Les polynômes et leurs opérations

Pratiques arithmétiques, pratiques algébriques et validation

Chevallard (1989) identifie une dialectique entre le numérique et l’algébrique qui, selon lui, existait avant la construction d’un langage algébrique proprement dit  «Les Grecs distinguaient entre deux arithmétiques, Ï ‘arithmétique vulgaire, ou logistique, celle des calculateurs, et l’arithmétique « propre aux philosophes », comme dit Platon, c ‘est à dire, en gros, la théorie de nombres. Les calculateurs calculent. Les arithméticiens étudient la structure du numérique.

Le savoir algébrique dans les manuels scolaires

Le savoir algébrique à enseigner n’est pas un savoir figé. On assiste ainsi régulièrement à des transformations des programmes scolaires qui affectent ce savoir. Comme le montre Chevallard (1989), avec les transformations des programmes scolaires en France, la dialectique entre le numérique et l’algébrique s’est évanouie; ce dernier événement n’est pas uniquement localisé en France. Nous verrons qu’il est aussi présent dans d’autres pays, notamment au Québec. En l’absence d’une telle dialectique, le savoir algébrique à enseigner devient autre. Quel est le savoir algébrique qui est alors objet d’enseignement? Quels en sont les effets sur les connaissances construites par les élèves, sur leur validation? Avant de procéder à une analyse du savoir algébrique dans les manuels scolaires québécois, il nous apparaît intéressant de rappeler très brièvement les résultats d’une étude menée par Panizza et Drouhard (2003) sur l’enseignement de l’algèbre, étude dans laquelle ces chercheurs procèdent à un examen de situations d’enseignement représentatives de celles que l’on retrouve dans les manuels scolaires.

Selon Panizza et Drouhard (2003), à l’école secondaire en Argentine et en France, l’algèbre est un ensemble de formules qui décrivent des faits numériques, et un ensemble de règles d’action pour bien appliquer les formules. Les auteurs montrent, par exemple, que dans l’identité (a+b)2, qui est introduite au moyen d’une activité géométrique (voir la figure suivante), les calculs algébriques restent dans un deuxième plan ou ne se réalisent pas. L’identité apparaît pour les élèves plus comme une «formule» que comme un théorème. Ils ajoutent que ces présentations ont des conséquences sur les conceptions des élèves par rapport à ce que sont et comment s ‘obtiennent les résultats en algèbre.

Introduction aux expressions algébriques

En secondaire, il s’agit de «préparer)> les élèves à l’apprentissage de l’algèbre, qui sera plus spécifiquement abordée en 2e secondaire. Le manuel analysé propose des activités qui ont comme objectif d’amener les élèves à recourir à une écriture algébrique, en les plaçant dans des situations où ils doivent observer des régularités, puis exprimer en langage symbolique la règle reliant un nombre et son rang dans une suite (patterns). Dans ce cas, le langage algébrique permet de représenter le terme général de la suite, de l’exprimer à travers d’une formule. L’utilisation qu’on fait de la formule est, au maximum, pour calculer n’importe quel terme de la série, tâche pour laquelle la représentation algébrique n’est pas nécessaire (il est suffisant d’identifier la structure du terme général). Comme Mary (1999) le fait remarquer, la particularité du cadre de présentation choisi par les auteurs élimine la possibilité de production de formules diverses; cette production permettrait cependant, même en 1 ere secondaire, la réalisation d’un travail non formel sur l’équivalence des procédures et des expressions algébriques. La question de la validation est ainsi absente.

En 2e secondaire, l’objectif terminal est la résolution des problèmes se traduisant par une équation du premier degré. On peut reconnaître la structure globale suivante: une introduction aux différents sens des expressions algébriques, aux calculs sur des expressions algébriques et à l’application de l’opératoire algébrique à la résolution des équations. Les expressions algébriques sont introduites comme « moyens d’expression », «moyens de formulation» et « moyens de généraliser d’une situation ».

Chapitre I: Problématique 
1. Pratiques arithmétiques, pratiques algébriques et validation
2. Le savoir algébrique dans les manuels scolaire
2.1. Introduction aux expressions algébriques
2.2. Les opérations sur des expressions algébriques
2.3. Les polynômes et leurs opérations
3. Synthèse
4. La nécessité de la construction d’une ingénierie
5. La pertinence de notre recherche
Chapitre II: Cadre théorique 
1. L’enseignement de l’algèbre et la validation
1.1. La généralisation de pattems numériques et géometriques
1.1.1. La généralisation de pattenrs et la question de la validation
1.1.2. Les pattenrs et la question du sens des expressions symboliques associées
1.2. La construction de l’algébrique dans une dialectique avec le numérique
1.3. Perspective fonctionnelle dans la construction de l’algébrique
1.4. Éléments de la problématique de l’algèbre dans la théorie anthropologique du
didactique
1.5. Bilan sur les entrées en algèbre
2. La validation dans l’enseignement des mathématiques
2.1. Démonstration, preuve et argumentation
2.2. Les fonctions des preuves
2.3. Les preuves et les élèves
2.4. L’évolution de la rationalité mathématique en classe de mathématiques
2.4.1. Les règles du débat mathématique
2.4.2. Le débat scientifique
2.4.3. La construction des normes sociomathématiques
2.4.4. Argumentation et démonstration: continuité ou rupture9
3. La validation intellectuelle en algèbre dans le cadre de la théorie des situations
3.1. Modélisation de la connaissance dans la Théorie des Situations
3.2. La notion d’adidacticité
3.3. Situations de validation : connaissances enjeu, adidacticité
3.4. Situation de preuve intellectuelle
4. Précision des questions de recherche
Chapitre III: Méthodologie 
1. Orientations et adaptations de la méthodologie de l’ingénierie didactique en regard des
objectifs de notre recherche
2. Description et analyse de situations initiales
2.1 Description de la première situation
2.1.1. Diverses parties et tâches
2.1.2. Analyse apriori
2.1.2.1. Variables relatives à la contradiction et la nécessité de la recherche de
raisons
2.1.2.2. Les connaissances des élèves et leur évolution face à la contradictio
2.1.2.3. Variables relatives à la gestion du professeur
2.1.2.4. Le traitement de la certitude
2.2. Description de la version papier-crayon de la deuxième situation
2.2.1. Diverses parties et tâches
2.2.2. Analyse apriori
2.2.2.1. Variables liées à la production de méthodes de calcul et des stratégies
2.2.2.2. L’exigence de production d’une formule et la validation
2.3. Description de la version informatique de la deuxième situation
2.3.1. Description du jeu des suites
2.3.2. Organisation de la situation autour du jeu
2.3.2.1. Situation 2’ : description
2.3.2.2. Les différences avec la situation
3. Descriptions des échantillons expérimentaux
3.1 .Les expérimentations réalisées en Argentine
3.2. Les expérimentations réalisées au Québec
4. Définition des observables
5. Analyse des données
Chapitre IV : Analyse de résultats 
1. Analyse des données de la Situation
1.1 .Interactions et fonctionnement des connaissances à l’intérieur des groupes, lors du
choix des nombres (première partie)
1 .2.Mise en commun t gestation et traitement de la contradiction, interactions didactiques
et connaissances impliquées
1.3. Interactions didactiques et fonctimmement des connaissances à l’intérieur des groupes
(la recherche d’explications)
1.4. Débat collectif: production d’explications, interactions et connaissances
1.5. Conclusions
2.1. Situation 2 : version papier-crayon
2.2.1. Interactions et fonctionnement des connaissances à l’intérieur des groupes dans le
choix des stratégies de calcul
2.2.2. Débat collectif: production d’explations, interactions et connaissances
impliquées dans la classe Al
2.2.3. Débat collectif: production d’exlications, interactions et connaissances
impliquées dans la classe A2
2.2. Situation : version informatique
2.2.1. Les interactions dans le contexte des tâches réalisées avec l’environnement
informatique
2.2.2. Le débat collectif
2.2.3. Conclusions
3. Concluions générales
Chapitre V: Conclusions générales 
1. Conditions didactiques et caractéristiques de pratiques émergentes
2. Nature des interactions à l’intérieur des pratiques privilégiées dans les classes
3. Limites et perspectives de recherches futures
Bibliographie

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