L’etude de la susceptibilite electromagnetique de circuits planaires

Wave Concept Iterative Procedure (WCIP)

Principes de la méthode La méthode WCIP (pour Wave Concept Iterative Procedure) a été introduite en 1995 par le Professeur Henri Baudrand [6]. Il s’agit d’une méthode de type méthode des moments adaptée à l’étude de circuits planaires microondes [7]. Des études ont ainsi été menées sur des antennes couplées [8] ou montées sur des plans de masse [9], sur des guides coplanaires [10] et des circuits multicouches [11], mais aussi des circuits à éléments localisés [12], des problèmes de diffraction [13], à la fois en coordonnées cartésiennes ou cylindriques [14], sur des structures BICMOS [15], des surfaces sélectives en fréquences [16], des structures périodiques [17], légèrement inhomogènes [18] ou avec des vias [19]. Afin d’améliorer la méthode, différentes techniques ont été envisagées : une technique de connexion spectrale [20], une étude sur l’impédance de référence et la prise en compte de la condition métallique [21], l’hybridation avec d’autres méthodes dont la TLM en 2008 [22, 23], et du préconditionnement en 2010 [24]. Par analogie entre les grandeurs électromagnétiques et les grandeurs de type circuit (schémas équivalents [25]), des ondes diffractées, A, et incidentes, B, sont définies sur une (ou plusieurs) interface(s) du circuit. Dans le cas où l’on se ramène à une surface dénommée Σ, cette dernière est l’interface entre deux domaines Ω1 et Ω2. La configuration est représentée sur la figure 1.1 où nous ne montrons que deux domaines par souci de simplicité.

Finite Element Method (FEM)

Principes de la méthode C’est l’une des techniques les plus répandues dans le domaine des méthodes numériques pour la résolution d’équations aux dérivées partielles. Au début du 20ème siècle, Ritz approche la solution par une somme finie de fonctions [35]. Cette approche est popularisée par Timoshenko [36], Bubnov et Galerkin. En 1941, Courant introduit une approximation fonctionnelle s’appuyant sur un maillage [37]. A partir des années 1960, elle se développe dans les domaines de la mécanique et du génie civil. Ainsi, les premières applications ont lieu dans l’analyse des structures. En effet, un groupe de chercheurs de Boeing (Turner, Clough, Martin et Topp [38]) utilisent cette méthode pour calculer la déformation de la voilure d’un avion. Elle est nommée « méthode des éléments finis » par Clough dans les années 1960 [39]. Le premier livre sur les éléments finis a été publié par Zienkiewicz et Chung en 1967 [40]. La méthode a été introduite en électromagnétisme dans les années 1970 par Silvester et Chari [41].

Décomposition de domaines dans HDG

   Les méthodes de décomposition de domaines sont divisées en deux classes : les méthodes avec recouvrement, également appelées méthodes de Schwarz (car c’est Schwarz qui les a proposées en 1870), et les méthodes sans recouvrement qui sont également appelées méthodes du complément de Schur [47]. Ces dernières consistent à regrouper les inconnues en deux groupes : des inconnues situées à l’interface entre les domaines et des inconnues situées à l’intérieur des sous-domaines. On commence par résoudre un système dont les inconnues sont les variables situées à l’interface puis on peut en déduire les inconnues intérieures aux sous-domaines. On peut faire ce travail pour un nombre de sous-domaines quelconque, mais il faut noter que la vitesse de convergence est dégradée quand le nombre de sous-domaines augmente. En premier lieu, le domaine HDG est découpé en trois sous-domaines identiques (des couches selon z cf. figure 4.1). Dans la section suivante, on généralise à Nd domaines. L’algorithme de décomposition de domaines de type Schwarz adopté ici est présenté dans [48] avec 2 domaines. L’objectif de cette technique est de remplacer la résolution d’un gros système linéaire par la résolution d’une succession de plus petits systèmes, ceci permettant de traiter des systèmes plus gros. On peut également répartir les calculs associés à chaque petit système sur différents processeurs. Ceci fait de la décomposition de domaines une technique particulièrement bien adaptée au calcul parallèle.

Table des matières

Introduction
0.1 Objectifs 
0.2 Mes contribution
1 Principes et propriétés des méthodes numériques 
1.1 Wave Concept Iterative Procedure (WCIP) 
1.1.1 Principes de la méthode
1.1.2 Système résolu par la méthode
1.1.3 Performances
1.2 Transmission Line Matrix (TLM) method
1.2.1 Principes de la méthode
1.2.2 Système résolu
1.2.3 Performances
1.3 Finite Element Method (FEM) 
1.3.1 Principes de la méthode
1.3.2 Système résolu
1.3.3 Performances
1.4 Hybridizable Discontinuous Galerkin (HDG) method
1.4.1 Principes de la méthode
1.4.2 Système résolu
1.4.3 Performances
1.5 Conclusions
2 Techniques d’hybridation 2D 
2.1 Formalisme général de l’hybridation 
2.2 Déclinaison de l’hybridation selon les méthodes
2.2.1 FEM
2.2.2 FDTLM
2.2.3 HDG
2.3 Validation numérique et ses enjeux 
2.3.1 Cas test du vide
2.3.2 Cas test du ruban
2.3.3 Diélectrique homogène avec permittivité relative εr = 5
2.3.4 Ruban sur un substrat de permittivité relative εr=5
2.3.5 Diélectrique inhomogène
2.3.6 Ligne microruban imprimée sur un substrat inhomogène
2.3.7 Comparaison des temps de calcul en 2D
2.4 Conclusions 
3 Techniques d’hybridation 3D 
3.1 Formalisme général de l’hybridation
3.2 Déclinaison de l’hybridation selon les méthodes
3.2.1 WCIP-2D/FDTLM-3D
3.2.2 WCIP-2D/HDG-3D
3.3 Validation numérique dans le cas 3D 
3.3.1 Cas d’un mode se propageant dans un cube métallique rempli de vide
3.3.2 Cas d’un mode se propageant dans un cube métallique rempli de diélectrique sans pertes
3.3.3 Cas d’un mode se propageant dans un cube métallique rempli de diélectrique avec pertes
3.3.4 Cas d’un mode se propageant sur une ligne microruban
3.4 Conclusions 
4 Décomposition de domaines dans HDG 
4.1 Système dans le cas 3 domaines 
4.1.1 Théorie
4.1.2 Ecriture de l’algorithme de résolution
4.2 Algorithme dans le cas Nd domaines 
4.3 Validation numérique
4.4 Conclusions 
5 Conclusions
6 Perspectives
Bibliographie

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