Les modèles mathématiques

INTRODUCTION

Les modèles mathématiques sont employés partout pour simuler des phénomènes physiques courants. De plus, le prototypage virtuel est un avenir prometteur puisqu’il est moins coûteux et moins long à fabriquer qu’un prototype réel. Il est donc très intéressant de modéliser à l’aide d’outils informatiques, des pièces mécaniques à géométries complexes telles une portière d’automobile ou une capsule de bouteille. Plus la géométrie à modéliser est complexe, plus la représentation par des fonctions analytiques devient lourde. La méthode d’analyse par éléments finis est apparue au milieu du vingtième siècle. La méthode consiste à décomposer une géométrie en sous-domaines appelés éléments et à appliquer une fonction représentant le comportement du problème aux nœuds de chaque élément. L’équation d’équilibre globale, formée à partir du principe variationnel, est finalement résolue à l’aide des conditions limites, soit de façon analytique ou à l’aide d’une méthode numérique. La discrétisation par éléments finis est la méthode la plus couramment utilisée dans l’industrie car de nombreuses études portant sur l’analyse par éléments finis ont déjà été effectuées. Elle a pour avantages d’être rapide et flexible comparativement à la conception d’un prototype physique, en plus d’être moins coûteuse.

La discrétisation par éléments finis est aussi très convoitée pour des analyses dans des milieux hostiles et inaccessibles, comme à l’intérieur du corps humain. Cependant, les problèmes majeurs rencontrés lors d’une analyse par éléments finis sont : la qualité du maillage et le nombre très élevé de nœuds et d’éléments, donc une augmentation de la taille du problème à résoudre. Ceci est d’autant plus vrai lorsqu’il est question des temps de calculs informatiques et de l’espace disque nécessaire aux solutions itératives des problèmes non-linéaire. Plusieurs types de modélisation existent, les discrétisations à l’aide de maillages structurés ou non, l’utilisation des éléments triangulaires ou quadrangulaires pour les surfaces, et les maillages hybrides permettant un mélange de tous ces types. Le but du présent projet est de programmer un algorithme permettant la génération automatique des éléments en respectant une bonne qualité de maillage et en diminuant les temps de calculs informatiques et l’espace disque nécessaire. En résumé, le but ultime est de réduire le nombre d’éléments en gardant une bonne précision dans les résultats.

Représentation graphique

La réingénierie, « reverse engineering » en anglais, est une technique qui consiste à construire le modèle virtuel d’une composante mécanique existante [8]. Les courbes et les surfaces « B-Spline » [9] et NURBS [10] sont des méthodes utilisées pour la représentation géométrique des pièces. Puisque les surfaces générées par ces méthodes sont décrites de façon discrète par des points de contrôle, il peut arriver qu’il n’y ait pas coïncidence parfaite aux zones de rencontre d’arêtes par exemple, créant ainsi des trous et des discontinuités. Ceci est un inconvénient car il n’existera pas de méthodes automatiques pour les réparations des surfaces. De plus, la nature non-linéaire des NURBS signifie que toutes les opérations sur de telles surfaces sont aussi non-linéaires, si bien qu’un simple calcul d’intersection peut coûter très chère puisqu’il conduit à la recherche de la solution d’un problème de minimisation non-linéaire avec au moins deux valeurs de tolérance qui n’ont aucune signification physique.

Une méthode comme le krigeage, dont la théorie est expliquée au prochain chapitre, a pour avantage de faire passer automatiquement la surface créée par les points réels, inspectés sur la pièce à modéliser. En plus, l’équation de la surface krigée est continue et dérivable dans toutes les directions, ce qui permet d’extruder les surfaces pour des représentations volumiques. Finalement, le krigeage offre une discrétisation paramétrique des surfaces krigées à l’aide d’éléments quadrangulaires à quatre nœuds.

Maillage hybride

Les maillages hybrides comprennent plusieurs types d’éléments, par exemple, une combinaison d’éléments triangulaires et quadrangulaires (voir figure 1.6a). Ce type de maillage est surtout utilisé pour discrétiser des problèmes complexes de la mécanique des fluides. Les éléments à quatre nœuds couvrent les régions près des surfaces de contact et les triangles discrétisent le reste du domaine d’analyse [20]. Ce dernier point confirme encore une fois le choix des éléments quadrangulaires pour une précision accrue, comme sur le voisinage d’un solide en mécanique des fluides. Les maillages hybrides comprennent aussi certaines régions structurées et d’autres non [21-26]. Il arrive que les maillages deviennent non-structurés pour mieux représenter les frontières (voir figure 1.6c) ou encore pour augmenter la précision en diminuant la taille des éléments en raffinant localement (voir les figures 1.6b et 1.6d).

Sélection manuelle de la zone critique

Pour ce générateur de maillage, l’élément au centre de la zone où l’usager veut obtenir une meilleure précision, est sélectionné manuellement. La méthode utilisée pour la sélection d’un élément est décrite dans les prochaines lignes. Elle se divise en six étapes :
• Calcul de la plus grande diagonale pour le rayon du cercle de capture
• Validation du choix de l’usager
• Vérification des nœuds compris dans le cercle
• Sélection des éléments ayant leurs quatre nœuds dans le cercle
• Validation finale par la méthode de Newton-Raphson à deux variables
• Sélection des éléments adjacents .

Modification pour l’adaptation sur la frontière

Puisque les quatre nœuds de l’ élément de départ ont dû être légèrement déplacés pour éviter les «Bad Shape Elements», comme le montre la figure 4.25, le schéma de raffinement doit subir d’autres modifications. Les changements doivent tenir compte de trois critères : tous les éléments demeurent des quadrilatères, les éléments sur la frontière sont plus petits car souvent les contraintes critiques s’y retrouvent et puisque les cercles sont concentriques pour les autres nœuds, les ellipses le sont pour les nœuds à modifier. Une première ébauche est faite à l’aide de la méthode de déplacement des nœuds dans Ansys®. Cette étape permet de visualiser le maillage en plus de vérifier qu’il est conforme aux normes de qualification. Par la suite, de façon plus automatique, les nouvelles coordonnées des nœuds sont créées pour respecter la concentricité des ellipses.

Incorporation du modèle elliptique dans le maillage grossier

Présentement, tous les nouveaux nœuds ont une coordonnée par rapport au système de référence unitaire r-s. Il faut donc l’implanter dans le maillage en tenant compte de l’allure des éléments à raffiner, c’est-à-dire l’élément sélectionné et son entourage. Pour la première étape de cette section, les éléments adjacents ayant une arête en commun avec l’élément, doivent être classés de façon à savoir leur position par rapport à l’élément ciblé. Les éléments adjacents n’ayant qu’un nœud en commun avec l’élément en question servent seulement à déterminer un point d’interpolation pour l’incorporation des nouveaux sommets de l’ancien élément cible.

La sélection du point d’interpolation constitue la deuxième étape de cette section. La troisième étape est d’interpoler tous les nouveaux nœuds, du modèle de raffinement pour obtenir leur coordonnée dans le domaine X-Y du maillage de départ. La connectivité pour les nouveaux éléments est incluse en guise de quatrième et dernière étape de cette section.

Table des matières

ABSTRACT
REMERCIEMENTS
LISTE DES TABLEAUX
LISTE DES FIGURES
LISTE DES ABRÉVIATIONS ET DES SIGLES
INTRODUCTION
CHAPITRE 1 revue de la littérature
1.1 Représentation graphique
1.2 Choix du type d’éléments
1.3 Choix du type de maillages
1.3.1 Maillage structuré
1.3.2 Maillage non-structuré
1.3.3 Maillage hybride
1.4 Objectifs et contributions prévues
CHAPITRE 2 MAILLAGE DE SURF ACES 3D PAR KRIGEAGE 
2.1 Définition du krigeage dual pour les surfaces 3D
2.2 Développement de l’algorithme et de l’interface
2.2.1 Inspection des coordonnées réelles
2.2.2 Sélection des options de krigeage
2.2.3 Transfert du maillage vers un logiciel d’analyse par éléments finis
2.3 Exemples de maillages de pièces minces
CHAPITRE 3 GÉNÉRATION DE VOLUMES PAR EXTRUSION 
3.1 Calcul des normales à la surface
3 .2 Calcul de 1 ‘épaisseur maximale
3.3 Génération de volume à partir de surface
3.4 Applications
3.4.1 Exemple d’une pièce sphérique
3 .4.2 Exemple d’une pièce symétrique
3.4.3 Exemple d’un angle de dépouille pour un outil de coupe
CHAPITRE 4 RAFFINEMENT LOCAL DU MAILLAGE 
4.1 Introduction
4.2 Sélection manuelle de la zone critique
4.2.1 Calcul de la diagonale maximale
4.2.2 Sélection de 1 ‘usager
4.2.3 Vérification des nœuds à l’intérieur du cercle
4.2.4 Vérification des éléments à l’intérieur du cercle
4.2.5 Validation de l’élément sélectionné
4.2.6 Identification des éléments voisins
4.3 Développement d’un schéma elliptique pour le raffinement
4.3.1 Étude sur la distorsion des éléments
4.3.2 Amélioration du modèle elliptique
4.3.3 Modification pour l’adaptation sur la frontière
4.3.4 Incorporation du modèle elliptique dans le maillage grossier
CHAPITRE 5 COMPARAISON DES MAILLEURS ET APPLICATIONS 
5.1 Introduction
5.2 Comparaison du modèle elliptique avec les autres schémas
5.3 Application de la méthode de raffinement dans des cas typiques
5.3.1 Plaque droite en flexion pure
5.3.2 Tube à paroi mince en flexion pure
5.3.3 Plaque trouée en traction pure
5.3.4 Plaque encochée en traction pure
5.3.5 Plaque encochée en flexion pure
5.3.6 Plaque avec changement de section en traction pure
5.3.7 Plaque avec changement de section en flexion pure
CHAPITRE 6 PERSPECTIVES 
CONCLUSION
RECOMMANDATIONS
RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES

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