Les limites de la représentation des unités électriques

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Les unités électriques dans le SI

La filiation des unités électriques dans le SI repose sur l’ampère [3]. En effet, l’unité d’intensité du courant électrique est l’une des sept unités de base du SI et est définie depuis 1948 par :
« L’ampère est l’intensité d’un courant constant qui, maintenu dans deux conducteurs parallèles, rectilignes, de longueur infinie, de section circulaire négligeable et placés à une distance de 1 mètre l’un de l’autre dans le vide, produirait entre ces conducteurs une force égale à 2.10–7 newton par mètre de longueur. »
L’ampère, tout en étant une unité de base, se définit à l’aide du mètre, du kilogramme et de la seconde. De plus, la définition de l’ampère fixe exactement à 4π.10–7 H/m la constante µ0, perméabilité du vide. En effet, le calcul de la force entre deux conducteurs parallèles, rectiligne, situés à d l’un de l’autre en utilisant la loi d’Ampère donne : F l = µ0I2  2πd. L’expression de µ0 en 1 A 2 mesure électrique, comme représenté sur la figure 1.1
Les autres unités électriques sont toutes définies à partir de l’ampère avec des liens plus ou moins directs. Ainsi, à l’aide du seul ampère et des autres unités de base, il est possible de définir le volt et le coulomb, puis les autres unités que sont l’ohm, le farad et le henry. La filiation des unités électriques telles que définie par le SI est représentée sur la figure 1.1.
Cependant, force est de constater que la définition de l’ampère présente un inconvénient majeur : il n’existe pas d’étalon de définition facilement exploitable. En effet, intrinsèquement, il n’est possible de représenter l’ampère qu’en supposant vérifiées les hypothèses de longueur infinie et de section circulaire négligeable. Un dispositif expérimental a été mis en place jusque dans les années 1960 pour représenter l’ampère. Ce dispositif, appelé balance de l’ampère a permis d’atteindre une incertitude relative de 5.10–6 [5], [6], [7]. Son principe repose sur une comparaison de force entre la force électromagnétique due à un courant circulant dans des bobines et celle gravitationnelle due à une masse étalonnée.

L’effet Josephson et la représentation du volt

Le volt est défini comme « la différence de potentiel électrique qui existe entre deux points d’un fil conducteur transportant un courant constant de 1 ampère, lorsque la puissance dissipée entre ces points est égal à 1 watt » [3].
Comme cela est représenté sur la figure 1.1, le volt est donc une unité dérivée de l’ampère et du watt, c’est-à-dire de l’ampère et des unités mécaniques. Sa mise en pratique (ou réalisation) s’est ainsi effectuée, dans un premier temps, à partir de la balance du volt dont le principe consiste à comparer une force électrostatique et une force mécanique [12]. Par exemple, le LCIE9 réalisait le volt en mesurant la force électrostatique qui s’exerce entre les armatures d’un condensateur ; sur l’électromètre développé dans ce laboratoire, la tension appliquée aux armatures était de l’ordre de 10 kV et l’incertitude relative associée était de 3.10–6 [13].
La conservation du volt, quant à elle, s’effectuait par l’intermédiaire de piles étalons au cadmium (piles Weston saturées) qui ont une force électromotrice à 20˚C de 1.01864 V. Du fait des difficultés de transport et des dérives de ces piles étalons, la reproductibilité de la conservation du volt de par le monde était limité à environ 10–6. La découverte et l’observation de l’effet Josephson ont permis d’améliorer considérablement cette reproductibilité.

L’effet Hall quantique et la représentation de l’ohm

L’ohm est défini comme « la résistance électrique qui existe entre deux points d’un conducteur lorsqu’une différence de potentiel constante de 1 volt, appliquée entre ces deux points, produit, dans le conducteur, un courant de 1 ampère, ce conducteur n’étant le siège d’aucune force électromotrice » [3].
La réalisation de l’ohm peut se faire par l’intermédiaire d’un étalon du farad, comme l’étalon calculable de Thompson Lampard, en utilisant un pont d’impédance dit de quadrature qui permet de comparer une résistance à une capacité si la fréquence d’alimentation du pont est bien déterminée. La conservation de l’unité s’effectue par des résistances métalliques bobinées conservées dans des bains maintenus à température constante. De la même façon que la repré- sentation et la conservation du volt ont connu de grands changements avec l’effet Josephson, la représentation de l’ohm a été modifiée par l’effet Hall quantique.

Application métrologique de l’EHQ

Dès sa découverte, l’effet Hall quantique a été appréhendé comme un phénomène pouvant avoir des implications métrologiques : entre sa découverte en 1980 et 1989, la résistance de Hall RH a été mesurée avec une incertitude relative passant de 5.10–6 à 2.4.10–8 [24]. Pour mesurer de tels dispositifs, des ponts de comparaison de résistance ont été développés, reposant sur l’utilisation d’un comparateur cryogénique de courants continus (CCC, cf. partie 3.4, p. 67 ou [22])19.
Cela justifie que, de façon totalement analogue au volt et à l’effet Josephson, le CIPM a recommandé à partir de 1990 d’utiliser l’effet Hall quantique pour conserver l’ohm. L’incertitude sur la constante phénoménologique RK étant de 10–7, il a été décidé de définir une constante RK 90, considérée comme conventionnellement vraie afin de faciliter les comparaisons internationales et la conservation de l’ohm [18]. Aujourd’hui, la constante RK est fixé dans le SI avec une incertitude20 de 10–7, suite à une recommandation du CIPM. Cette recommandation s’est faite sur ces valeurs en considérant les résultats disponibles au moment de la prise de décision et l’incertitude associée a été prise de façon à laisser possible l’existence de termes correctifs entre RK et h/e2.
Par ailleurs des tests d’universalité ont été effectués pour vérifier la quantification des plateaux de RH selon la géométrie des dispositifs, les matériaux utilisés, la densité électronique et d’autres facteurs. Une présentation de ces différents tests et de leurs résultats est donnée dans [22]. Il a ainsi été montré par exemple qu’entre un échantillon silicium et un échantillon GaAs, il n’y avait pas d’écart de résistance à quelques 10–10 en valeur relative.
De plus, il existe des travaux sur la mise en réseaux de barres de Hall pour permettre d’avoir d’autres valeurs de résistances quantifiées avec une incertitude inférieure à 10–8, en particulier pour avoir des étalons à des valeurs correspondantes aux besoins métrologiques comme par  exemple 100 Ω [26].
Enfin, évoquons la question de la mesure de RK. L’exactitude de la relation théorique 1.6 a été abordée par un certain nombre d’arguments théoriques21. Plusieurs expériences permettent de mesurer cette constante : la méthode directe consiste à étalonner la résistance de Hall quantique avec l’étalon calculable de Thompson Lampard en faisant le lien entre impédance continue et impédance alternative22. Pour cela, il faut utiliser un pont de quadrature, tel que celui repré- senté figure 1.9. Les déterminations directes de RK par cette voie donnent des mesures avec une incertitude relative de l’ordre de quelques 10–8 [11]. 

La balance du watt : lien entre unités mécaniques et électriques

Dernière expérience à évoquer dans cette partie sur la métrologie électrique telle qu’elle se présente aujourd’hui : la balance du watt qui a été proposée par Kibble en 1975 [28]. Sa présentation dans un panorama de la métrologie électrique se justifie par le fait que le principe de cette expérience est de comparer la masse à des grandeurs électriques, ce qui est l’une des voies étudiées pour une redéfinition du kilogramme.
La balance du watt en cours de développement en France au LNE, qui est décrite dans [29], relie la masse à des grandeurs électriques en comparant des puissances. L’expérience se fait en deux étapes qui sont schématisées sur la figure 1.10.
– PHASE STATIQUE
Dans cette phase, un conducteur de longueur l est parcouru par un courant I et placé dans un champ d’induction B, radial, de telle façon que la force de Laplace F soit verticale. Cette force est compensée à l’aide d’un comparateur de masse par une masse m soumise uniquement à la 21il existe, entres autres, un argument topologique développé par Laughlin [27] 22ainsi, le lien entre l’ohm et le farad représenté sur la figure 1.2 se trouve vérifié par cette association gravitation. On obtient ainsi la relation : mg = BIl (1.7)
Le dispositif de la phase dynamique est le même que celui de la phase statique auquel on ajoute un mouvement de translation avec une vitesse v. Le conducteur se déplace ainsi dans un champ d’induction induisant une tension ǫ à ses bornes : ǫ = Blv
La phase dynamique est donc une détermination des paramètres B et l caractéristiques d’une sorte de paramètre géométrique de la balance, cette détermination dépendant de la connaissance avec une incertitude donnée de ǫ et de v. Ce paramètre géométrique étant mesuré, il est possible de l’inclure dans l’équation 1.7 : mgv = ǫI (1.8)
L’intensité du courant I est mesurée par le biais de la loi d’Ohm en le faisant passer dans une résistance R et en mesurant la tension induite VR aux bornes de cette résistance. Grâce à l’effet Josephson et à l’effet Hall quantique, il est possible d’exprimer VR, ǫ et R à l’aide des constantes phénoménologiques KJ et RK. On obtient alors l’équation de la balance du watt en mode dynamique : A K2 JA étant un paramètre connu contenant les fréquences d’irradiation hyperfréquence et les indices de marches des réseaux Josephson ainsi que les plateaux de quantification de résistance.
La balance du watt est donc un expérience permettant aujourd’hui de déterminer le produit KJ2RK dans le SI. Dans le cadre d’une redéfinition du kilogramme, l’expérience de la balance du watt peut être une contribution en comparant la masse à des phénomènes électromagnétique permettant ainsi de faire le lien entre la masse et le produit KJ2RK ou, à partir de l’expression théorique de ce produit, entre la masse et h : mgv ˙=A 4(1.10)

Lien entre les unités et les constantes fondamentales de la physique

Les constantes fondamentales de la physique

Si l’on considère la physique comme une description mathématique de la nature, la théorie physique a besoin d’une part de grandeurs telles que la position, la vitesse, etc. qui suivent des équations d’évolution modélisées et d’autre part, de grandeurs invariantes dans le temps et dans l’espace : les constantes de la nature.

Tentative de classification des constantes

Ces constantes sont liées à la connaissance, à un instant donné, des phénomènes physiques qu’elles caractérisent. Certaines sont ainsi considérées comme fondamentales, dans la mesure où elles ne peuvent s’exprimer en fonction d’autres paramètres ou d’autres théories et où elles sont considérées comme invariantes dans le temps et l’espace. Elles constituent en quelques sorte une vision des limites de la compréhension des phénomènes physiques dans la mesure où elles sont introduites pour faire le lien entre la physique théorique et la physique expérimentale. La question pour ces constantes fondamentales est de savoir s’il est possible d’avoir une théorie plus générale que celles dont on dispose pour expliquer la valeur de ces constantes [33].
Ces constantes peuvent être considérées de différentes façons. C’est ainsi que J-M. Lévy Leblond a proposé de les différencier en 4 types [34] :
– Type A : constante caractérisant les propriétés d’un système physique particulier (citons par exemple la charge de l’électron ou sa masse) ;
– Type B : constante caractérisant les propriétés de toute une classe de phénomènes (comme les constantes de couplage) ;
– Type C : constante universelle transcendant les systèmes physiques et apparaissant dans les lois fondamentales de la physique (telle que la constante de Planck ou de gravitation) ;
– Type D : constante de référence dont la valeur numérique a été fixée et qui entre explicitement dans la définition de nos systèmes d’unités (vitesse de la lumière dans le vid et perméabilité du vide).
Les constantes peuvent bien entendu changer de catégorie en fonction de la connaissance qu’on peut en avoir. En particulier, il est possible de remarquer qu’aujourd’hui la catégorie D ne comporte que deux constantes : c et µ0 mais pourrait dans l’avenir en comporter d’autres. En effet cette catégorie trouve sa justification lorsque la détermination de certaines constantes est limitée par la précision et la reproductibilité de la réalisation des unités avec lesquelles elles s’expriment. La figure 1.11, issue de [33] montre ainsi pour les constantes h, c et G les changements de classification au cours du temps, en fonction de l’apparition de nouvelles théories physiques.
Une distinction importante doit être faite entre différentes sortes de constantes : les constantes dimensionnées et les constantes non dimensionnées.
Parmi la première catégorie, on trouve les constantes telles que h, c, G respectivement constante de Planck, vitesse de la lumière dans le vide et constante de gravitation. Il s’agit en fait de constantes de conversion permettant de faire un lien entre des grandeurs de natures a priori différentes. Leurs valeurs dépendent du système d’unités choisi et leur rôle peut évoluer en fonction de l’avancée des théories physiques (cf. partie suivante).
Dans la seconde catégorie entrent des paramètres fondamentaux sans dimension tel que la constante de structure fine α qui décrit le couplage de la matière avec le champ électromagné- tique. Ces paramètres sont indépendants du système d’unités choisi et leur valeur n’est donc pas modifiable. Il est en revanche possible de s’interroger sur la variation dans le temps et dans l’espace de tels paramètres.

L’effet tunnel à un électron (single electron tunneling (SET))

Likharev et Averin dans [57] prédirent l’apparition de nouveaux effets dans le cas d’une jonction tunnel de très faible capacité C, polarisée en courant en considérant que les fluctuations thermique et quantique sont négligeables devant l’énergie électrostatique de l’électron. Cette énergie électrostatique, définie par EC = e2 2C , doit être supérieure à kBT, énergie d’activation thermique. De plus, en considérant l’énergie de charge de la jonction et la constante de temps de la jonction tunnel assimilable à celle d’un dipole RC, c’est-à-dire τj = RT C, le principe d’Heisenberg s’écrit : ECτj > ~. Par conséquent, on obtient les conditions :
C << 2 e2kBT (2.1)
RT >> h e2 (2.2)
Dans ce cas, deux phénomènes peuvent survenir : le blocage de Coulomb et les oscillations SET.

Les sources d’erreur d’une pompe à électrons

Pour pouvoir être utilisée dans un cadre métrologique, il faut être capable d’estimer l’erreur d’une pompe à électrons, c’est-à-dire quantifier un éventuel écart à ef. Les différents événements qui peuvent perturber l’événement tunnel attendu ont été étudiés dans un premier temps dans [62] puis les calculs sur l’incertitude attendue d’une pompe à électrons ont été effectués au NIST par Jensen et Martinis [66]. La démarche et les résultats présentés dans cette partie sont issus de ces calculs. On considère une pompe à électrons définie par les paramètres suivants :
– N : nombre de jonctions tunnel
– RT : résistance tunnel d’une jonction
– C : capacité d’une jonction
– f : fréquence de pompage
– U : tension de polarisation de la pompe
Par ailleurs, dans cette partie, les jonctions seront considérées comme étant toutes identiques, c’est-à-dire ayant la même capacité de jonction et la même résistance tunnel. De plus, les capacités de grille sont considérées comme négligeable devant les capacités de jonction. Enfin, on utilise les notations suivantes pour l’expression des calculs : u = UC e , q0 = rπ2 (N – 1)RT Cf et EC = 2eC2 .
Trois phénomènes peuvent principalement modifier le transfert des électrons par effet tunnel à travers la pompe : l’effet dû à l’augmentation de la fréquence de pompage, l’effet dû à la température des électrons au niveau des jonctions tunnel et enfin l’effet de cotunneling, que nous allons commencer par présenter.
REMARQUE :
Il peut être bon avant de commencer l’exposé des sources d’erreur de présenter quelques ordres de grandeur relatifs aux pompes à électrons. Celles-ci génèrent un courant quantifié à la valeur ef. Si la fréquence est de 62.4 MHz, ce courant sera donc de 10 pA. Une incertitude relative de 10–8 sur ce courant équivaut à une incertitude absolue de 0.1 aA ou, exprimée autrement, cela signifie aussi que l’on peut « rater » au maximum 0.6 électron par seconde.

Table des matières

Introduction
1 Cadre et enjeux métrologiques 
1.1 Un système cohérent d’unités
1.1.1 Bref aperçu historique
1.1.2 Le Système international d’unités (SI)
1.2 Les unités électriques dans le SI : définitions et représentations
1.2.1 Les unités électriques dans le SI
1.2.2 L’étalon de Thompson Lampard
1.2.3 L’effet Josephson et la représentation du volt
1.2.3.1 Principe de l’effet Josephson
1.2.3.2 Application métrologique de l’EJ
1.2.4 L’effet Hall quantique et la représentation de l’ohm
1.2.4.1 Principe de l’effet Hall quantique
1.2.4.2 Application métrologique de l’EHQ
1.2.5 La balance du watt : lien entre unités mécaniques et électriques
1.2.6 Les limites de la représentation des unités électriques
1.3 Lien entre les unités et les constantes fondamentales de la physique
1.3.1 Les constantes fondamentales de la physique
1.3.1.1 Tentative de classification des constantes
1.3.1.2 Quel choix de constantes ?
1.3.2 Constantes fondamentales et SI
1.3.2.1 L’ajustement de la valeur des constantes
1.3.2.2 Vers une modification du SI ?
1.4 Le triangle métrologique
1.4.1 La voie indirecte : Q = CV
1.4.2 La voie directe : U = RI
1.4.3 Vers une détermination de constantes
1.4.3.1 Détermination de la constante de structure fine
1.4.3.2 Détermination de la charge
2 Blocage de Coulomb et pompes à électrons 
2.1 Le blocage de Coulomb
2.1.1 Principe
2.1.1.1 La jonction tunnel
2.1.1.2 L’effet tunnel à un électron (single electron tunneling (SET))
2.1.2 La théorie orthodoxe
2.1.3 Le transistor à un électron
2.1.4 Application du blocage de Coulomb en métrologie
2.2 La pompe à électrons
2.2.1 Étude statique
2.2.2 Étude dynamique
2.3 Les sources d’erreur d’une pompe à électrons
2.3.1 Le cotunneling
2.3.1.1 Présentation du cotunneling
2.3.1.2 Calcul de l’erreur due au cotunneling
2.3.2 Les autres causes d’erreur
2.3.2.1 Les effets de fréquence
2.3.2.2 L’effet thermique
2.3.2.3 L’effet tunnel photo-assisté
2.3.3 Erreur totale d’une pompe
2.3.3.1 Influence du nombre de jonctions
2.3.3.2 Influence des paramètres de la pompe
2.4 La pompe à 7 jonctions
2.4.1 Résultats expérimentaux sur la pompe à électrons
2.4.2 Utilisation de ces dispositifs pour l’expérience de la capacité cryogénique
2.5 La pompe de type R
2.5.1 Influence de l’environnement électromagnétique
2.5.2 La pompe de type R
2.5.3 Résultats obtenus avec des pompes de type R
2.6 Les autres dispositifs à blocage de Coulomb étudiés en métrologie électrique
3 Dispositifs, instrumentation et montage expérimental pour la mesure de très faibles courants
3.1 Les contraintes d’observation du blocage de Coulomb
3.2 La fabrication des pompes à électrons
3.3 Le SQUID DC
3.3.1 Principe d’un SQUID DC
3.3.2 Mise en pratique : la boucle à verrouillage de flux
3.3.3 la sensibilité d’un SQUID DC
3.4 Le comparateur cryogénique de courants (CCC) : principe et fonctionnement
3.4.1 Principe du CCC
3.4.2 Couplage avec le SQUID et sensibilité
3.4.3 Modes de contre-réaction
3.4.3.1 Contre-réaction externe
3.4.3.2 Contre-réaction interne
3.5 Montage expérimental de mesure des pompes à électrons
3.5.1 Le réfrigérateur à dilution
3.5.2 Câblage et filtrage
3.5.3 Système expérimental d’amplification et de détection du courant
3.5.3.1 Propriétés expérimentales des CCC utilisés
3.5.3.2 Calcul du gain en mode contre-réaction interne
3.5.3.3 Comportement mécanique du système de mesure
4 Mesure d’une pompe à électrons de type R en mode de contre-réaction interne 
4.1 Mesures en mode de contre-réaction interne
4.2 Caractérisation d’une pompe à électrons
4.2.1 Mesures en mode statique et détermination des paramètres de la pompe
4.2.1.1 Réseau de points triples
4.2.1.2 Caractéristique I(Vb)
4.2.1.3 Estimation des paramètres de la pompe
4.2.2 Mesures en mode dynamique
4.2.2.1 Les marches de courant
4.2.2.2 Influence des paramètres A et φ
4.2.2.3 Estimation de la température électronique
4.3 Etude métrologique des pompes à électrons
4.3.1 Etude de l’incertitude de type A
4.3.1.1 Evaluation statistique de l’incertitude
4.3.1.2 La variance d’Allan
4.3.2 Application à la mesure de la pompe
4.3.2.1 L’accumulation de points
4.3.2.2 La mesure en créneaux
4.3.2.3 Exploitation d’une série de mesures en créneaux
4.3.2.4 Mesures à différentes fréquences de pompage
4.4 Comparaison de plusieurs pompes
4.5 Limites des mesures en contre-réaction interne
5 Première réalisation du triangle métrologique 
5.1 Mesures en contre-réaction externe
5.2 Le montage du triangle métrologique au LNE
5.3 Premiers résultats obtenus
5.3.1 Caractérisation de la pompe en contre-réaction externe
5.3.1.1 La température électronique en contre-réaction externe
5.3.1.2 Marches de courant et comparaison avec les mesures en contre-réaction interne
5.3.2 Caractérisation du montage de l’expérience du triangle
5.3.3 Premières mesures du triangle métrologique
5.3.3.1 Mesures d’opposition de tensions
5.3.3.2 Étude de la platitude des marches de courant
5.4 Limites et évolutions possibles de ce montage
Conclusion 
A Organisation de la métrologie internationale et française 
A.1 La métrologie au niveau international
A.2 L’organisation de la métrologie française
B Autres dispositifs monoélectroniques étudiés dans un cadre métrologique 
B.1 Applications en métrologie électrique
B.1.1 RF SET
B.1.2 SET SAW
B.1.3 Dispositifs semiconducteurs
B.1.4 Pompe à paire de Cooper
B.2 Application en métrologie thermique
B.2.1 Brève présentation de la métrologie thermique
B.2.2 Thermométrie à base de blocage de Coulomb
Bibliographie 

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