fournir une analyse en profondeur des phénomènes dans leur contexte » (p. 2). Toujours selon Gagnon, l’étude de cas permet de développer des paramètres historiques et donne une forte validité interne, car les phénomènes sont représentatifs de la réalité étudiée. Par contre « elle présente des lacunes importantes quant à la généralisation des résultats. En effet, il y a peu de chances d’avoir suffisamment d’études d’autres cas exactement comparables pour rendre les conclusions applicables à toute une population » (Gagnon, 2012, p.3).

Le devis à lignes de base multiples et mesures répétées

Le devis à lignes de base multiples et à mesures répétées donne une idée de l’évolution de l’état des compétences d’un élève avant, durant et après une intervention. Selon Lanovaz (2013), ce type de démarche permet « d’évaluer l’efficacité de l’intervention et de démontrer que l’intervention est responsable des changements observés » (p.161). Dans ce travail, nous cherchons à observer un changement dans les performances en mathématiques. Effectuer des mesures répétées permet d’une part d’avoir un aperçu des compétences avant l’intervention et d’autre part de vérifier si l’intervention a une incidence sur les performances des élèves. Cela permet aussi de voir si les performances restent stables après les interventions. Comme chaque cas est pris en compte pour lui-même, les données récoltées sont ici analysées séparément.
Les trois élèves sont testés sur leurs compétences en numération et en arithmétique deux fois avant les séquences, afin d’avoir des informations sur leurs compétences de base. Puis, les quatre séquences sont introduites, toutes les deux semaines, en continuant parallèlement d’évaluer les élèves avec le test de numération. Pour terminer, le test est encore passé deux fois après les séquences pour observer si les résultats restent fixes. Il y a donc huit tests au total (2+4+2). « Ce protocole, basé sur le retrait ou l’inversion du traitement consiste à vérifier si le recours […] à une intervention faite sur la variable indépendante [l’histoire des mathématiques] après la mesure d’un niveau de base de la variable dépendante [performances en numération et en arithmétique] est immédiatement suivi d’un changement appréciable de la VD (variable dépendante) » (Karsenti & Savoie-Zajc, 2011, p.160).
Idéalement, nous attendons une courbe horizontale sur les deux premiers tests, puis montante lors de l’introduction des quatre séquences, et finalement stable, mais plus élevée qu’au début, sur les deux derniers tests. Dans ce cas, on pourrait dire que les interventions sur l’histoire des mathématiques, sont directement suivies d’un changement dans les compétences en numération et arithmétique.

Instruments de mesure

Description du test en numération et arithmétique (Annexes 1 et 2).Le test que nous utilisons pour évaluer la progression ou non des sujets choisis se base sur un test déjà existant : le Tedi-math ; Test Diagnostique des Compétences de Base en Mathématiques créé par Van Nieuwenhoven, Grégoire et Noël (2001). Nous nous sommes inspirés de ce test validé et standardisé mais avons adapté les épreuves au niveau des sujets.Notre test comporte quatre domaines pour le niveau 3H (une élève) : le comptage, la compréhension du système numérique, le dénombrement, le transcodage (Annexe 1). Une section est ajoutée pour le niveau 5 H (deux élèves) : l’arithmétique (Annexe 2). Ces domaines sont en lien avec les séquences sur l’histoire des mathématiques menées en classe.Les scores correspondent aux points que chaque élève obtient aux différentes sections du test (1 point pour chaque réponse correcte). Ce sont donc les points récoltés par les élèves dans chaque domaine qui nous permettent d’observer l’évolution des performances.Afin d’éviter une mémorisation des réponses, les items sont légèrement modifiés à chaque passation (le nombre de jetons à dénombrer n’est jamais exactement le même par exemple).Ce test est passé de manière individuelle, une fois toutes les deux semaines environ. Il dure entre dix et quinze minutes. Le tableau ci-dessous présente à titre d’exemple pour chaque domaine, un critère d’évaluation et une question qui en découle.

Description du questionnaire sur le sens des mathématiques (Annexe 3)

Pour mesurer l’impact du dispositif sur les représentations que les élèves ont à l’égard des mathématiques, nous nous sommes inspirés du questionnaire de Vinais : évaluation diagnostique en mathématiques (Evaldim, 2010). Ce questionnaire permet de se faire une image des représentations des élèves, du côté du nombre plus particulièrement (à quoi servent les nombres ?) et du côté des mathématiques plus globalement (as-tu fais des mathématiques aujourd’hui ?). Evaldim fut élaboré par deux groupes de 30 enseignants spécialisés ayant participé auparavant à une formation mathématique « Histoire, culture, sens des mathématiques et pédagogie axée sur les aspects développementaux du sujet apprenant dans le champ du numérique ». Les dernières modifications proposées par des enseignants de terrain ont eu lieu en 2010.
Le questionnaire de base étant passablement long, nous en avons conservé uniquement les parties concernant le sens du nombre et des mathématiques dans la vie quotidienne.
Dans cette recherche, le questionnaire est présenté et lu aux élèves durant une entrevue individuelle d’une dizaine de minutes. L’enseignante lit les questions et l’élève y répond en utilisant une échelle de satisfaction (pictos). Plusieurs questions sont ouvertes et l’enseignante écrit alors les réponses des élèves. Ce questionnaire est présenté avant l’introduction des séquences et en toute fin de recherche. Durant le laps de temps des séquences, c’est avec un journal de bord que l’enseignante garde une trace des réflexions des élèves.

Journal de bord

Il s’agit d’un document dans lequel le chercheur note les impressions et les sentiments qui l’assaillent pendant la recherche […] Le journal de bord remplit ainsi trois fonctions : garder le chercheur en état de réflexion active pendant sa recherche, lui fournir un espace pour exprimer ses interrogations, ses prises de conscience, et consigner les informations qu’il juge pertinentes. (Karsenti & Savoie-Zajc, 2011, p.144,145).
Cette citation résume bien notre situation, le journal de bord y joue un rôle de fil rouge, permettant de garder en mémoire les réactions des élèves mais aussi les interrogations et les observations de l’enseignante. C’est un instrument de mesure intuitif, qui a une forme spontanée. Il n’est pas analysé de façon méthodique comme ce serait le cas avec une grille particulière, il sert plutôt à accompagner la recherche sur la longueur. En utilisant le journal de bord, l’enseignante peut porter un regard plus distant sur ce qu’elle vit en classe. En effet, le double rôle qu’elle joue ici est parfois difficile à gérer : elle crée et amène les séquences didactiques aux élèves de la classe et en même temps, elle contrôle par le test de numération l’évolution des performances des trois participants à la recherche. Le journal de bord est donc utilisé comme un moyen de déposer les questions, les réflexions, les doutes de l’enseignante sur l’évolution ou les réflexions de ses élèves.

Description des participants

Les trois élèves qui participent à la recherche ont été choisis car ils rencontrent des difficultés assez classiques dans les apprentissages mathématiques. Ils ont des problèmes d’organisation lors du dénombrement par comptage. Le passage des dizaines ou des centaines ne se fait pas automatiquement (comptage oral). La compréhension du système numérique (comparaison de nombres arabes) est imprécise. Enfin, au niveau du transcodage (passage d’une représentation du nombre à une autre), ces trois élèves montrent des difficultés. Au niveau du sens, tous trois fonctionnent de manière relativement similaire, exécutant des exercices de mathématiques sans forcément en comprendre le sens, en particulier dans la résolution de problème.
Par contre, leur niveau scolaire est bien différent. C’est pourquoi les tests sont adaptés pour chacun.
L’élève A. est âgé de 12 ans. Il a un niveau scolaire de début de 5H. Il compte de manière mécanique jusqu’à 2000. Le comptage à rebours et le comptage de saut en saut n’est pas acquis. Il n’est pas organisé lors du dénombrement par comptage d’une quantité. En arithmétique, il n’a pas compris le sens de la retenue dans les additions en colonnes. En ligne, ses additions sont incorrectes (45+37=712). Il n’a pas intégré la valeur positionnelle des chiffres. Au niveau de sa motivation, il dit aimer les mathématiques. Il a appris que ce serait utile pour sa vie et répète cette phrase sans pouvoir véritablement l’expliquer. C’est un élève qui doute très vite de lui et qui perd ses moyens quand la tâche lui semble trop compliquée. Il se trouve rapidement en surcharge cognitive. Il a besoin de soutien lors d’apprentissages nouveaux et pose beaucoup de questions probablement pour se rassurer.
L’élève Y. est âgée de 12 ans. Elle a un niveau scolaire de début de 5H. Elle compte jusqu’à 2000. Elle est capable de compter à rebours sur une courte séquence, ainsi que de compter de saut en saut (uniquement de 5 en 5). Elle n’a pas de stratégie de dénombrement et ne s’organise pas par groupement. L’organisation, de manière générale dans ses apprentissages, est une compétence qui est régulièrement travaillée. En arithmétique, elle a compris le système des additions en colonne avec retenue. Il lui est encore difficile de placer correctement en colonne une addition présentée en ligne. Pour elle aussi, la valeur positionnelle des chiffres n’est pas acquise. En ce qui concerne sa motivation, elle n’aime pas vraiment les mathématiques. Elle se montre relativement passive dans cette branche. C’est une élève qui aime faire juste, qui a le souci du regard des autres et particulièrement des adultes. Elle apprend souvent par cœur au coût de grands efforts, sans vraiment comprendrele mécanisme effectué et sans pouvoir généraliser ses apprentissages.

Table des matières
LISTE DES GRAPHIQUES, DES TABLEAUX ET DES ANNEXES
REMERCIEMENTS
RÉSUMÉ
MOTS CLÉS 
1. INTRODUCTION 
2. PROBLEMATIQUE
2.1. Problème de départ
3. APPORTS THÉORIQUES 
3.1. L’histoire des mathématiques
3.1.1. Le dénombrement
3.1.2. L’invention de la base
3.1.3. L’invention des chiffres
3.1.4. Les chiffres indo-arabes, leur valeur positionnelle et le zéro
3.2. Regard sur les moyens d’enseignement en lien avec l’histoire des mathématiques
3.3. Littérature existante pour la pédagogie
3.4. L’acquisition du concept de nombre
3.4.1. Habiletés numériques chez les bébés
3.4.2. L’acquisition du concept de nombre chez l’enfant
3.5. La motivation des élèves vis-à-vis des maths
3.6. Lien avec l’enseignement spécialisé
3.7. Synthèse du cadre théorique
4.METHODOLOGIE
4.1. Formulation et vérification de l’hypothèse
4.2. Dispositif général
4.3. Devis expérimental
4.3.1. L’étude de cas
4.3.2. Le devis à lignes de base multiples et mesures répétées
4.4. Instruments de mesure
4.4.1. Description du test en numération et arithmétique (Annexes 1 et 2)
4.4.2. Description du questionnaire sur le sens des mathématiques (Annexe 3)
4.4.3. Journal de bord
4.5. Description des participants
4.6. Description des quatre séquences
4.6.1. Le dénombrement (Annexe 4)
4.6.2. Le comptage par pointage corporel (Annexe 5)
4.6.3. Le passage de la quantité aux symboles (Annexe 6)
4.6.4. L’origine des chiffres arabes et du zéro et la valeur positionnelle (Annexe 7)
5. ANALYSE 
5.1. Résultats du test en numération et arithmétique
5.1.1. Elève A
5.1.2. Elève Y
5.1.3. Eleve O
5.2. Synthèse des résultats en numération et arithmétique
5.3. Résultats du questionnaire sur le sens des mathématiques
5.4 Synthèse des résultats du questionnaire sur le sens des mathématiques
5.5. Journal de bord
6. DISCUSSION GENERALE
7. CONCLUSION
8. BIBLIOGRAPHIE
8.1. Ouvrages (livres et articles)
8.2. Sites internet
9. ANNEXES

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