Soutenance mémoire
Étude du curriculum cambodgien
Introduction Dans l’enseignement des mathématiques dans le secondaire au Cambodge, on n’utilise que les manuels officiels élaborés par l’Éducation Nationale du pays. Remarquons que ces manuels officiels recouvrent les programmes d’étude officiels. En lien avec notre projet de thèse, nous nous intéressons uniquement au secondaire (lycée) dans cet enseignement des mathématiques parce que la trigonométrie est totalement absente du collège. Il s’agit de trois niveaux de classe ; dans chaque niveau de classe, il y a deux manuels de mathématiques officiels, nommés tome 1 et tome 2 :
– 10e (classe de Seconde) : c’est une classe générale pour tous les élèves, (tombe 1 et tome 2).
– 11e (classe de 1re) : il y a deux niveaux chez les élèves – 1). niveau normal (niveau non scientifique) avec seulement le tome 1 ; 2). niveau scientifique avec les deux tomes (tombe 1 et tombe 2).
– 12e (classe terminale) : même stratégie de partage des élèves et même structure d’utilisation des manuels.
Chaque leçon se décompose en trois parties : « cours », « résumé du cours » et « exercices ». Concernant l’organisation de la partie « cours », il s’agit plutôt d’une présentation des concepts de manière descriptive :
– soit par une observation expérimentale ;
– soit par la donnée d’un ou deux exemples avant de définir (ou théoriser) un concept ou une notion visé(e) ;
– soit par l’énoncé d’une définition (ou d’un théorème) ayant pour but de préciser un concept ou une notion visé(e).
Puis suivent un ou deux exemples d’application et pour finir quelques exercices d’application. Trigonométrie et Fonctions trigonométriques La trigonométrie est introduite en classe de 10e, et les notions de fonctions trigonométriques, en classe de 11e. En ce qui concerne les fonctions trigonométriques, nous ne nous intéressons qu’à l’étude des fonctions sinus et cosinus, car dans notre travail de recherche, nous nous focalisons sur les objets cosinus et sinus et c’est aussi cohérent avec notre étude faite dans la partie française. Remarquons que dans ce nouveau programme, on propose d’utiliser plutôt un langage mathématique discursif, le formalisme symbolique n’est pas employé. On ne trouve plus dans les manuels de mathématiques actuels, par exemple : les symboles mathématiques comme ( ), , – qui désignent respectivement la droite ( ), le segment , – ; on ne voit que la présentation avec le langage discursif sans parenthèse ni crochets, c’est-à-dire, la droite AB et le segment AB. Dans la suite, nous abordons successivement les trois institutions (ou classe par classe), en présentant dans l’ordre les différentes leçons de chaque niveau.
SD-G
Déroulement Nous installons une caméra au fond de la classe. Rappelons que c’est, pour les élèves, la première rencontre avec GeoGebra. Nous guidons toute la classe à l’aide d’un vidéo projeteur et nous animons GeoGebra. Durant la phase 1 (version cosinus de la SD-G consistant à la découverte de la notion de fonction cosinus), 20 élèves sur 43 sont présents ; en phase 2 (version sinus de la SD-G), 26 élèves sur 43 sont présents. Les copies des élèves à l’étape 1 sont notées SDG-Gr1, SDG-Gr2, …, SDG-Gr10. Lors du déroulement de la SD-G, nous animons GeoGebra (étape par étape). Concernant la phase 1 (version cosinus – Figure 145) : la question 1 qui est composée de quatre questions, nous animons GeoGebra, et pour passer d’une question à la suivante, nous laissons le temps (entre 2 et 5 minutes) aux élèves pour y répondre, sans notre intervention ; et de même pour la question 2 qui est composée de deux questions. Dans cette phase 1, il y a deux phases de mise en commun. À chaque fois, le déroulement se passe lentement ; nous posons des questions pour que les élèves puissent trouver une réponse convenable. Nous pouvons dire que les élèves ont des difficultés quand ils sont confrontés avec le travail graphique. Concernant la phase 2 (version sinus) : nous animons GeoGebra et nous proposons, par un dialogue collectif, aux élèves de répondre question par question (quatre sous-questions de la question 1). Puis pour la question 2, nous laissons du temps (environ 7 minutes) aux élèves (travail en binôme), ensuite durant la mise en commun, nous proposons aux trois élèves représentants de donner leurs réponses au tableau, accompagnées par leurs explications. Nous constatons que dans cette phase 2, des élèves arrivent à exprimer leurs justifications et à convaincre les autres. Enfin, nous faisons un bilan pour toute la classe sur la fonction cosinus et la fonction sinus.
Synthèse des éléments de réponse aux deux premières questions de recherche QR1 et QR2
Rappelons que dans le programme du secondaire, les objets cosinus et sinus sont visés via trois organisations mathématiques locales (OML) :
1. OML portant sur la trigonométrie du triangle (OMLTriangle), située dans le domaine « Géométrie euclidienne »,
2. OML portant sur la trigonométrie du cercle trigonométrique (OMLCTrigo), située dans le domaine « Géométrie repérée » et
3. OML portant sur les fonctions trigonométriques (OMLFoncTrigo), située dans le domaine « Analyse ».
On vise principalement les fonctions sinus et cosinus d’une variable réelle (le cosinus et le sinus d’un nombre réel) dans le domaine Analyse en passant par les objets cosinus et sinus vus dans l’OMLCTrigo. De fait, en France, du cycle 4 à la Terminale Scientifique, les programmes d’études sur la trigonométrie présentent une cohérence curriculaire, avec une progression des savoirs. Il s’agit maintenant de discuter de la façon dont cela est réalisé dans les manuels et, surtout, de savoir quelles sont les connaissances effectives des élèves. Rappelons que dans le chapitre 4, nous avons examiné les connaissances des élèves sur les trois OML. Dans l’ensemble des résultats obtenus au questionnaire, la plupart des élèves de Terminale Scientifique ont une difficulté de mise en fonctionnement des connaissances apprises, durant les cinq dernières années du secondaire, sur la trigonométrie (l’OMLTriangle, l’OMLCTrigo) et les fonctions cosinus et sinus (l’OMLFoncTrigo). Dans chaque exercice du questionnaire, l’élève doit trouver l’OML pertinente parmi les OMLTriangle, OMLCTrigo, OMLFoncTrigo, pour accomplir une tâche demandée, voire changer d’OML.
|
Table des matières
Introduction
Chapitre 1 : Problématique et méthodologie
1. Questions préliminaires
2. État de l’art
2.1. Recherches privilégiant la relation aux angles
2.2. Recherches consacrées aux difficultés des élèves à articuler entre ‘angle au centre’ et ‘longueur d’arc’
2.3. Recherches privilégiant la longueur de l’arc de cercle (enroulement)
2.4. Recherches prenant appui sur le mouvement
2.5. Recherche faisant intervenir des arcs de cercle de rayon non unitaire
2.6. Synthèse
3. Cadre théorique
3.1. Emprunts à la Théorie Anthropologique du Didactique
3.1.1. Praxéologie mathématique
3.1.2. Transposition didactique
3.1.3. Modèle épistémologique de référence (ou OM de référence)
3.2. Outils d’analyse des tâches de la Double Approche
3.3. Outils empruntés à la Théorie des Situations Didactiques
4. Méthodologie générale de la thèse
4.1. Étude des rapports institutionnels : méthodologie de l’étude des programmes et des manuels
4.2. Étude des rapports personnels : questionnaire d’évaluation des effets de l’enseignement
4.3. Étude mathématique
4.4. Mise en place d’une situation didactique
Chapitre 2 : Étude de curriculum
1. Méthodologie de l’étude des programmes et des manuels
1.1. Méthodologie d’analyse des manuels français depuis la 4e jusqu’à la Terminale Scientifique
1.2. Méthodologie d’analyse des manuels officiels cambodgiens au lycée (10e, 11e et 12e)
2. Méthodologie pour les OM locales
2.1. Méthodologie pour Types de tâches
2.2. Méthodologie pour Techniques associées
2.3. Méthodologie pour Technologies associées
3. Étude du curriculum français
3.1. Trigonométrie du triangle rectangle
3.1.1. Triangle rectangle : cosinus d’un angle
3.1.2. Trigonométrie en 3e
3.2. Trigonométrie dans le cercle trigonométrique
3.2.1. Trigonométrie en Seconde
3.2.2. Trigonométrie en Première Scientifique
3.2.2*. Applications du « Produit scalaire dans le plan »
3.3. Fonctions trigonométriques en Terminale Scientifique
3.4. Vision globale
4. Étude du curriculum cambodgien
4.1. Introduction
4.2. Trigonométrie en 10e (Seconde en France)
4.2.1. Leçon 1 : Rapports trigonométriques
4.2.2. Leçon 2 : Application des rapports trigonométriques
4.3. Fonctions trigonométriques en 11e (1re Scientifique en France)
4.3.1. Leçon 1 : Fonctions trigonométriques
4.4. Fonctions trigonométriques en 12e : Limites et Dérivabilité
5. Comparaison de l’organisation mathématique entre les deux institutions française et cambodgienne
5.1. OMLTriangle
5.1.1. OMLTriangleR – Institution française (la 4e et la 3e) vs. Institution cambodgienne (la 10e)
5.1.2. OMLTriangleQ – Institution française (la 1re Scientifique) vs. Institution cambodgienne (la 10e)
5.2. OMLCTrigo
5.2.1. OMLCTrigoCSréel – Institution française (la Seconde) vs. Institution cambodgienne (aucune classe)
5.2.2. OMLCTrigoCSAngOr – Institution française (la 1re Scientifique) vs. Institution cambodgienne (la 10e et la 11e)
5.3. OMLFoncTrigo – Institution française (Terminale Scientifique) vs. Institution cambodgienne (la 11e)
6. Conclusion
Chapitre 3 : Définitions mathématiques des fonctions cosinus et sinus
1. Fonctions cosinus et sinus d’un angle orienté
1.1. Isométries vectorielles d’un espace euclidien de dimension finie
1.2. Cas de la dimension 2
1.2.1. Propriétés des rotations de dimension 2
1.2.2. Angles orientés de vecteurs unitaires
1.2.3. Orientations de l’espace euclidien et mesure des angles orientés
1.2.4. Lien avec la géométrie affine euclidienne
1.2.5. La question de la mesure des angles
2. Fonctions cosinus et sinus d’une variable réelle
2.1. Fonction exponentielle complexe
2.2. Restriction de la fonction exponentielle complexe à
2.3. Cercle unité dans
2.4. Fonctions cosinus et sinus d’une variable réelle
3. Longueur d’un arc de cercle – Enroulement de la droite numérique sur le cercle trigonométrique
3.1. Longueur d’un arc
3.2. Interprétation de la droite numérique sur le cercle trigonométrique
3.3. Angle et mesures d’angle
Chapitre 4 : Identification des connaissances apprises des élèves
1. Introduction
2. Choix et objectifs du questionnaire
3. Analyse a priori du questionnaire
3.1. Exercice I A
3.2. Exercice II A
3.3. Exercice III.1 A
4. Mise en œuvre et Analyse a posteriori
4.1. En France : Mise en œuvre dans deux classes de Terminale Scientifique
4.1.1. Modalité et contexte
4.1.2. Types d’erreurs
4.1.3. Exercice I
4.1.4. Exercice II
4.1.5. Exercice III.1
4.1.6. Synthèse du dépouillement des trois premières questions
4.2. Au Cambodge : Mise en œuvre dans deux classes de 11e et dans deux classes de 12e
4.2.1. Modalité et contexte
4.2.2. Exercice I
4.2.3. Exercice II
4.2.4. Exercice III.1
4.2.5. Synthèse du dépouillement des trois premières questions
4.3. Comparaison et conclusion sur le questionnaire
Chapitre 5 : Prélude à une ingénierie didactique
1. Introduction
2. Choix et objectifs de la situation didactique
2.1. Pourquoi faisons-nous le choix de travailler avec un cercle de rayon et non avec le cercle de rayon unitaire ?
2.2. Description de la SD-P – choix didactiques et objectifs
2.3. Description de la SD-G – choix didactiques et objectifs
2.4. Choix des variables didactiques
3. Analyse a priori avec les outils d’analyse de la TSD – Modèle de la structuration du milieu
3.1. SD-P : Décrire les variations de l’abscisse et celles de l’ordonnée du point image sur un cercle C , associé à un nombre réel par l’enroulement de la droite des réels autour du cercle C
3.2. SD-G : Décrire le processus visant à découvrir les propriétés des fonctions cosinus et sinus
4. Mise en œuvre et Analyse a posteriori de la situation didactique
4.1. En France : Mise en œuvre dans une classe de Terminale Scientifique
4.1.1. Modalité et contexte
4.1.2. Déroulement et analyse a posteriori
4.1.3. Conclusion
4.2. Au Cambodge : Mise en œuvre dans une classe de 11e
4.2.1. Modalité et contexte
4.2.2. Compte rendu de ce qui s’est passé avec la situation didactique adaptée
4.2.3. Conclusion
4.3. Conclusion sur la situation didactique
5. Discussion et perspectives
Chapitre 6 : Conclusion
1. Synthèse des éléments de réponse aux deux premières questions de recherche QR1 et QR2
1.1. OMLTriangle – Manuels et Exercice I du questionnaire
1.2. OMLCTrigo – Manuels et Exercice II du questionnaire
1.3. OMLFoncTrigo – Manuels et Exercice III.1 du questionnaire
1.4. De l’OMLTriangle vers l’OMLCTrigo
1.5. De l’OMLCTrigo vers l’OMLFoncTrigo
1.6. Synthèse : OMLTriangle et OMLCTrigo – Point d’appui ou obstacle
2. Situation didactique et Résultats (chapitre 5)
3. Conclusion sur l’enseignement du secondaire au Cambodge
4. Limites et perspectives de recherche
4.1. Recherches approfondies sur les obstacles
4.2. Les enseignants et la formation
4.3. Au Cambodge
4.4. Développement curriculaire
5. Au-delà du secondaire, et après ?
Bibliographie
Annexes
Télécharger le rapport complet
