L’existence et L’unicité de L’équation de Schrödinger

L’existence et L’unicité de L’équation de Schrödinger

Naissance de l’équation

Au début du XXe siècle, il était devenu clair que la lumière présente une dualité onde-corpuscule, c’est-à-dire qu’elle pouvait se manifester, selon les circonstances, soit comme une particule, le photon, soit comme une onde électromagnétique. Louis de Broglie proposa de généraliser cette dualité à toutes les particules connues bien que cette hypothèse eût pour conséquence paradoxale la production d’interférences par les électrons — à l’instar de la lumière — ce qui fut vérifié ultérieurement par l’expérience de Davisson-Germer ( En physique quantique, l’expérience de Davisson-Germer a fourni une preuve critique qui confirme l’hypothèse de De Broglie postulant que les particules, comme les électrons, pouvaient se comporter comme des ondes (dualité onde-corpuscule). De manière plus générale, elle a aidé à étayer l’acceptation de la mécanique quantique et de l’équation de Schrödinger). On peut ainsi, pour toute particule d’énergie et de quantité de mouvement donnée, associer une onde de fréquence et de longueur d’onde données, appelée fonction d’onde. Cela détermine la célérité de l’onde, et de Broglie montra que ces relations sont compatibles avec la théorie de la relativité restreinte. Par suite, les particules ne sont ni des ondes, ni des masses ponctuelles ce sont des objets différents dont la description la plus adaptée est tantôt en termes ondulatoires (diffraction, interférences…) et tantôt en terme particulaires (impulsion, localisation…). Cet aspect, déroutant pour beaucoup de scientifiques de l’époque, a cependant été confirmé très tôt par des expériences rigoureuses.
L’une des conséquences les plus frappantes de cette dualité onde-corpuscule est que chaque particule peut interférer avec elle-même, dans une expérience de Young par exemple. Cela n’est pas seulement vrai pour les particules « élémentaires », comme le proton et l’électron, cela est aussi vrai pour des atomes et des molécules.L’équation de Schrödinger, établie par le physicien Erwin Schrödinger en 1925, est une équation fonctionnelle dont l’inconnue est une fonction, la fonction d’onde, ce qui généralise l’approche de Louis de Broglie ci-dessus aux particules massives non relativistes soumises à une force dérivant d’une énergie potentielle.

Biographie de Schrödinger

En imaginant l’équation d’évolution de la fonction d’onde associée à l’état d’une particule, il a permis le développement du formalisme théorique de la mécanique quantique.Cette équation d’onde qui tient compte à la fois de la quantification et de l’énergie non relativiste a été appelée par la suite équation de Schrödinger (pour laquelle il a reçu, en commun avec Paul Dirac, le prix Nobel de physique de 1933).Il est également connu pour avoir soumis l’étonnante expérience de pensée, nommée plus tard du Chat de Schrödinger, suite à une importante correspondance avec Albert Einstein en 1935.Il fit ses études à l’université de Vienne. Il enseigna la physique dans les universités de Stuttgart, en Allemagne, de Breslau, en Pologne, de Zurich, de Berlin, d’Oxford et de Graz, en Autriche.Il fut directeur de l’école de physique théorique de l’Institut des études avancées à Dublin de 1940 jusqu’à son départ en retraite en 1955.Schrödinger qui souffrait de tuberculose dut plusieurs fois séjourner au cours des années 1920 dans un sanatorium à Arosa. C’est là qu’il découvre son équation d’onde.

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1 l’historique de l’équation de schrödinger
1.1 Naissance de l’équation
1.2 les grands mathématiciens et physiciens qui ont travaillé sur l’équation de Schrodinger
1.3 Les contributions de Schrödinger
2 Rappels Mathématiques
2.1 Opérateurs non bornés dans un espace de Banach
2.2 Opérateurs m-dissipatifs
2.3 Opérateurs non borné dans les espaces de Hilbert
2.4 Semi-groupes
2.5 Problème de Cauchy
3 L’existence et L’unicité de L’équation de Schrödinger
3.1 L’équation de Schrödinger linéaire
3.2 L’équation de Schrödinger dans Rn ? Estimations de Strichartz
3.3 L’équation de Schrödinger non linéaire dans un domaine arbitraire Rn
3.4 Existence = Unicité pour un cas régulier
3.5 Existence locale = Well-posedness
3.6 Existence globale
3.7 L’équation de Schrodinger non linéaire dans Rn
4 Bibliographie