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PROPRIETES DES MANIPULATEURS SERIELS
Manipulateurs quadratiques et quartiques
Les manipulateurs quadratiques sont ceux dont le polynôme du MGI peut être réduit à des polynômes du second degré au plus. [Smith 90] propose une méthode basée sur les coniques permettant de trouver toutes les conditions sur les paramètres de DHm conduisant à des manipulateurs quadratiques.
Les manipulateurs quartiques sont ceux dont le polynôme du MGI peut s’écrire à l’aide de polynômes de quatrième degré. Ces manipulateurs sont les plus nombreux. La classe des manipulateurs quartiques peut contenir des manipulateurs cuspidaux ou non cuspidaux.3
Manipulateurs binaires et quaternaires
Les manipulateurs binaires sont ceux qui ne possèdent que deux solutions au plus au MGI. Pour les manipulateurs sériels à 3 ddl d’architecture générale, aucune condition dépendant des paramètres de DHm n’a été établie pour qu’un manipulateur soit binaire.
Il a été montré que les manipulateurs à 3 ddl ayant deux articulations prismatiques sont tous binaires (voir [Bennis 91] par exemple).
Finalement, [El Omri 96] a démontré que les manipulateurs orthogonaux sans offset (r2 = r3 = 0) et tel que d2 d3 sont binaires si et seulement si ils vérifient la relation suivante : d2 > d3 > d4. Contrairement aux manipulateurs binaires, les manipulateurs quaternaires peuvent avoir jusqu’à 4 solutions au MGI et représentent la majorité des manipulateurs.
[Burdick 95] a montré que les manipulateurs 3R tel que : d2 = 0 ou d3 = 0 (manipulateurs dont deux axes se coupent) sont des manipulateurs quaternaires. Une condition nécessaire et suffisante dépendant des paramètres de DHm pour qu’un manipulateur 3R orthogonal et tel que r3 = 0 soit quaternaire est établie dans [Wenger 04b].
Les manipulateurs 3R orthogonaux sont des manipulateurs à 3 articulations rotoïdes à axes orthogonaux (2 = -90°, 3 = 90°). L’étude d’un tel type de manipulateur se fera en fonction des paramètres de DHm : d2, d3, d4, r2 et r3. Les trois variables articulaires considérées sont : 1, 2 et 3. On ne considèrera pas de butées articulaires donc les trois variables articulaires sont illimitées. La figure 2.1 (a) représente l’architecture cinématique d’un manipulateur de la famille étudiée dans la configuration zéro. La figure 2.1 (b) représente un modèle solide d’un tel manipulateur. L’effecteur est représenté par le point P qui est repéré par ses 3 coordonnées cartésiennes x, y et z dans le repère de référence (o, x, y, z) lié à la base du manipulateur.
CLASSIFICATION DES DEUX FAMILLES DE MANIPULATEURS 3R ORTHOGONAUX
Une étude portant sur l’analyse et la classification des manipulateurs 3R orthogonaux a été menée dans [Baili 04]. Les auteurs ont introduit une classification de ces manipulateur qui repose sur la notion de topologie d’espace de travail. Ils ont défini la topologie d’espace de travail par le nombre de points cusps et le nombre de nœuds qui apparaissent sur les surfaces de singularité.
Deux familles de manipulateurs 3R orthogonaux étaient étudiées séparément dans [Baili 04], la première concernait les manipulateurs n’ayant pas d’offset sur leur dernier axe (r3=0), la deuxième famille est celle des manipulateurs ayant un offset sur leur dernier axe (r3≠0).
Manipulateurs 3R orthogonaux avec r3=0
Partition de l’espace des paramètres suivant le nombre de points cusps
Le problème consiste tout d’abord à rechercher des conditions sur les paramètres de DHm pour qu’un manipulateur soit cuspidal.
Pour qu’un manipulateur appartenant à la famille étudiée soit cuspidal, il faut que le polynôme P(t) de son MGI donné par l’équation (2.4) admette une ou plusieurs racines triples. P(t) admet une ou plusieurs racines triples revient à dire que le système suivant admet des solutions.
Manipulateurs 3R orthogonaux avec r3≠0
Comme pour le cas r3=0, le but est de déterminer toutes les topologies d’espace de travail possibles ainsi que les équations des surfaces les séparant et dont chacune représente la transition entre deux topologies d’espace de travail.
Dans ce cas, en plus des variables x, y et z représentant la position de l’effecteur et les 3 paramètres de DHm d3, d4 et r2, on rajoute un autre paramètre de DHm à savoir r3. Ceci complique naturellement le problème. La résolution du système polynomial S (Equation 2.5) devient complexe, même en utilisant les bases de Groebner, qui donnent un nombre très élevé de cellules dont l’analyse est fastidieuse.
Dans [Baili 04], comme pour le cas r3=0, une exploration numérique des différents domaines a été effectuée grâce à un balayage dans plusieurs sections (d3, d4) de l’espace des paramètres pour un couple (r2, r3) donné. Des domaines contenant des manipulateurs non cuspidaux et des domaines contenant des manipulateurs cuspidaux ayant 2, 4, 6 ou 8 cusps ont été trouvés. Les équations des surfaces (2.9) séparant ces domaines ont été déterminées par une analyse géométrique des transitions, et ont été retrouvées mathématiquement.
CLASSIFICATION DES MANIPULATEURS 3R ORTHOGONAUX PARTICULIERS
Dans ce paragraphe, nous classifions les manipulateurs particuliers des dix familles exposées dans la figure 2.6. Les manipulateurs de chaque famille seront classifiés séparément.
Pour une famille déterminée, la méthodologie de classification des manipulateurs est la suivante : Premièrement, nous substituons les valeurs des paramètres de DHm nuls dans les équations des surfaces de transition (2.13) si r3 = 0 ou (2.14) si r3 ≠ 0.
Deuxièmement, nous testons soigneusement par un balayage la validité de ces surfaces, nous choisissons plusieurs points tests de l’espace des paramètres de part et d’autre de chaque surface de transition. Nous rappelons qu’un point de l’espace des paramètres est associé à un manipulateur. Nous calculons les singularités de chacun des manipulateurs tests choisis dans le balayage. S’il y a apparition ou disparition de nœuds pour les manipulateurs tests à proximité d’une surface de transition précise, nous constatons que celle-ci est valide et existe vraiment dans l’espace des paramètres. Une surface sera rejetée si (i) elle n’est pas valide, (il n’y aura pas d’apparition ni de disparition de nœuds sur les singularités des manipulateurs testés) (ii) elle définit un manipulateur toujours singulier (e.g. d4 = 0). La situation (i) est due au fait que l’élimination numérique, dans le système (2.7), est effectuée pour le cas général (e.g. tous les paramètres sont considérés non nuls) et ne prend pas en compte dès le début les paramètres nuls des manipulateurs particuliers, ce qui aboutit à la génération des surfaces parasites et non valides pour certaines familles.
Les surfaces de transition valides trouvées divisent l’espace des paramètres d’une famille de manipulateurs en plusieurs zones. Les manipulateurs appartenant à chacune de ces zones ont la même topologie des singularités, et par suite ils ont les mêmes propriétés suivantes dans leur espace de travail: le nombre de nœuds, l’existence de cavités, les nombres de zones à 2 et à 4 solutions et la t-parcourabilité.
Dans la classification suivante, les familles A, B, C, D et E définissent les manipulateurs 3R orthogonaux ayant le paramètre r3 = 0 et au moins un autre paramètre de DHm nul. Les manipulateurs de ces familles sont donc caractérisés par, au maximum, trois paramètres non nuls. Par suite l’espace des paramètres de chacune des familles sera définie par deux ou trois paramètres. Dans les cas où l’espace des paramètres est défini par trois paramètres, nous53 normalisons par un paramètre tous les autres paramètres. De cette façon, pour chaque famille une section bidimensionnelle de l’espace des paramètres sera analysée.
Les familles F, G, H, I et J définissent les manipulateurs 3R orthogonaux ayant au moins un paramètre de DHm nul. Les manipulateurs de ces familles sont donc caractérisés par, au maximum, quatre paramètres non nuls. Par suite l’espace des paramètres de chacune des familles sera définie par deux, trois ou quatre paramètres. Pour les familles dont l’espace des paramètres est défini par trois paramètres, nous procèderons par une normalisation suivant un paramètre. Pour celles dont l’espace des paramètres est défini par quatre paramètres, nous normaliserons par un paramètre de DHm et nous en fixerons un autre pour pouvoir faire l’analyse dans une section bidimensionnelle.
FAMILLE A (d2= 0, r2 ≠ 0, d3 ≠ 0, r3 = 0)
Les manipulateurs de la première famille étudiée sont définis par d2 = 0 et r3 = 0. La figure 2.7 nous montre un manipulateur de cette famille.
Le polynôme caractéristique des manipulateurs de la famille A s’écrit sous une forme quadratique, ce qui confirme que ces manipulateurs ne sont pas cuspidaux, il est obtenu en substituant d2 = 0 et r3 = 0 dans l’équation (2.4) : 2 2 où , , et sont fonction des paramètres de DHm (cf. Annexe A) P t At Bt C A B C (2.15)
Le déterminant de la matrice jacobienne a une forme simplifiée, il est obtenu en substituant d2 = 0 et r3 = 0 dans l’équation (2.3). Il s’écrit sous la forme suivante.
Les manipulateurs de type I1 sont tels que d3 > d2 et d4 >. Leur espace de travail n’a ni cavités toroïdales ni nœuds. Il est composé de deux régions à 2 solutions au MGI et d’une région à 4 solutions (Figure 2.29, Type I1). Il n’est pas totalement t-parcourable.
Leur espace articulaire est divisé en quatre aspects par quatre branches de singularités, dont deux droites horizontales et deux courbes. Aucun des quatre aspects a pour image par le MGD la totalité de l’espace de travail.
Type I2
Les manipulateurs de type I2 sont tels que d3 > d2 et d4 < . Leur espace de travail a une cavité toroïdale et deux nœuds. Il est composé de deux régions à 2 solutions au MGI, de deux régions à 4 solutions et d’une région à 0 solutions qui constitue la cavité (Figure 2.29, Type I2). Il n’est pas totalement t-parcourable.
Leur espace articulaire est divisé en quatre aspects par quatre branches de singularités, dont deux droites horizontales et deux courbes. Aucun des quatre aspects a pour image par le MGD la totalité de l’espace de travail.
Type I3
Les manipulateurs de type I3 sont tels que d3 < d2 et d4 > . Leur espace de travail a une cavité toroïdale et deux nœuds. Il est composé de deux régions à 2 solutions au MGI et d’une région à 4 solutions et d’une région à 0 solutions qui constitue la cavité (Figure 2.29, Type I3). Il n’est pas totalement t-parcourable.
Leur espace articulaire est divisé en quatre aspects par quatre branches de singularités, dont deux droites horizontales et deux courbes. Aucun des quatre aspects a pour image par le MGD la totalité de l’espace de travail.
Type I4
Les manipulateurs de type I4 sont tels que d3 < d2 et d4 < . Leur espace de travail a une cavité toroïdale et aucun nœud. Il est composé d’une région à 2 solutions au MGI, d’une région à 4 solutions et d’une région à 0 solutions qui constitue la cavité (Figure 2.29, Type I4). Il est totalement t-parcourable.
Leur espace articulaire est divisé en quatre aspects par trois branches de singularités, dont deux droites horizontales et une courbe. Deux des quatre aspects ont pour image par le MGD la totalité de l’espace de travail.
Sur la figure 2.30, on présente les espaces articulaire et de travail du même manipulateur de type I4 présenté sur la figure 2.29 en exposant la t-parcourabilité de ce type de manipulateurs, les aspects 1 et 2 ont pour image par le MGD tout l’espace de travail (partie hachurée), et les aspects 3 et 4 juste la partie grise.
ANALYSE ET COMPARAISON DES MANIPULATEURS SUIVANT DES CRITERES DE PERFORMANCES LOCALES
La topologie de l’espace de travail est le critère de comparaison le plus important entre manipulateurs. Dans le paragraphe précédent, la comparaison entre les différents types de manipulateurs était basée sur la topologie de l’espace de travail qui constitue un outil d’analyse globale et qui rassemble les analyses globales d’accessibilité et de parcourabilité.
D’autres critères de comparaison, comme la compacité de l’espace de travail ou le conditionnement n’ont pas été pris en compte. Dans ce paragraphe, pour compléter notre étude, nous prenons en compte ces deux critères supplémentaires. Dans les paragraphes suivants, nous rappelons quelques outils permettant l’évaluation des performances locales des manipulateurs, nous intégrons un nouvel index de performance, et nous l’utilisons pour l’analyse des manipulateurs d’un même type, et pour la comparaison des cinq meilleurs types de manipulateurs mis en évidence dans le paragraphe précédent.
OUTILS D’ANALYSE DES PERFORMANCES LOCALES
Dans ce paragraphe, nous rappelons la notion de dextérité et nous exposons les différentes façons de la mesurer.
La dextérité peut être définie comme « l’agilité de la main ». C’est l’aptitude de l’organe terminal du manipulateur à effectuer « facilement » des petits déplacements autour du point de travail considéré. La dextérité est liée à une configuration articulaire et fait intervenir la matrice jacobienne. Cette notion est étroitement liée au rapport entre les vitesses articulaires et les vitesses opérationnelles. La dextérité est utile pour mesurer la proximité d’une configuration singulière. La dextérité peut être mesurée de quatre manières différentes [Angeles 92] que l’on va rappeler dans les paragraphes suivants :
Manipulabilité
Ce concept a été introduit par Yoshikawa en 1985 [Yoshikawa 85]. C’est un moyen d’évaluer « la facilité de changer de manière arbitraire la position et l’orientation de l’organe terminal ». Il définit pour cela deux outils (i) l’ellipsoïde des vitesses opérationnelles et (ii) l’indice de manipulabilité. L’ellipsoïde des vitesses opérationnelles est défini par l’inéquation suivante : X JJ X T T T 1 1 (3.1) où X définit la vitesse opérationnelle. Les axes principaux de l’ellipsoïde sont les vecteurs propres de JJT 1 et les longueurs de ses demi-axes sont les valeurs singulières σi de JJT c’est-à-dire les racines carrées des valeurs propres λi de JJT .
L’indice de manipulabilité est défini par l’équation (3.2). w det JJT (3.2).
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Table des matières
Introduction
Chapitre 1 : Cinématique et propriétés des manipulateurs
1. INTRODUCTION
2. MECANISMES DE TYPE MANIPULATEUR
2.1. LES MANIPULATEURS D’ARCHITECTURE SERIELLE
2.2. LES MANIPULATEURS D’ARCHITECTURE PARALLELE
2.3. COMPARAISON DES MANIPULATEURS SERIELS ET PARALLELES
3. MODELISATION GEOMETRIQUE
3.1. ESPACE ARTICULAIRE ET ESPACE OPERATIONNEL
3.2. MODELE GEOMETRIQUE DIRECT
3.3. MODELE GEOMETRIQUE INVERSE
4. SINGULARITES
4.1. SINGULARITES DES MANIPULATEURS SERIELS
4.2. SINGULARITES DES MANIPULATEURS PARALLELES
5. L’ESPACE ARTICULAIRE ACCESSIBLE ET L’ESPACE DE TRAVAIL
5.1. L’ESPACE ARTICULAIRE ACCESSIBLE
5.2. L’ESPACE DE TRAVAIL
6. PROPRIETES DES MANIPULATEURS
6.1. NOTION D’ASPECT
6.2. NOTION DE PARCOURABILITE
6.3. MANIPULATEURS CUSPIDAUX
7. CONCLUSION
1. INTRODUCTION
2. PRELIMINAIRES
2.1. PROPRIETES DES MANIPULATEURS SERIELS
2.2. PRESENTATION DES MANIPULATEURS 3R ORTHOGONAUX
2.3. CLASSIFICATION DES DEUX FAMILLES DE MANIPULATEURS 3R ORTHOGONAUX
3. LES FAMILLES DE MANIPULATEURS 3R ORTHOGONAUX PARTICULIERS
4. CRITERES DE CLASSIFICATION
4.1. NOMBRE DE POINTS CUSPS
4.2. NOMBRE DE NŒUDS
5. CLASSIFICATION DES MANIPULATEURS 3R ORTHOGONAUX PARTICULIERS
5.1. FAMILLE A (D2 = 0, R2 ? 0, D3 ? 0, R3 = 0)
5.2. FAMILLE B (D2 = 0, R2 = 0, D3 ? 0, R3= 0)
5.3. FAMILLE C (D2 = 0, R2 ? 0, D3 = 0, R3 = 0)
5.4. FAMILLE D (D2 ? 0, R2 = 0, D3 ? 0, R3 = 0)
5.5. FAMILLE E (D2 ? 0, R2 = 0, D3 = 0, R3 = 0)
5.6. FAMILLE F (D2 = 0, R2 ? 0, D3 ? 0, R3 ? 0)
5.7. FAMILLE G (D2 = 0, R2 = 0, D3 ? 0, R3 ? 0)
5.8. FAMILLE H (D2 = 0, R2 ? 0, D3 = 0, R3 ? 0)
5.9. FAMILLE I (D2 ? 0, R2 = 0, D3 ? 0, R3 ? 0)
5.10. FAMILLE J (D2 ? 0, R2 = 0, D3 = 0, R3 ? 0)
6. CONCLUSION
1. INTRODUCTION
2. COMPARAISON PRELIMINAIRE DES TYPES DE MANIPULATEURS
3. ANALYSE ET COMPARAISON DES MANIPULATEURS SUIVANT DES CRITERES DE PERFORMANCES LOCALES
3.1. OUTILS D’ANALYSE DES PERFORMANCES LOCALES
3.2. INDICES DE PERFORMANCES RELATIF A L’ESPACE DE TRAVAIL
3.3. NOUVEL INDICE DE PERFORMANCE DES MANIPULATEURS
3.4. COMPARAISON DES MANIPULATEURS 3R ORTHOGONAUX
3.5. AIDE A LA CONCEPTION DE MANIPULATEURS 3R ORTHOGONAUX
4. CONCLUSION
1. INTRODUCTION
2. PRELIMINAIRES
3. EQUATIONS DE CONTRAINTES
4. SINGULARITES DANS L’ESPACE ARTICULAIRE DES MANIPULATEURS PARALLELES 3-RPR
4.1. EQUATION DES SINGULARITES
4.2. SINGULARITES DANS L’ESPACE ARTICULAIRE
4.3. ANALYSE DESCRIPTIVE DES SINGULARITES DANS L’ESPACE ARTICULAIRE
5. DETERMINATION DES POINTS CUSP DES MANIPULATEURS 3-RPR PARALLELES
5.1. CONDITION D’EXISTENCE DES POINTS CUSP
5.2. ALGORITHME POUR LE CALCUL DES POINTS CUSP
6. CONCLUSION
1. INTRODUCTION
2. PRELIMINAIRES
3. PREMIERE CONDITION DE DEGENERESCENCE
3.1. DETERMINATION DE LA PREMIERE CONDITION
3.2. RESOLUTION DU MODELE GEOMETRIQUE DIRECT DEGENERE
3.3. UNE DEGENERESCENCE PARTICULIERE ET SON INTERPRETATION GEOMETRIQUE
3.4. EXEMPLE D’UN CAS DEGENERE
4. DEGENERESCENCE DANS TOUT L’ESPACE ARTICULAIRE
4.1. CONDITION SUR LA GEOMETRIE DU MANIPULATEUR
4.2. CALCUL DU MODELE GEOMETRIQUE DIRECT
4.3. EXEMPLE D’UN MANIPULATEUR DEGENERE
5. CINEMATIQUE DES MANIPULATEURS DEGENERES
5.1. SINGULARITES DES MANIPULATEURS DEGENERES
5.2. DETERMINATION DES POINTS CUSP
6. CONCLUSION
1. INTRODUCTION
2. CHANGEMENT NON SINGULIER DE MODE D’ASSEMBLAGE
2.1. PRELIMINAIRES
2.2. SINGULARITES ET ASPECTS
2.3. POSITION DU PROBLEME : ANALYSE D’UNE TRAJECTOIRE FERMEE CONTOURNANT UN POINT CUSP 1686
2.4. UN MODELE D’ESPACE DE CONFIGURATION
2.5. CONCLUSION
3. ZONES EXEMPTES DE SINGULARITES DES MANIPULATEURS 3-RPR PARALLELES
3.1. ZONES EXEMPTES DE SINGULARITES MAXIMALES DANS L’ESPACE ARTICULAIRE
3.2. ZONES EXEMPTES DE SINGULARITES MAXIMALES DANS L’ESPACE DE TRAVAIL
4. CONCLUSION
A.1. FAMILLE A (D2 = 0, R2 ? 0, D3 ? 0, R3 = 0)
A.2. FAMILLE B (D2 = 0, R2 = 0, D3 ? 0, R3 = 0)
A.3. FAMILLE C (D2 = 0, R2 ? 0, D3 = 0, R3 = 0)
A.4. FAMILLE D (D2 ? 0, R2 = 0, D3 ? 0, R3 = 0)
A.5. FAMILLE E (D2 ? 0, R2 = 0, D3 = 0, R3 = 0)
Conclusion Générale
Perspectives
Bibliographie..
Publications personnelles
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