Les systèmes d’équations linéaires

Les systèmes d’équations linéaires

Les initiateurs de l’algèbre linéaire

Il y a environ 4000 ans, le peuple de Babylone savait comment résoudre un système de 2X2 simple des équations linéaires à deux inconnues. Les Babyloniens ont étudié les problèmes qui conduisent à des équations linéaires simultanées et certaines d’entre elles sont conservées dans des tablettes d’argile qui survivent. Par exemple, une tablette babylonienne datant d’environ 300 avant JC contient le problème suivant: « Il y a deux domaines dont la superficie totale est de 1800  » mètres carrés « . On produit du grain au taux de 2/3 d’un boisseau par  » yard carré » tandis que l’autre produit des céréales au taux de 1/2 boisseau par « mètre carré ». Si le rendement total est de 1100 boisseaux, qui est la taille de chaque champ ? ».

La méthode de fausse position : c’est une méthode de calcul pour résoudre des problèmes de premier degré elle est à la fois très simple et très éléganre et puis très facile à utiliser Elle consiste devant un de ces problèmes à imaginer une solution dont nous savons qu’elle est fausse, on regarde ce que ça donne on regarde le résultat qu’on obtient on sait qu’il est faux mais en comparant le résultat faux qu’on a obtenu avec le résultat qu’on devait obtenir on fait la règle de trois et on trouve le résultat. Donc l’histoire de l’algèbre a commencé dans l’Egypte ancienne et Babylone, où les gens ont appris à résoudre les équations linéaire (ax = b) et quadratique ( ax2 + bx = c), ainsi que les équations indéterminées telles que x2 + y2 = z2 , où plusieurs inconnues sont impliquées. Les mathématiciens d’Alexandrie Héron et Diophante ont continué les traditions de l’Egypte et de Babylone, mais le livre de Diophante « Arithmétique » a un niveau beaucoup plus élevé et donne de nombreuses solutions surprenantes à des équations indéterminées difficiles. Le monde islamique lui aussi était intéressé par la résolution des équations,

Cette ancienne connaissance était connue comme la science de la restauration et l’équilibrage. (Le mot arabe pour la restauration est al – jabre qui est la racine du mot algèbre.) Au 9ème siècle, par le mathématicien arabe al –Khawarizmi qui est d’origine du khawarezm, une province de l’Ouzbékistan. Le principal ouvrage mathématique d’al Khawarizmi est « al kitab al mukhtasar fi hisab al jabr wa-l-muqabala ». Rédigé à l’époque d’al Mamoun, l’ouvrage traite des équations du second degré liant les nombres, les racines et les carrés. Al Khawarizmi a l’idée de les classer en six types différents, toujours en phrases comme : Racines et carrés égaux à des nombres, Carrés et nombres égaux à des racines, Racines et nombres égaux à des carrés, autrement dit a__+bx=c , a__ _ c = bx , c +bx= a__,avec a,b,c>0.

Il faut souligner l’importance de cette partie du travail d’al Khawarizmi : c’est la première fois qu’on considère qu’une équation du second degré peut avoir deux racines et le critère d’existence à l’aide du discriminant de l’équation est donné. Al Khawarizmi passe de l’équation : 4__ − 2_ + 3 = 3__ + 2 à l’équation : 4__ + 3 = 3__ + 2_ + 2 Parmi les mathématiciens arabes on peut aussi citer Omar Khayyâm qui vivait à l’époque de guerre entre les turcs seldjoukides, convertis à l’Islam sunnite. Il est astronome, mathématicien comme c’étais dit au début philosophe et poète. Le sujet du traité d’algèbre est l’étude détaillée des équations du troisième degré .Omar Khayyâm cite al khazin (vers 900-971) qui aurait résolu cette équation avec des sections coniques. Ne considérant que des coefficients strictement positifs, Omar Khayyâm distingue 25 cas dont 11 se ramènent à des équations de degré inférieur (équations de degré inférieur ou égal à 2 et équations sans termes constants). Il reste 14 cas où Omar Khayyâm obtient les solutions positives par intersection de coniques : cercles, parabole ou hyperboles. Par exemple, pour __ + __ = _, Omar Khayyâm obtient la solution comme longueur d’un segment construit à l’aide de l’intersection (distincte de 0) de la parabole :

Les équations 

Vers 1450, Johannes Gutenberg invente l’imprimerie, permettant dés le début du XVI siècle de diffuser les documents écrits à une large échelle .A travers l’impression des textes de Léonard De Pise dit Fibonacci ou encore de Luca Pacioli, l’Italie a accès à l’essentiel du savoir arabe et les mathématiciens d’alors se passionnent pour l’algèbre et surtout, pour le problème encore laissé ouvert : trouver une méthode générale et exacte de résolution de l’équation cubique. Nous avons vu qu’Omar Khayyâm n’avait pu trouver de solution algébrique aux équations du troisième degré. Personne ne fit mieux pendant les siècles suivants c’est jusqu’au début du 16ème siècle que Scipione Del Ferro qui y parvint enfin en 1515. Cette découverte qui a attendu si longtemps tient en une simple astuce de calcul .Il ne faut pas oublier qu’à cette époque le calcul littéral n’existait pas et qu’on écrivait, quand les cubes et les inconnues sont égaux à des nombres, une équation de la forme et qu’on ne discutait que des exemples numériques. Une interprétation graphique montre immédiatement que si p et q sont positifs, la cubique x3 rencontre la droite d’équation y = q – px en un unique point d’abscisse positive.

A la fin du 17ème siècle

Lagrange, a développé ce qui concerne les multiplicateurs de Lagrange, un moyen de « caractériser les fonctions multi variées maxima et minima. Plus de cinquante ans plus tard, Cramer a présenté ses idées de systèmes de résolution d’équations linéaires basées sur les déterminants plus de 50 ans après Leibnitz. , Cramer n’a fourni aucune preuve pour résoudre un système nxn. Car En 1750, Gabriel Cramer publie son « Introduction à l’Analyse des Courbes Algébriques ». Si on exclut une lettre de Gottfried Wilhelm Leibniz au Marquis de l’Hôspital, datée du 28 avril 1693, mais qui ne sera publiée et connue qu’en 1850 c’est dans ce texte de Cramer qu’on trouve une des premières notations permettant d’écrire un système d’équations linéaires avec des coefficients indéterminés : Soient z, y, x, v les inconnues de système suivant : A1 = Z1z + Y1y + X1x + V1v. A2 = Z2z + Y2y + X2x + V2v. A3 = Z3z + Y3y + X3x + V3v. A4 = Z4z + Y4y + X4x + V4v. Où les lettres A1, A2, A3, A4. ne marquent pas comme à l’ordinaire, les puissances d’A, mais le premier membre, supposé connu, de la première, seconde, troisième, quatrième. équation.

De même Z1, Z2. Sont les coefficients de z ; Y1, Y2. Ceux de y ; X1, X2. Ceux de x ; V1, V2. Ceux de v. dans la première, seconde, équation la résolution dans le cas n=3, il induit l’énoncé d’une règle générale de calcul permettant de trouver la solution d’un système carré, à l’aide de ce qu’on appellera plus tard les déterminants. Donc l’algèbre linéaire est devenue plus pertinente depuis l’émergence du calcul, même si c’est l’équation fondamentale de ax + b = 0, remonte à plusieurs siècles. Dans son texte intitulé, Sur une « Contradiction Apparente dans la Doctrine des Lignes Courbes », datant de 1750, Euler traite du paradoxe dit de Cramer. L’étude du problème le mène à remettre en cause le fait qu’un système de n équations linéaires en n inconnues détermine toujours une solution unique, fait qui, semble-t-il, était à l’époque implicitement admis de tous. Euler commence par examiner ce problème pour n=2 ; il donne comme exemple les deux équations :

Table des matières

REMERCIEMENTS
INTRODUCTION
L’histoire de l’algèbre linéaire
I – L’antiquité
I.1 – Les initiateurs de l’algèbre linéaire
II – La Renaissance
II .1 L’Europe
II.1.1 Les équations
II.1.2 Les systèmes d’équations linéaires
II.1.3 Déterminant et Matrice
II.1.4 Les espaces vectoriels

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