Les problématiques définies par berthelot et salin

Les problématiques définies par Berthelot et Salin

Problématique géométrique

La problématique géométrique a pour unique référence la géométrie du mathématicien. L’étude se déroule dans un espace conceptualisé, elle porte sur des objets qui ont une valeur de généralité. L’ensemble des énoncés produits sur cet espace doit être consistant au sens de non contradictoire. L’enchainement logique de propositions permet à la fois la résolution des problèmes posés et leur validation dans le même espace. La validation est ainsi interne à la résolution (Gobert, 2001, p. 20). Les situations qui relèvent de cette problématique géométrique s’inscrivent dans une finalité théorique, à l’instar de la situation fondamentale des médiatrices.

Problématique de modélisation 

Dans une problématique de modélisation, l’espace sensible est modélisé par un système symbolique qui vérifie deux propriétés. D’une part des relations dans le modèle sont signifiantes de relations dans l’espace sensible. D’autre part ce système symbolique permet la production de nouveaux objets et relations à partir des objets et relations de départ associés à un ensemble de règles internes. Le problème posé dans l’espace sensible peut ainsi être converti en un problème dans le modèle. La résolution de ce problème s’effectue dans ce modèle puis la solution est interprétée dans l’espace sensible (Berthelot & Salin, 1992, p. 52). Ainsi l’espace de référence et l’espace de validation sont l’espace sensible tandis que la résolution s’opère dans le modèle (Gobert, 2001, p. 24). Toutefois des argumentations fournies à l’intérieur du modèle en conformité avec les règles qui le régissent permettent également une validation interne au modèle (Gobert, 2001, p. 21)(Pressiat et Combier, 2001).

Berthelot et Salin nomment « spatio-géométrique » cette modélisation de l’espace par des connaissances issues du savoir géométrique (Berthelot et Salin, 1992a, p. 53). Pour Gobert, une problématique de modélisation est caractérisée par une « validation particularisée au problème, sans souci de généralité (Gobert, 2001, p. 19)». Pour Pressiat et Combier, une problématique de modélisation est finalisée « en partie par l’efficacité dans l’espace sensible ou objectif, mais aussi par la recherche d’une solution reproductible, dépassant le problème immédiat. Cette solution doit être communicable à d’autres, en s’appuyant sur un modèle explicatif dont la fonction doit pouvoir être éprouvée. Ces contraintes, communes aux métiers techniques et scientifiques, sont semblables à celles mises en œuvre dans des situations d’initiation de jeunes élèves à la géométrie comme modèle de l’espace. » Pressiat et Combier (2001, p. 3) Nous considérons que dans une situation qui relève d’une problématique de modélisation, la généralisation peut naître de la recherche d’une méthode de résolution commune à plusieurs contextes singuliers. Cela nécessite de mettre en regard les conditions d’obtention de la solution avec les conditions de l’action :
– Quelles sont les conditions nécessaires à la réussite ?
– Quelles sont les variables dont cette réussite est indépendante ?
– Sous quelles conditions la solution validée ici et maintenant est-elle généralisable ?

Pour une situation donnée, le choix des variables détermine cette potentialité de généralisation qui sera ou non exploitée par l’enseignant. Ainsi, dans le cas de la reproduction de figure, le choix de donner à reproduire à chaque élève ou groupe d’élèves des objets graphiques représentant le même objet géométrique, mais différents quant à leurs dimensions et orientations spatiales (comme développé plus loin dans notre ingénierie), ouvre la possibilité de passer d’une validation portant sur un objet graphique isolé à une validation portant sur une classe d’objets graphiques. Si l’objet théorique représenté ne fait pas partie du répertoire didactique de la classe (que nous définissons paragraphe Chapitre II4 du chapitre II), une telle situation permet potentiellement un apprentissage de propriétés de cet objet.

Problématique pratique

Berthelot et Salin (1992) considèrent une troisième problématique de rapport à l’espace qui contribue à expliquer les difficultés rencontrées lors de la mise en œuvre de séquences d’enseignement de géométrie plane : la problématique pratique. La problématique pratique se base sur une démarche pragmatique ancrée dans le réel. Les élèves font des essais, ils évaluent la pertinence de leurs choix et de leurs affirmations, ajustent leurs actions à partir des rétroactions qu’ils perçoivent dans l’espace sensible. Les rapports spatiaux sont contrôlés de manière empirique avec un souci d’efficacité pratique sans recherche de conceptualisation. Les actions sont donc effectives, sans caractère de généralité. Les situations qui correspondent à cette problématique sont des situations d’action ou de communication pour lesquelles l’espace sensible est à la fois espace de référence, de résolution et de validation (Berthelot & Salin, 1992, p. 52)(Gobert, 2001). Confrontés à un problème à résoudre dans l’espace, les élèves peuvent convoquer des connaissances géométriques mais se placent parfois dans une problématique pratique. Ils mobilisent alors leurs connaissances spatiales immédiatement disponibles et économiques en conceptualisation, de préférence aux connaissances géométriques visées par l’enseignant.

Paradigmes géométriques et ETG

Dans leurs recherches sur la formation d’enseignants du premier degré, Houdement et Kuzniak (1999) explicitent des conceptions différentes de la géométrie sous forme de paradigmes. Au niveau de l’enseignement obligatoire, l’existence de deux conceptions de la géométrie est source de malentendus entre élèves et professeurs de collège et se retrouve lors de la formation des futurs professeurs des écoles. Les exemples sont nombreux d’élèves ou étudiants engagés dans une démonstration de géométrie qu’ils veulent rigoureuse, théorique, conforme aux standards de la géométrie euclidienne telle qu’elle est enseignée au collège et qui soudain confrontés à une difficulté après un enchainement logique de propositions issues des données de l’énoncé admettent comme vrai un fait perçu par les sens. Une relation observée par l’intermédiaire d’instruments de géométrie, une mesure prélevée sur un dessin, viennent compléter leur raisonnement, s’y insèrent avec le même niveau de validité que les données de l’énoncé. L’enseignant rejette bien souvent l’ensemble du raisonnement, ce qui provoque chez son auteur incompréhension et parfois découragement. Une conséquence de ces difficultés est un désintérêt pour la géométrie de la part de nombreux enseignants et candidats au concours de professeur d’école, notamment parce qu’ils n’ont pas compris ses enjeux quand ils étaient élèves (Houdement, 2013). Dans leurs travaux sur la formation des enseignants en géométrie, une recherche épistémologique à visée didactique conduit Houdement et Kuzniak à définir le cadre des paradigmes géométriques pour rendre compte « des géométries » en jeu dans l’école primaire et dans le concours et construire un outil d’analyse opérationnel en formation d’enseignants. « Il faut donc créer un lieu, des mots, un espace pour l’élève et l’enseignant afin de différencier des preuves, reconnaître leurs qualités et leurs manques vis-à-vis d’un contrat de formalisme institué par les programmes. Cet espace doit mettre en cohérence des pratiques géométriques anciennes (telles celles de l’école primaire) et une approche plus théorique qui ne s’appuie (presque) plus sur la figure, mais ne s’en libère pas pour autant. »(Houdement, 2007) .

Deux hypothèses fondent la construction du cadre théorique que proposent Houdement et Kuzniak (1999) : « HYP 1. La première est que des paradigmes différents et cohérents sont englobés sous le terme unique de géométrie. L’existence de ces différents paradigmes explique en partie la rupture que l’on rencontre dans l’enseignement, entre école et collège, puis entre collège et lycée. HYP 2. La seconde suppose qu’étudiants (des IUFM), enseignants et élèves de l’école primaire se situent implicitement dans des paradigmes différents et que ce fait est une source de malentendu pédagogique. » (Houdement et Kuzniak, 1999) .

Après une présentation de la notion générale de paradigme, nous développerons l’adaptation qui en est faite par Houdement et Kuzniak au domaine de la géométrie élémentaire.

Notion de paradigme

Houdement et Kuzniak retiennent la définition duale d’un paradigme donnée par Kuhn (1972) qui distingue un niveau global et un niveau local. D’un point de vue global, un paradigme est tout d’abord ce qui fonde une communauté scientifique, lui donne sa cohérence et lui permet de créer de nouvelles connaissances. Les scientifiques y partagent une certaine conception du monde, des enjeux de leurs recherches, des méthodes considérées comme valides. Ils y puisent les problèmes types à résoudre et les solutions standard de leur domaine. Durant la période de stabilité d’un paradigme, « la pratique scientifique consiste, pour l’essentiel, à résoudre des problèmes qui se posent à une communauté de chercheurs partageant tout à la fois des modèles heuristiques et ontologiques […] des méthodes de travail ou encore des outils […] » (Nadeau, 1995, p.5). Puis vient un moment de rupture, la tradition de recherche établie ne permet pas de dépasser des difficultés qui surviennent. Les façons de penser se transforment, le paradigme sur lequel s’appuie la pensée scientifique et la pratique est mis en cause, de nouvelles théories surviennent qui peuvent conduire à des découvertes, résoudre des problèmes insolubles jusque-là. Un nouveau paradigme s’installe alors apportant de nouvelles perspectives de recherche (Nadeau, 2003).

Table des matières

INTRODUCTION
GENÈSE DE LA RECHERCHE
ÉBAUCHE DE PROBLÉMATIQUE
PLAN DE LA THÈSE
CHAPITRE I ÉTUDE DU SAVOIR VISÉ : LA GÉOMÉTRIE
1. DEUX FONCTIONS DISTINCTES POUR LA GÉOMÉTRIE À ENSEIGNER
2. LES PROBLÉMATIQUES DÉFINIES PAR BERTHELOT ET SALIN
2.1. PROBLÉMATIQUE GÉOMÉTRIQUE
2.2. PROBLÉMATIQUE DE MODÉLISATION
2.3. PROBLÉMATIQUE PRATIQUE
3. PARADIGMES GÉOMÉTRIQUES ET ETG
3.1. NOTION DE PARADIGME
3.2. PARADIGMES ET GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE
3.3. LES ESPACES DE TRAVAIL GÉOMÉTRIQUE
3.4. RELATIONS ENTRE LES PROBLÉMATIQUES ET LES PARADIGMES GÉOMÉTRIQUES
4. CONNAISSANCES SPATIALES ET CONNAISSANCES GÉOMÉTRIQUES
5. DE L’ARTEFACT À L’INSTRUMENT
6. LA VISUALISATION DES FIGURES
7. LES DIFFÉRENTS ESPACES
7.1. DÉFINITIONS RETENUES
7.2. LES PRINCIPALES RECHERCHES FRANÇAISES QUI PRÉSENTENT DES SITUATIONS DANS LE MÉSO-ESPACE
8. LES PROGRAMMES DE GÉOMÉTRIE EN FIN DE PRIMAIRE ET AU DÉBUT DU COLLÈGE
8.1. PRÉSENTATION GÉNÉRALE
8.2. LE THÈME ESPACE ET GÉOMÉTRIE
8.3. LES CONNAISSANCES AU PROGRAMME DU CYCLE 3 POUR LE THÈME ESPACE ET GÉOMÉTRIE EN 2016
8.4. DES INDICATIONS DU PROGRAMME EN RELATION AVEC NOTRE ÉTUDE
9. DES SPÉCIFICITÉS DU LANGAGE UTILISÉ EN GÉOMÉTRIE AU CYCLE 3
9.1. DIFFÉRENTS LANGAGES UTILISÉS EN GÉOMÉTRIE AU CYCLE 3
9.2. POLYSÉMIE
9.3. ARTICULATION ENTRE NOMS DES UNITÉS FIGURALES ET TERMES GÉOMÉTRIQUES
9.4. CE QUE NOUS ENTENDONS PAR « QUALIFICATION »
CHAPITRE II POINTS D’APPUI THÉORIQUES POUR L’ANALYSE DES SITUATIONS DIDACTIQUES
1. ÉLÉMENTS ISSUS DE LA THÉORIE DES SITUATIONS DIDACTIQUES
1.1. SITUATIONS ET MILIEUX
1.2. SITUATIONS DIDACTIQUES, NON DIDACTIQUES, ADIDACTIQUES
2. DISTANCE ENTRE SITUATION D’ACTION ET SITUATION DE FORMULATION EN GÉOMÉTRIE
3. DES CONNAISSANCES AU SAVOIR
3.1. CONNAISSANCES ET SAVOIR
3.2. LES PROCESSUS DE DÉVOLUTION ET D’INSTITUTIONNALISATION
4. LE RÉPERTOIRE DIDACTIQUE
5. UN MODÈLE DE STRUCTURATION DU MILIEU
6. LES RAISONNEMENTS
6.1. QU’EST-CE QU’UN RAISONNEMENT ?
6.2. RAISONNEMENT EFFECTIF
6.3. UN MODÈLE D’ANALYSE DES RAISONNEMENTS
6.4. LES FONCTIONS DES RAISONNEMENTS EN LIEN AVEC L’ACTION DANS LE CADRE DE LA REPRODUCTION DE FIGURE (PREMIER AXE)
6.5. LES FONCTIONS DES RAISONNEMENTS EN LIEN AVEC LA FORMULATION DANS LE CADRE DE LA REPRODUCTION DE FIGURE (PREMIER AXE)
6.6. ANALYSE SÉMIOTIQUE ET IDENTIFICATION DES CONNAISSANCES ET DES SAVOIRS
CHAPITRE III L’INGÉNIERIE DIDACTIQUE
1. CHOIX DE L’INGÉNIERIE DIDACTIQUE
1.1. PREMIERS CHOIX MÉTHODOLOGIQUES LIÉS À LA PROBLÉMATIQUE
1.2. NOS PRINCIPAUX CHOIX MATHÉMATIQUES ET DIDACTIQUES
2. ANALYSE MATHÉMATIQUE DU TRACÉ D’UN LOSANGE
3. LA SITUATION DE COMMUNICATION DANS LE MICRO-ESPACE
3.1. PRINCIPE GÉNÉRAL
3.2. ORGANISATION DES ÉLÈVES
3.3. LA SITUATION ÉTUDIÉE
3.4. ANALYSE A PRIORI DE LA SITUATION DE COMMUNICATION
4. LA SITUATION DE REPRODUCTION DE LOSANGES DANS LE MÉSO-ESPACE
4.1. PRINCIPE GÉNÉRAL
4.2. ORGANISATION DES ÉLÈVES ET DE L’ESPACE
4.3. ANALYSE A PRIORI DE LA SITUATION DANS LE MÉSO-ESPACE
CONCLUSION

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