IBTS-77-RP-1000
Quantité et nombre analogique
Les premières capacités de quantification solliciteraient les représentations numériques non-verbales ou préverbales (Sarnecka et Carey, 2008). Considéré comme analogique (Dehaene, 1995), il s’agit d’un type de représentation primitif et universel codant le nombre de manière non-symbolique et donc non-verbale. Ce code analogique est indépendant du langage et ne nécessite pas d’acquisition scolaire. Il s’agit de la représentation mentale des quantités, de la magnitude sous forme de grandeur analogique.
La magnitude correspond à une grandeur variable qui peut s’exprimer à travers une représentation qualitative (longueurs, taille). Le modèle de l’accumulateur (Meck et Church, 1983), repris par Gelman et Gallistel (1992) permet de schématiser la représentation de la quantité chez les enfants sous forme de magnitude. L’idée est que face aux objets, la magnitude s’accroît à mesure que le nombre d’objets présent augmente. Mais ce modèle suppose une perception sérielle des quantités signifiant que face à une grande collection le temps de perception devrait être plus long que celui nécessaire pour une petite collection. En réalité, ce n’est pas le cas, puisque pour comparer deux quantités suffisamment discriminables, le temps de réponse sont très rapides et ne suivent pas une fonction linéaire. En revanche, plus la taille de la collection augmente, moins la discrimination est précise et plus elle est floue. Toutefois, le modèle de l’accumulateur reste valide lorsque la perception des nombres est sérielle, comme cela peut être le cas au niveau auditif. Pour certains auteurs, comme Dehaene et Cohen, c’est au sein de ce code analogique qu’est contenue l’information sémantique des nombres, c’est-à-dire le « sens du nombre » (Dehaene, 1992 ; Dehaene et Cohen, 1995 ; 2000). Il s’agit d’intuitions numériques rapides, automatiques et inconscientes (Dehaene, 2009). Servant ainsi de base aux apprentissages mathématiques ultérieurs, le code analogique s’affine et se précise avec le temps et avec l’expérience. Par la suite, grâce à un mapping bidirectionnel, la correspondance entre la magnitude et les nombres symboliques se met en place. Cela permet d’associer les représentations symboliques avec leur signification.
Les symboles numériques
Les codes symboliques sont les représentations numériques issues du langage et permettent de désigner précisément les nombres. Ils sont arbitraires et ne contiennent pas de sens sans association à leur grandeur lors des apprentissages. L’acquisition des représentations symboliques est complexe notamment car il n’y a pas de ressemblance entre le signifiant et le signifié (Fayol, 2012). De ce fait par exemple, on ne peut pas, à partir d’un nombre énoncé à l’oral, simplement retranscrire chaque mot par le nombre arabe correspondant car cela conduit à des erreurs de transcodage.
La représentation orale
Le code auditivo-verbal est la première représentation symbolique rencontrée et pratiquée par l’enfant au cours de son développement. Il s’agit de la représentation symbolique verbale orale des nombres, tel que [/deux]. Les premiers apprentissages numériques formels sont d’abord réalisés à l’oral, et, par mise en correspondance (mapping) avec une représentation de la quantité correspondante, les mots-nombres acquièrent leur signification. Le passage d’une représentation quantitative à une représentation précise (le mot-nombre) est le fruit d’un long apprentissage et nécessitera maintes manipulations et supports d’apprentissages (tel que les doigts).
Le système numérique verbal oral est composé de primitives lexicales où chaque mot fait référence à une quantité. Il y a ainsi des mots-nombres qui renvoient aux unités, aux particuliers (« onze » à « seize »), aux dizaines, aux multiplicateurs (« cent », « mille »…) et au « zéro ». Grâce à une syntaxe spécifique, les mots-nombres sont combinés pour constituer des nombres oraux plus grands et plus complexes selon des relations de somme (« cent-dix ») et/ou des relations de produit (« deux cent »). Mais peu importe la combinaison, la représentation auditivo-verbale ne peut faire référence qu’à une quantité spécifique.
La représentation arabe écrite
Si la désignation écrite des petits nombres est présente dès la fin de l’école maternelle, le code arabe-écrit n’est réellement enseigné et sollicité qu’au début de l’école primaire. Les représentations arabes écrites sont précises et quasi-universelles car non dépendante de la langue maternelle. Sur la base de primitives lexicales allant de 0 à 9, ce système de notation permet d’écrire tous les nombres existants.
Comme pour le langage oral des nombres, le système de la numération écrite comporte des inconvénients qui peuvent venir perturber son apprentissage. Cette représentation repose une notation positionnelle spécifique avec une valeur qui varie en fonction de la position du chiffre ainsi qu’un rôle différent pour le 0 en fonction de sa position. De même, la correspondance entre l’oral et l’écrit n’étant pas explicite dans la numération de la langue française, l’apprentissage est souvent plus long et difficile que pour d’autres langues. Enfin, il existe une influence visuelle et spatiale dans sa représentation puisqu’elle repose sur le concept de base 10. La valeur du nombre augmente d’une puissance 10 à chaque fois qu’un nombre se décale sur la gauche. Ces deux processus sont l’objet d’un très long apprentissage durant la scolarité.
L’ensemble de ces particularités conduit à des erreurs chez les élèves français d’abord lors du passage aux nombres à deux chiffres puis avec les nombres à n chiffres (Fayol, 2012). Le transcodage, capacité de passer d’une représentation à une autre, est un apprentissage qui se fait tout au long de l’acquisition des deux représentations. Il peut également être le fruit de difficultés et d’erreurs. Selon Mirassou (in Chokron et Démonet, 2010), le code verbal oral entrerait tout d’abord en relation avec le code arabe lors des premiers apprentissages mais les deux types de représentations se développeraient ensuite de manière indépendante. Par la suite il semblerait que dans certaines tâches, à chaque confrontation avec un symbole numérique, notre cerveau le traduise automatiquement et rapidement en une quantité approximative qu’il pourra manipuler.
Evolution de la représentation sur la ligne numérique mentale
Avant même que la chaîne numérique verbale ne soit développée, l’évaluation de collections linéaires sur une échelle analogique externe est possible dès l’âge de 3 ans et demi (Cuneo, 1982) et pour les numérosités jusqu’à 7. Toutefois, pour les numérosités supérieures, les aspects de longueur et densité ne sont distingués jusqu’à l’âge de 7 ans. On observerait dès 5 ans, des correspondances directes entre les systèmes de représentations symboliques et la LNM (De Hevia et Spelke, 2009 ; Donlan, Bishop et Hitch, 1998), l’élaboration de la LNM débuterait donc vers cet âge-là et rendrait possible les tâches d’estimation sur la LNM.
La ligne numérique mentale se développe principalement durant l’école élémentaire, permettant ainsi des estimations plus précises et avec moins d’erreurs (Siegler & Booth 2005). Toutefois, cette amélioration est vraie surtout pour les nombres compris entre 0 et 100 que 0 à 1000 par exemple (Siegler & Opfer, 2003) car ils sont plus fréquents et sollicités durant la scolarité.
L’effet de distance est présent dès 5 ans dans une tâche de comparaison de chiffres arabes (Donlan, Bishop et Hitch, 1998 ; Duncan et Mcfarland, 1980). Avec l’âge, l’effet de distance devient moins robuste et les temps de réponses sont moins influencés par cet effet (Sekuler et Mierkiewicz, 1977). La représentation sur la LNM serait plus comprimée chez les enfants jusqu’à 10 ans et avec plus de variabilité entre les numérosités. Pour Huntley-Fenner (2001), les représentations se chevauchent de moins en moins avec l’âge puisque de 5 à 7 ans la variabilité des réponses diminue. L’auteur explique que ce phénomène est lié à la maîtrise de la chaîne numérique verbale et du comptage. La représentation de la LNM serait donc similaire à celle des adultes mais elle évoluerait en nuance et en précision avec l’âge.
L’Estimateur
Principes
L’Estimateur (Vilette, 2009) a été conçu avec comme objectif initial «d’apprendre aux enfants à réaliser des opérations d’additions ou de soustractions qu’ils ne parviennent pas encore à maîtriser» (Vilette, Mawart et Rusinek, 2010, p.2). Il s’agit de mettre en interaction deux systèmes de traitement du nombre et du calcul : le système symbolique verbal ou oral et le système analogique spatial. En appariant ainsi les deux types de représentations on donne du sens au système symbolique puisqu’à chaque nombre va correspondre à une grandeur. Ce type d’activités se rapproche des épreuves de mapping de type «number-to-position» (Kolkman, Kroesbergen et Leserman, 2013 ; Laski et Siegler, 2007) qui nécessite d’accéder à l’information sémantique (non symbolique) pour placer précisément un nombre symbolique. Pour cela, on demande au sujet de situer la position d’un nombre sur une ligne de réponse bornée de 0 à 1000 au maximum, graduée ou non. Nous appelons ce type de représentation une ligne mais il ne doit pas être confondu avec la « ligne numérique mentale » où les nombres n’occupent pas le même espace (la même unité) puisqu’ils sont représentés selon leur fréquence et leur connaissance. Il ne s’agit pas non plus d’une règle graduée ou d’une bande numérique puisqu’on se situe dans l’arithmétique approximative.
Ce type de tâche d’appariement permet un apprentissage structuré sur le sens des nombres sans nécessiter de calcul exact. Il s’agit de solliciter une compétence de « bas niveau » mais qui est, comme nous l’avons vu, indispensable pour asseoir ultérieurement les apprentissages plus complexes.
Il a été programmé pour travailler différentes situations numériques : sur les collections, sur les nombres ou sur les opérations (additions, soustractions, divisions ou multiplications). Plusieurs paramètres sont à définir avant le démarrage d’une session. Cela permet entre autre d’adapter l’utilisation du logiciel au cas par cas, en fonction des caractéristiques et des possibilités de chaque sujet mais également selon sa progression individuelle. Chaque session comporte 10 items et il faut atteindre un critère de réussite de 70% de bonnes réponses pour passer à un autre niveau d’exercice.
Fonctionnement
Le programme se présente toujours comme suit : sur un écran d’ordinateur, le programme génère aléatoirement un stimulus cible : une quantité (≤24), un calcul de quantité (addition ou soustraction), un nombre (jusqu’à 1000) ou un calcul avec des nombres écrits (addition, soustraction, multiplication ou division). Au bas de l’écran, une ligne de réponse de 0 à 1000 maximum apparaît. Cette ligne peut être graduée ou non en fonction des objectifs visés. Les participants cliquent sur la ligne à l’endroit où il pense que se positionne la quantité ou le nombre cible ce qui permet une mise en correspondance entre un nombre symbolique et sa grandeur analogique. Ils doivent répondre aussi précisément que possible. En fonction des paramètres qu’on choisit, la réponse autorisée peut s’éloigner jusqu’à +/-50 unités de la réponse attendue.
Ainsi, selon les objectifs visés, il est possible d’ajuster plusieurs paramètres : le type de situation problème:activité sur les quantités, sur les nombres, addition, soustraction, division ou multiplication ;
la taille du champ numérique : 0 à 12, 0 à 24, 0 à 60, 0 à 100, 0 à 500 ou 0 à 1000 ; la graduation de la ligne numérique : graduée à la moitié, au quart, à la dizaine, à la centaine, ou à pas de 1 ; la précision attendue pour la réponse : précision à plus ou moins une, deux, trois, cinq, dix ou cinquante unité(s).
Les activités d’estimation numérique
Adaptation du logiciel
Comme mentionné plus haut, la progression est composée de quatre types d’activités différents. Nous allons développer ici uniquement l’apport de notre équipe de recherche qui concerne l’estimation numérique, le calcul approximatif et la mise en correspondance entre les représentations numériques.
Notre contribution s’articule principalement (mais pas exclusivement) autour du logiciel “Estimateur”, initialement conçu pour la rééducation des troubles du nombre et du calcul. Il a donc été adapté afin de correspondre aux exigences et aux objectifs du niveau CP.
Les principales adaptations sont les suivantes : attractivité de l’interface : couleurs modifiées, ajout d’images ludiques et stimulantes;
simplification des menus et du paramétrage afin de faciliter l’utilisation par les élèves : limitation du nombre de menus et de paramètres à sélectionner, simplification langagière, instauration d’un code couleur, … .
programmation d’activités de niveau CP (pour les nombres, l’addition et la soustraction) pour les nombres compris entre 1 et 100 ;
affichage et enregistrement des performances : barre de progression pour situer rapidement la performance de l’élève selon un seuil de réussite fixé à 70% de bonnes réponses ; enregistrement d’un fichier de résultats pour chaque session ;
réponses aux contraintes des salles informatiques de l’Ecole Primaire : possibilité d’utiliser le logiciel en binôme et ajout d’indicateurs permettant à l’enseignant de suivre chaque élève.
Au final, un logiciel plus attractif et plus ergonomique a été développé afin qu’il soit adapté aux possibilités des enfants de cet âge . Ces modifications ont été retenues après des pré tests auprès d’enfants de CP.
Le Parcours “Estimateur”, progression individuelle sur le jeu
Pour permettre un parcours individualisé, l’entraînement sur l’”Estimateur” est réalisé de manière progressive et en fonction des possibilités de chaque élève ou binôme. Pour cela, le « Parcours “Estimateur” » comprend un cheminement basique, commun à tous les élèves, qui correspond aux objectifs à atteindre avec le logiciel. En parallèle, plusieurs séances décrochées ou de remédiation sont prévues afin de débloquer les élèves en difficultés et les aider à atteindre ces objectifs.
De ce fait, un parcours est prévu pour chacune des opérations proposées : «Collection», «Nombre», «Addition» et « Soustraction ». Quelle que soit l’activité, on tente d’amener les élèves à faire correspondre un nombre et sa grandeur de la manière la plus précise possible, et sur des nombres de plus en plus grands.
Pour l’option « Collections », l’objectif à atteindre est de situer la numérosité exacte d’une collection de carrés ou le résultat d’une addition (ou d’une soustraction) de carrés. Dans ce cas précis, et uniquement dans ce cas, la ligne numérique est graduée de 1 en 1. Il s’agit pour l’élève de trouver le nombre exact correspondant à la numérosité présentée ou au résultat de l’addition (soustraction) présentée. Pour les options « Nombres », « Additions » et « Soustractions », l’objectif est toujours de situer le plus précisément possible sur la ligne numérique bornée la position correspondant à un nombre ou au résultat d’une addition/soustraction écrite.
Tout au long de l’année, chaque élève chemine sur son Parcours, à son rythme et selon les activités numériques réalisées dans les autres domaines.
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Table des matières
PREMIERE PARTIE : L’ACQUISITION DES MATHEMATIQUES, DE L’INTUITION AUX ACTIVITES COMPLEXES
CHAPITRE 1 LES DIFFERENTES REPRESENTATIONS NUMERIQUES : DEFINITIONS
1. QUANTITE ET NOMBRE ANALOGIQUE
1.1. LE « SYSTEME DE LOCALISATION D’OBJETS » OU SUBITIZING
1.2. LE « SYSTEME NUMERIQUE APPROXIMATIF »
1.3. LE SYSTEME GENERAL DE LA MAGNITUDE
2. LES SYMBOLES NUMERIQUES
2.1. LA REPRESENTATION ORALE
2.2. LA REPRESENTATION ARABE ECRITE
2.3. INTERACTION ENTRE LE NOMBRE ET L’ESPACE
CHAPITRE 2 LES MODELES DE TRAITEMENT DU NOMBRE ET DU CALCUL
1. LES ETUDES DE CAS DE DOUBLE-DISSOCIATION ET LES PREMIERS MODELES
2. L’ELABORATION D’UN MODELE ANATOMIQUE ET FONCTIONNEL DE LA CONSTRUCTION DU NOMBRE (DEHAENE)
2.1. LES TROIS CODES
2.2. LES CIRCUITS CEREBRAUX DES REPRESENTATIONS NUMERIQUES
3. LE DEVELOPPEMENT DE LA COGNITION MATHEMATIQUE D’APRES LE MODELE DE VON ASTER ET SHALEV (2007)
3.1. LES ETAPES DU MODELE
3.2. DEVELOPPEMENT DES TROUBLES DU CALCUL
3.3. LIMITES
CHAPITRE 3 LE DEVELOPPEMENT DES COMPETENCES NUMERIQUES DE LA PETITE ENFANCE A L’AGE SCOLAIRE
1. BREF RETOUR HISTORIQUE
2. LES ACQUISITIONS NUMERIQUES PRECOCES
2.1. LA DISCRIMINATION NUMERIQUE CHEZ LE BEBE
2.2. UNE PERCEPTION MULTIMODALE DU NOMBRE
2.3. DES CONNAISSANCES PLUS COMPLEXES DES LA NAISSANCE ?
3. ACQUISITIONS A L’AGE PRESCOLAIRE ET SCOLAIRE
3.1. AVANT LES PREMIERS APPRENTISSAGES FORMELS
3.2. LES APPRENTISSAGES SYMBOLIQUES
3.3. LA QUANTIFICATION
3.4. APPRENTISSAGES PLUS COMPLEXES
3.5. EVOLUTION DE LA REPRESENTATION SUR LA LIGNE NUMERIQUE MENTALE
CONCLUSION
DEUXIEME PARTIE : ROLES ET IMPLICATIONS DE L’ESTIMATION NUMERIQUE DANS LE
DEVELOPPEMENT DES COMPETENCES MATHEMATIQUES AU CP CHEZ L’ENFANT TYPIQUE
CHAPITRE 4 L’ENSEIGNEMENT DES MATHEMATIQUES AU CP : FONCTIONNEMENT, RESULTATS ET CONSTATS
1. LES PROGRAMMES OFFICIELS ET LES CONTENUS PEDAGOGIQUES
1.1. LES INSTRUCTIONS OFFICIELLES DE 2008
1.2. LES CAHIERS PEDAGOGIQUES
2. RESULTATS DES ENQUETES (IVQ ET PISA)
3. APPRENTISSAGES ET REMEDIATION EN MATHEMATIQUES A L’ECOLE PRIMAIRE
3.1. L’ENTRAINEMENT AUX PROCEDURES ET AUX CONCEPTS
3.2. L’ENTRAINEMENT AUX REPRESENTATIONS NON-SYMBOLIQUES
3.3. L’”ESTIMATEUR”
CHAPITRE 5 L’ESTIMATION ET LA MISE EN CORRESPONDANCE ENTRE LES CODES DANS LE PROGRAMME DE CP : AMELIORATION DES COMPETENCES MATHEMATIQUES ?
1. CADRE GENERAL DE LA RECHERCHE ACE
1.1. DEROULEMENT
1.2. LES ACTIVITES D’ESTIMATION NUMERIQUE
1.3. PARTICIPANTS
2. PROCEDURE
2.1. GROUPE EXPERIMENTAL
2.2. GROUPE CONTROLE
2.3. MESURES
3. RESULTATS
3.1. EFFETS GENERAUX DE LA PROGRESSION ACE
3.2. EVALUATION DU ROLE SPECIFIQUE DE L’ENTRAINEMENT A L’ESTIMATION NUMERIQUE
4. DISCUSSION
4.1. DEDRAMATISER L’ENSEIGNEMENT DES MATHEMATIQUES
4.2. REDUIRE LES INEGALITES SOCIO-ECONOMIQUES
4.3. L’EXPERTISE DE L’ENSEIGNANT ET LA CONNAISSANCE DE CE QU’IL ENSEIGNE
4.4. FAUT-IL INSTAURER UN ENTRAINEMENT SYSTEMATIQUE A L’ESTIMATION NUMERIQUE EN CLASSE DE CP ?
5. CONCLUSION
TROISIEME PARTIE : REMEDIATION DES TROUBLES NUMERIQUES BASEE SUR LE MAPPING ENTRE LES REPRESENTATIONS : INTERETS ET APPLICATION CHEZ LES ENFANTS PORTEURS DU SYNDROME DE DOWN
CHAPITRE 6 PROFIL COGNITIF DES PERSONNES ATTEINTES DE TRISOMIE 21 ET REMEDIATIONS
1. LA TRISOMIE 21 OU SYNDROME DE DOWN
2. PROFIL COGNITIF
2.1. NUMERATION, COMPTAGE ET CALCUL
2.2. SUBITIZING
2.3. ESTIMATION
3. DES PROGRAMMES EDUCATIFS BASES SUR LA MODALITE SENSORIELLE OU LA PEDAGOGIE
3.1. LE PROGRAMME TOUCH MATH (HANRAHAN ET NEWMAN, 1996)
3.2. LE PROGRAMME NUMICON (BIRD ET BUCKLEY, 2001 ; 2002)
3.3. LA METHODE STERN-MATH (STERN ET STERN, 1971)
3.4. LA METHODE KUMON (KUMON, 1958)
3.5. CONCLUSION SUR LES PROGRAMMES EDUCATIFS
4. VERS DES PROGRAMMES DE REMEDIATION BASES SUR LE « SENS DU NOMBRE » ?
CHAPITRE 7 ETUDES SUR LE « SENS DU NOMBRE » ET LE MAPPING ENTRE REPRESENTATIONS NUMERIQUES DANS LA TRISOMIE 21
1. LES CAPACITES DE MAPPING CHEZ LES T21
1.1. CADRE GENERAL ET HYPOTHESES
1.2. PARTICIPANTS
2. ETUDE D’APPRENTISSAGE BASEE SUR L’ESTIMATION SUR LA LNM ET LE MAPPING ENTRE REPRESENTATIONS
2.1. CADRE GENERAL ET HYPOTHESES
2.2. PARTICIPANTS
2.3. MATERIEL ET PROCEDURE
2.4. RESULTATS
3. DISCUSSION
3.1. SOLLICITATION DE L’ANS CHEZ LES ENFANTS ATTEINTS DE TRISOMIE 21
3.2. INTERET D’UNE REMEDIATION BASEE SUR LA MISE EN CORRESPONDANCE ENTRE LES REPRESENTATIONS
3.3. QU’EST-CE QUE CELA NOUS APPORTE DANS LA COMPREHENSION DU DEVELOPPEMENT TYPIQUE ?
4. CONCLUSION
QUATRIEME PARTIE : TRANSCODAGES ET INTERACTIONS ENTRE LES SYSTEMES DE
REPRESENTATIONS
CHAPITRE 8 LE TRANSCODAGE
1. LANGAGE ET TRANSCODAGE
2. LES HABILETES DE TRANSCODAGE NUMERIQUE SELON LA MODALITE ET LA DIRECTION DE LA TRANSCRIPTION
2.1. L’ACTIVATION DE LA GRANDEUR EST-ELLE AUTOMATIQUE ?
2.2. LE TRANSCODAGE NUMERIQUE SYMBOLIQUE
2.3. LES MODELISATIONS THEORIQUES DU TRANSCODAGE
2.4. LES QUESTIONS EN SUSPENS
CHAPITRE 9 ETUDE DEVELOPPEMENTALE DES CODES SYMBOLIQUES ET NON- SYMBOLIQUES AINSI QUE DE LEURS INTERACTIONS DE 6 A 9 ANS
1. CADRE GENERAL ET HYPOTHESES 1
2. PARTICIPANTS
3. MATERIEL ET METHODE
3.1. EVALUATION DES PERFORMANCES PROPRES A CHAQUE REPRESENTATION
3.2. EVALUATION DES PERFORMANCES DE TRANSCODAGE ORAL/ECRIT
3.3. EVALUATION DES PERFORMANCES DE MAPPING ANALOGIQUE/ECRIT
3.3. EVALUATION DES PERFORMANCES DE MAPPING ANALOGIQUE/ORAL
4. PROCEDURE
5. RESULTATS
5.1. PERFORMANCES A LA TACHE DE COMPARAISON RELATIVE DE QUANTITES
5.2. PERFORMANCES A L’EPREUVE DE COMPARAISON DE DEUX NOMBRES SYMBOLIQUES
5.3. PERFORMANCES AUX EPREUVES DE LECTURE ET DE DICTEE 1
5.4. PERFORMANCES AUX EPREUVES “ESTIMATEUR” ET “ESTIMATEUR” INVERSE
5.5. ANALYSE DEVELOPPEMENTALE DES REPRESENTATIONS NUMERIQUES, DES MISES EN CORRESPONDANCES ET DE LEURS RELATIONS 1
6. DISCUSSION
6.1. EVOLUTION DES REPRESENTATIONS NUMERIQUES DE 6 A 9 ANS
6.2. EVOLUTION DES CAPACITES DE TRANSCODAGE DE 6 A 9 ANS
6.3. EVOLUTION DES CAPACITES DE MAPPING ANALOGIQUE/SYMBOLIQUE DE 6 A 9 ANS
6.4. DEVELOPPEMENT DES REPRESENTATIONS ET DE LEURS RELATIONS DE 6 A 9 ANS
7. CONCLUSION
CONCLUSION GENERALE
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