Les fonctions combinatoires

Les fonctions combinatoires

Une fonction combinatoire est une fonctionnelle définie sur l’ensemble des partitions ordonnées d’un intervalle. Leur utilité survient lors de la résolut ion d’équations de récurrences linéaires et homogènes. Dans ce mémoire, on s’intéresse uniquement aux fonctions combinatoires conjuguées qui sont utilisées pour trouver les solut ions des équations de récurrences inversées. Il est à noter que le terme conjuguée ne fait pas référence à la conjugaison complexe, mais sert plutôt à mettre en évidence les liens entre la solut ion de l’équation de récurrence inversée et celle de l’équation originale.
En revanche, pour alléger les appellations, le terme conjuguée ne sera pas écrit pour le reste du mémoire, mais le symbole * sera tout de même appliqué à toutes les fonctions conjuguées. Pour construire les fonctions combinatoires, il est nécessaire d’introduire le concept de part it ion ordonnée.

Équation de récurrence

Partitions

Il est à noter qu’un traitement plus général des partitions ordonnées est fait dans l’annexe A et que cette sous-section représente le contenu de l’annexe A appliqué à l’équation (3.1 ). On notera aussi que par partition, l’on entendra partition ordonnée aussi appelée composition.
Évidemment, chaque partit ion aura ses propres valeurs de m, //, Pl , P2, P3 et n, mais deux part it ions peuvent posséder les mêmes sans être identiques. En effet, l’inversion de deux parts de longueurs différentes engendrera deux part it ions distinctes possédant les mêmes paramètres m, // et Pl ‘ La figure 3.2 illustre l’inversion de deux parts de longueurs distinctes créant deux part it ions ordonnées différentes, mais possédant les mêmes paramètres m, // et Pl. Afin d’avoir une descript ion complète d’une part it ion, on associe à chacune un n-tuplet de parts 6i E A que l’on dénote par .6.~ (m2 , ml ) = (61,62, … ,6n ), où l’indice q permet d’indicer toutes les part it ions possédant n parts. Il est ut ile de constater que pour des raisons de simplicité ultérieure, la part 61 sera la plus proche de la borne supérieure m 2 de l’intervalle.

La somme sur r

Afin d’évaluer la somme sur r introduite à l’équation (3.15), il est commode de classer les différentes part it ions dans des ensembles disjoints. Tout d’abord, on introduit l’ensemble de toutes les part it ions de l’intervalle [ml , m2l en parts de longueur 1, 2 et 3 que l’on dénote O(m2, ml ). On dénote ensuite les sous-ensembles aPI (m2′ ml) qui regroupent toutes les partit ions de O(m2′ ml) ayant précisément Pl parts de longueur unité. Il est à noter que les ensembles aPI (m2, ml) sont disjoints, car une part it ion ne peut pas avoir simultanément Pl et P~ parts de longueur unité si Pl ::1 p~ . Puisqu’au maximum, un intervalle [ml , m2l peut avoir m parts de longueur unité et qu’au minimum 0 par t, on peut exprimer l’ensemble O(m2, ml) comme.

Cas fondamentaux

Comme il été mentionné précédemment, les fonctions de structure f3i(m2 , ml; n ,Pl) sont des objets très complexes à évaluer. En revanche, pour quatre cas particuliers, les fonctions f3i(m2 , ml; n ,Pl) prennent une forme compacte. Ces cas correspondent à la fonction de structure de longueur nulle et aux fonctions de structures ne possédant qu’une seule partition composée uniquement de parts de longueur respective 1, 2 et 3. Ces fonctions de structure prendront les formes f3i (ml , ml; n, Pl) pour m2 – ml = 0, f3i(ml + n, ml ; n , n) pour Pl = n , f3i(ml + 2n, ml; n , 0) pour P2 = n et f3i(ml + 3n, ml; n, 0) pour P3 = n.

Partition de longueur nulle

Si l’on se réfère à la condition ii, les fonctions de structure de longueur nulle qui ne sont pas nulles ont obligatoirement Pl = n = O. Dans le cas où Pl = n = 0, la seule partition sur l’intervalle [ml, mIl est la partition ne possédant qu’une seule part de longueur nulle. De l’homomorphisme 4.1 la fonction combinatoire f3i(ml , ml; 0, 0) est définie par.

Équations de récurrence pour les fonctions de structure

Les fonctions de structure possédant plus d ‘une partition sont beaucoup plus complexes à évaluer. Pour cette raison, il est commode de développer des équations de récurrence permettant de relier une fonction de structure avec les fonctions de structure définies sur un intervalle de longueur inférieure. On divise les équations de récurrences en deux types : les équations de récurrence linéaires et les équations de récurrence non linéaires.

Équations de récurrence linéaires

Les équations de récurrence linéaires seront créées en réduisant la longueur de l’intervalle à partir de ml (ascendante) ou m2 (descendante). Ces équations sont d’ailleurs les cas les plus simples d’équations de récurrence pour les fonctions f3t (m2, ml ; n,pl ).

Équation de récurrence non linéaire

Pour déterminer cette équation de récurrence, on procède en deux étapes. Dans un premier temps, on trouve une équation de récurrence pour les fonctions de structure de la forme f3t(m2, ml; n, 0) , soit les fonctions de structure n’ayant aucune part de longueur unité. Par la suite, on trouve les valeurs de f3t(m2 , ml; n,Pl) à l’aide des valeurs de f3t(m2 , ml; n, 0.

Contrainte sur l’énergie

Dans le chapitre précédent, on a trouvé comment exprimer un coefficient du développement en série de la fonction radiale (2.5) en termes des coefficients d’ordre supérieur. Ceci permet d’exprimer la condition frontière à l’origine (2.33) en termes des coefficients plus élevés qui, en revanche, pourront être reliés à la condition de frontière à l’infini (2.38). Puisque (l + 1) =1= 0, la condition frontière à l’origine (2.33) peut être réécrite sous une forme plus compacte comme.

L’équation (5.9) représente la condition imposée à l’énergie afin que les solut ions de l’équation différent ielle (2.3) soient normalisables. Les énergies possibles seront alors les racines d’un polynôme de degré infini en tnl . Évidemment , il est impossible de trouver une forme fermée de toutes les racines de l’équation (5.9). En revanche, il est possible d’obtenir une bonne approximation des valeurs propres en évaluant les coefficients K~N) (p , l) pour un N assez élevé et en tronquant la somme de l’équation (5.7) pour obtenir une expression approximat ive de Hl (p, tnl ). Ensuite, il suffit d’évaluer numériquement les racines de l’approximation de Hl (p, tnl ). Bien entendu, plus la valeur de N sera élevée et plus l’on conserve de termes dans la somme, meilleure sera la précision sur les valeurs d’énergies calculées. À la section 5.3, un algorithme est développé pour calculer les coefficients K~N) (p, l).

Table des matières

Avant-propos
Résumé
Abstract
Table des matières
Liste des tableaux
Liste des figures
Liste des notations
1 Introduction
2 Les fonctions propres
2.1 Équation radiale
2.2 Résolut ion de l’équation de récurrence
2.3 Fonctions propres
2.4 Comportement asymptotique
2.5 Condit ions front ières
2.5.1 Condit ion à l’origine
2.5.2 Condition à l’infini
3 Équation de récurrence
3.1 Inversion de l’équation de récurrence
3.2 Les fonctions combinatoires
3.2 .1 Partitions
3.2.2 Construction des fonctions combinatoires
3.3 La somme sur r
3.4 Solution de l’équation de récurrence
4 Fonction de structure conjuguée
4.1 Cas fondamentaux
4. 1.1 Part it ion de longueur nulle
4. 1.2 Part it ion composée de part de longueur 1 ou 2
4. 1.3 Partition composée de part de longueur 3
4.2 Équations de récurrence pour les fonctions de structure
4.2.1 Équations de récurrence linéaires .
4.2.2 Équation de récurrence non linéaire
5 Les énergies propres
5. 1 Contrainte sur l’énergie.
5.2 Cas spécial du potent iel linéaire (p = 0) sans moment cinétique (l = 0)
5.3 Résultats numériques
Conclusion
Bibliographie
A Méthodologie
A.1 Introduction
A.2 Partit ions
A.3 Opérations et ensembles de partitions
A.4 Transition vers les fonctions combinatoires
A.5 Solution de l’équation de récurrence inversée
A.6 Conclusion
B Symboles de Pochhammer
Table des matières Xl
C Fichier Mathematica

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