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La Géométrie 2 ou G2
Les objets de la Géométrie 2 sont des objets idéels. Dans ce paradigme, les savoirs sont organisés selon un principe qui leur est extérieur, une axiomatique fondée sur le raisonnement déductif. Toutefois cette géométrie garde un lien avec la perception et la réalité car les premiers axiomes fondateurs sont compatibles avec le « perçu ».
La relation avec la réalité subsiste encore dans cette Géométrie, dans la mesure où elle s’est constituée pour organiser les connaissances géométriques issues de problèmes spatiaux. L’axiomatisation proposée est certes une formalisation mais elle n’est pas formelle car ici la syntaxe n’est pas coupée de la sémantique qui renvoie à la réalité. »(Houdement et Kuzniak, 2006, p. 7) .
Houdement (2019) précise que :
Sur le plan historique, une hypothèse plausible est que G2 a émergé en partie du besoin d’organiser les résultats invariants sur l’espace sensible, dans des traités regroupant les connaissances accumulées. La construction d’un traité (le passage à l’écrit) nécessite l’utilisation d’un principe organisateur. Les Éléments d’Euclide, traité de G2, utilisent le raisonnement hypothético-déductif comme principe, sa finalité est de modéliser le réel environnant, vu comme espace euclidien. » (Houdement, 2019, p. 21) .
Ainsi dans ce paradigme, la production des connaissances se fait uniquement par l’intermédiaire du raisonnement hypothético-déductif à partir de connaissances reconnues comme vraies (par exemple les axiomes dans les Éléments d’Euclide). Les nouvelles connaissances pourraient toutes porter le nom de « théorème » pour fixer leur statut, les usages tolèrent aussi d’autres expressions comme « propriété ». Dans ce paradigme, les seuls instruments licites de validation sont les règles de fonctionnement du raisonnement hypothético-déductif produites sous forme d’énoncés. «Les problèmes devraient être tous uniquement textuels puisque les objets de ce paradigme sont les définitions et les théorèmes textuels »(Houdement, 2007, p. 74).
Pour autant le dessin n’est pas absent de ce paradigme, il y joue un rôle prépondérant par son double statut : modèle local de l’espace sensible ou représentation des objets idéels, support du raisonnement ou aide à l’heuristique (Houdement, 2013, p. 33).
La Géométrie 3 ou G3
La géométrie 3 est une géométrie axiomatique formaliste qui n’a plus aucun lien avec le réel. Les objets sont idéels, les savoirs construits à partir d’une axiomatique complète qui repose sur un minimum d’axiomes. Les éventuelles représentations (figures) sont une modélisation des objets théoriques.
G1 et G2 sont les paradigmes de la géométrie de l’école et du collège. Ils sont fortement liés dans l’activité géométrique qui consiste souvent à combiner une heuristique appuyée sur une certaine visualisation du dessin (donc en G1) et la construction de raisonnements qui relèvent de G2. Ce qui a conduit Houdement et Kuzniak à concevoir un nouvel objet, celui d’Espace de Travail Géométrique, que nous étudions dans la partie suivante.
Dans celle d’après, nous examinons les relations entre les problématiques de Berthelot et Salin et les paradigmes géométriques G1 et G2.
Les Espaces de Travail Géométrique
La notion d’espace de travail géométrique (ETG) modélise « l’environnement » du travail géométrique de personnes, de programmes définissant les contenus d’enseignement, etc. L’ETG comporte trois composantes : des objets, des artefacts qui lui permettent d’agir sur ces objets et un référentiel théorique (un horizon). Les ETG individuels diffèrent selon que l’individu est expert ou novice en géométrie (Houdement, 2007).
La notion d’espace est à prendre assez naïvement au sens espace de pensée : s’y insèrent des objets, des outils, et une finalité, un horizon pour le travail géométrique. La finalité est définie par le choix du paradigme géométrique qui devient le référentiel théorique » (Houdement, 2007, p. 78). Les objets géométriques sont un constituant essentiel de l’espace de travail géométrique et les différents points de vue sur leur nature exacte dépendent à la fois du modèle théorique qui les définit et de l’espace support dans lequel ils se trouvent. Dans la vision abstraite de la Géométrie 3, les objets sont théoriques, l’espace est constitué de points, de droites et de plans dont les relations sont explicitées par le modèle. Ce regard permet d’introduire les sous-parties de l’espace comme des ensembles de points. Dans la géométrie axiomatique naturelle (Géométrie 2), certaines sous-parties de l’espace sont en fait les objets de l’étude et l’on parlera de figures ou de configurations. En Géométrie 1, il s’agit de dessins ou de maquettes, dans tous les cas des objets perceptibles aux sens, schématisations de la réalité (Houdement, 2007).
La composante artefact comprend les instruments et outils à disposition du géomètre. Il peut s’agir des d’instruments géométriques usuels (règle, équerre, compas, logiciels dynamiques) ou d’artefacts utilisés à des fins géométriques (ficelle, bâton, etc.). Mais sont aussi artefacts :
les règles théoriques qui régissent le fonctionnement du système hypothético-déductif. Les seconds concourent à la preuve en Géométrie 2, ce sont en effet les seuls instruments licites de la validation en Géométrie 2. Les premiers concourent à la preuve en Géométrie 1 (ils aident à clore le problème), nourrissent l’heuristique en Géométrie 2. Ainsi les mêmes artefacts peuvent avoir des fonctions différentes sur les mêmes traces graphiques.
L’instrumentalisation des instruments usuels de la géométrie diffère selon le paradigme visé » (Houdement, 2013, p 41).
La troisième composante est constituée du référentiel théorique. Ce référentiel est lié aux paradigmes et détermine la nature de la réponse (et sa preuve) pour un expert. Mais la partie heuristique du problème peut relever d’un autre paradigme : par exemple la production de conjectures sur une figure géométrique peut se faire dans G1, même si la réponse est attendue en G2 (Houdement, 2007, 2013).
Ainsi l’Espace de Travail Géométrique rend compte de la recomposition des diverses composantes de la pensée géométrique : le référentiel théorique (G1 ou G2) pilote in fine le type d’utilisation des autres composantes ; chaque composante peut évoluer suivant le référentiel théorique.
Relations entre les problématiques et les paradigmes géométriques
Nous examinons dans cette partie les relations entre les problématiques de Berthelot et Salin et les paradigmes géométriques. À l’instar de Perrin-Glorian et Godin (2018), nous considérons que la problématique géométrique relève de G2. Un sujet qui se place dans une problématique géométrique travaille sur des objets géométriques idéels pour résoudre des problèmes. Pour construire de nouvelles connaissances, il mobilise les règles de fonctionnement qui commandent le raisonnement hypothético-déductif.
G1 englobe la problématique spatio-géométrique, un modèle de l’espace sensible, qui peut inclure des connaissances géométriques transposées dans l’espace sensible avec une validation qui se fait dans ce même espace. Relèvent d’un horizon G1 les actions qui sont liées une utilisation ingénieuse d’instruments, tels des gabarits (par exemple gabarits de disques, pour retrouver le diamètre d’un plat circulaire cassé), une corde (qu’il va falloir tendre pour « transporter » une longueur), une règle qu’il va falloir poser de façon adaptée pour tracer un segment de longueur dépassant celle de la règle. Sont alors nécessaires des connaissances techniques au sens de (Petitfour, 2017) issues de la genèse instrumentale d’instruments nouveaux. Il y est aussi possible de produire et/ou valider avec des artefacts (adaptés) indépendamment de connaissances géométriques : par exemple en utilisant un calque, en pratiquant des pliages, des découpages. Nous reviendrons plus précisément sur ce processus de genèse instrumentale dans le paragraphe 5.
Enfin, dans la mesure où dans une problématique pratique les actions sont guidées par des connaissances spatiales sans nécessaire relation avec un savoir géométrique, il nous faut avancer sur la délimitation des connaissances spatiales.
Connaissances spatiales et connaissances géométriques
Depuis les travaux de Berthelot et Salin (1992), deux champs de connaissances sont souvent distingués dans les recherches françaises relatives à l’enseignement de la géométrie : les connaissances géométriques et les connaissances spatiales. Caractériser plus précisément ces deux champs de connaissances et leurs interactions, étudier le rôle des connaissances spatiales dans le développement des connaissances géométriques soulèvent de nombreuses questions dont rendent compte les cours et le débat4 sur le thème de la géométrie de la 19eme école d’été de didactique des Mathématiques (Houdement, 2019; Mathé et Mithalal, 2019; Soury-Lavergne et Maschietto, 2019).
Les connaissances géométriques portent sur les objets géométriques (objets idéels qui ne sont pas directement accessibles par les sens) et sur leurs relations (Petitfour, 2015)(Mathé et Mithalal, 2019). Dans les travaux français, les connaissances spatiales sont caractérisées par les problèmes qu’elles permettent de résoudre, les situations dans lesquelles elles s’expriment (Houdement,2019): Les connaissances spatiales d’un sujet sont celles qui lui permettent de résoudre des problèmes spatiaux, qu’il ait ou non la possibilité de les formuler. » (Brousseau, 2000 b, p.5) .
Selon Soury-Lavergne et Maschietto (2019), cela inclut : « la caractérisation des formes, de l’orientation, des positions et des mouvements ». Il y a consensus pour placer l’usage de représentations de l’espace environnant au cœur du champ de ces connaissances : La création d’une carte au sens de cartographie et l’utilisation de cette carte pour se repérer en montagne, en mer ou en ville, pour atteindre une position ou pour construire un objet (on parle alors de « plan ») sont les problèmes typiques de ce champ de connaissances, pour lequel la validation est pragmatique et empirique » (Soury-Lavergne et Maschietto, 2019, p. 101).
Cerner les connaissances spatiales mises en œuvre lors de tâches de reproduction de figures est plus complexe et objet de débat. Pour Houdement (2019), le travail autour de la visualisation des figures relève du spatial : Il nous semble avoir montré que les entrées de la didactique française concernant le spatial (dont la visualisation) sont plutôt du côté des situations, plutôt à finalité géométrique, mais avec un intérêt pour « équiper » spatialement le citoyen dans la cité, cherchant à débusquer les connaissances en jeu. »(Houdement, 2019, p. 31).
D’après Mathé (Débat 19e EE, 2019 ), le travail sur des dessins en géométrie relève de pratiques différentes de celles employées dans la résolution de problèmes pratiques. Aussi elle suggère de distinguer les connaissances procédurales utiles dans la construction de dessin des connaissances spatiales mobilisées lors de la résolution de problèmes pratiques, ce qui n’est pas l’avis d’autres chercheurs. Ainsi, Perrin-Glorian (Débat 19e EE, 2019 ) précise que des connaissances spatiales peuvent se manifester dans un travail sur feuille de papier, par exemple quand un sujet prend des repères par rapport aux bords de la feuille.
Soury-Lavergne et Maschietto soulignent l’importance de ce qu’elles nomment «espace graphique » à l’interface entre ces deux champs de connaissances spatiales et géométriques et le rôle pivot que cet espace graphique peut ainsi jouer: L’espace graphique permet l’expérimentation et la résolution de problèmes selon des critères qui peuvent tout aussi bien relever du champ des connaissances spatiales que du champ des connaissances géométriques.
L’espace graphique permet la modélisation et la résolution d’un problème spatial, en modélisant les objets 3D du micro, du méso ou du macro-espace par des objets graphiques bidimensionnels du micro-espace. Dès lors que ce modèle est produit, il peut à son tour être considéré comme une représentation d’un objet géométrique et en conséquence donner lieu à un traitement plus théorique. L’espace graphique est alors un moyen de travailler la relation entre connaissances spatiales et connaissances géométriques » (Soury-Lavergne et Maschietto, 2019, p. 102‑103).
Les programmes de géométrie en fin de primaire et au début du collège
Nous allons maintenant présenter les éléments du programme de mathématiques en vigueur en cycle 3 qui concernent la géométrie plane et plus particulièrement la reproduction de figures (figures simples). Ces éléments seront utiles dans les analyses ultérieures car certaines actions des enseignants pourront éventuellement être mises en relation avec des préconisations du programme.
Présentation générale
Depuis le début de notre recherche en 2015, les programmes de mathématiques pour l’école primaire et le collège ont été modifiés deux fois, en 2016 puis 2018. Après un bref aperçu de cette évolution globale, nous présenterons plus spécifiquement les programmes de géométrie en vigueur au moment des expérimentations définitives en 2017 et les points importants en relation avec notre travail, c’est-à-dire concernant la géométrie plane et plus particulièrement la reproduction de figure et l’étude des figures simples.
Au niveau global, un changement majeur intervient dans les programmes de 2016 concernant les cycles qui rythment le déroulement de la scolarité : le texte publié au BO n°11 spécial du 26 novembre 2015, précise que le cycle 1 regroupe les classes de maternelle, le cycle 2 les classes de CP, CE1 et CE2, le cycle 3 les deux dernières années de l’école primaire et la première année du collège ; enfin le cycle 4 désigne les trois derniers niveaux du collège. Ainsi, fait nouveau, le cycle 3 est désormais commun aux deux institutions, primaire et secondaire. L’objectif annoncé de cette modification majeure est de renforcer la continuité pédagogique et la cohérence des apprentissages entre institutions. Cette répartition par cycles est reconduite en 2018.
Une autre modification notable depuis 2016 est la classification des compétences mathématiques à acquérir par les élèves en six catégories identiques pour les cycles 2, 3 et 4 : chercher, modéliser, représenter, raisonner, calculer, communiquer.
Depuis 2016, les enseignants de fin de primaire et de 6e ont donc à leur disposition pour construire leur enseignement de mathématiques les mêmes documents institutionnels. Ces documents sont constitués pour le cycle 3 d’un document principal présentant l’ensemble du programme structuré en trois thèmes principaux : nombres et calcul ; grandeurs et mesures ; espace et géométrie. Ce texte est complété par des documents d’accompagnements relatifs
chaque thème. Nous allons maintenant présenter plus précisément le contenu du thème en lien avec notre sujet de recherche.
Le thème espace et géométrie
Le document principal qui présente l’ensemble du programme (BO n° 11 du 26 novembre 2015) est complété pour le thème espace et géométrie par neuf documents d’accompagnement : un document d’accompagnement maître de 18 pages et huit documents rattachés de 2 à 6 pages chacun, dont six concernent la géométrie plane : les angles ; le disque et le cercle ; la géométrie « flash » ; les polygones ; les programmes de construction ; les quadrilatères. Ce sont donc en tout huit textes relatifs à la géométrie plane que les enseignants de primaire et de collège ont à leur disposition pour préparer leurs séquences d’enseignement sur la géométrie plane.
Après avoir présenté rapidement les connaissances citées dans document principal, nous expliciterons les points saillants que nous avons relevés à la lecture de l’ensemble des documents que nous venons de citer. Ces points portent sur les connaissances spatiales, l’usage des instruments, l’institutionnalisation, la progressivité des apprentissages, le raisonnement et les situations préconisées.
Les connaissances au programme du cycle 3 pour le thème espace et géométrie en 2016
Pour le thème espace et géométrie, le document principal est structuré autour de trois rubriques : (Se) repérer et (se) déplacer dans l’espace en utilisant ou en élaborant des représentations ; Reconnaître, nommer, décrire, reproduire, représenter, construire quelques solides et figures géométriques ;
Reconnaître et utiliser quelques relations géométriques
Pour chaque rubrique le programme est présenté en deux colonnes. La première indique les connaissances et compétences associées à travailler avec les élèves, dans la seconde figurent en regard des exemples de situations, d’activités et de ressources pour les élèves.
Les figures géométriques étudiées sont des figures simples (triangles, quadrilatères, cercle) ou des figures complexes (assemblages de figures simples).
Les relations géométriques à reconnaitre et utiliser concernent : alignement et appartenance ; perpendicularité et parallélisme ; égalité de longueurs ; égalité d’angles ; distance entre deux points, entre un point et une droite ; symétrie axiale. Un extrait du BO se trouve en annexe I.1.
Des indications du programme en relation avec notre étude
Cette partie cherche à rapidement repérer dans différents documents des programmes des termes, conseils ou indications, en relation avec notre étude. Nous avons vu paragraphe 4 qu’il est difficile mais nécessaire de distinguer connaissances spatiales et connaissances géométriques. Le programme de cycle 3 évoque les apprentissages spatiaux » : Dans la continuité du cycle 2 et tout au long du cycle, les apprentissages spatiaux se réalisent à partir de problèmes de repérage de déplacement d’objets, d’élaboration de représentation dans des espaces réels, matérialisés (plans, cartes, etc.) ou numériques. » (BO n° 11 du 26 novembre 2015, p. 211).
Dans le programme du cycle 2, nous lisons :
Au cycle 2, les élèves acquièrent à la fois des connaissances spatiales comme l’orientation et le repérage dans l’espace et des connaissances géométriques sur les solides et sur les figures planes. » (BO n° 11 du 26 novembre 2015,p. 82)
Actions non instrumentées
Les raisonnements en lien avec des actions non instrumentées peuvent avoir pour fonction l’organisation des tâches. Ils contribuent à planifier la succession d’actions élémentaires à mettre en œuvre pour parvenir à reproduire le modèle.
Exemple : les élèves font une marque sur un élément du modèle pour se souvenir que cet élément a été reproduit.
Synthèse
Nous regroupons les fonctions des raisonnements que nous venons d’identifier selon qu’elles concernent l’usage des artefacts, les caractéristiques du modèle à reproduire, l’interprétation des rétroactions ou l’organisation générale des actions. Ce sont ces fonctions que nous retiendrons pour conduire nos analyses.
Concernant l’usage des artefacts
Choix de l’artefact
Adaptation ou construction de schèmes d’usage de l’artefact Concernant les caractéristiques du modèle à reproduire Intuition ou conjecture ponctuelle concernant des caractéristiques du modèle (relations entre objets graphiques ou matériels composant le modèle). Identification par le biais d’instruments de caractéristiques du modèle. Identification des caractéristiques (géométriquement signifiantes) du modèle que doivent satisfaire les objets graphiques produits. Intuition ou conjecture ponctuelle concernant des objets qui ne sont pas encore dessinés. Interprétation des rétroactions
Validation ou non d’une conjecture.
Production d’une nouvelle conjecture.
Identification de relations entre objets matériels.
Validation ou non de la procédure en cours. Ajustement de l’action en conséquence: poursuite ou abandon/adaptation de la procédure.
Raisonnements d’organisation
Identification sur le modèle d’objets déjà reproduits.
Organisation de la succession d’actions élémentaires pour permettre la reproduction, l’ordre des tracés pouvant conditionner la réussite.
Les fonctions des raisonnements en lien avec la formulation dans le cadre de la reproduction de figure (premier axe)
De même que nous avons proposé une classification des fonctions des raisonnements spécifique à l’action, nous cherchons à identifier les raisonnements qui peuvent caractériser la formulation dans le cadre spécifique de la reproduction de figures.
Les raisonnements susceptibles d’être produits au niveau du milieu de référence (M-1) ont pour fonction la formulation (plus ou moins explicite) ou la justification des raisonnements produits au niveau du milieu objectif. En reprenant les rubriques précédentes, cela nous conduit à identifier les fonctions suivantes
Concernant l’usage des artefacts
Justifications explicites ou en partie implicites du choix d’un instrument ou de son usage en lien avec les propriétés et les caractéristiques de la figure :
Oui, on a pris l’équerre comme quoi ça fera, ça fait un angle droit. » .
Concernant les caractéristiques du modèle à reproduire la formulation d’une caractéristique du modèle à reproduire et sa validation par une preuve pragmatique.
Par exemple :
Après avoir vérifié par l’intermédiaire du tasseau que tous les côtés d’un losange donné en modèle sont isométriques les élèves concluent : « C’est tous la même longueur ».
la justification explicite ou en partie implicite de la procédure mise en œuvre en lien avec les caractéristiques du modèle à reproduire :
Par exemple : « Ensuite on a remarqué qu’y avait des, des angles droits, là-bas avec l’équerre, du coup ben on a construit des, on a construit les angles droits ». Concernant l’interprétation des rétroactions l’interprétation et la formulation des rétroactions. Par exemple : Mais // ce qu’on avait un peu du mal à faire c’était trouver la, la moitié en fait » .
Raisonnements d’organisation l’explicitation de l’organisation des tâches (raisonnement d’organisation).
Alors, heu, au début donc on a pris le bâton, donc on a mesuré la heu, la diagonale, là (Montre du doigt la petite diagonale). […] Puis ensuite heu, on a […] On a mesuré là-bas sur heu la figure//Pour avoir notre deuxième diagonale » .
noter : en géométrie plane, au cours d’une phase de formulation, un élève (ou le professeur) peut décrire une procédure, c’est-à-dire rendre compte du déroulement de cette procédure, des actions élémentaires qui la composent au plus près de l’action effective. Cela correspond pour nous à la verbalisation au sens de Flückiger (2000) telle que nous l’avons présentée dans le paragraphe 2. Exemple : « Alors on a pris le tasseau. On a mesuré » .
Comme nous l’avons évoqué, la verbalisation peut participer à l’élaboration du répertoire de représentations, en particulier des représentations langagières. Elle peut aussi permettre de rendre explicite un modèle implicite d’action. Verbaliser une suite d’actions nécessite d’envisager leur enchainement temporel et d’en rendre compte, ce qui constitue un premier pas de côté par rapport à l’action. Pour autant, nous situons les raisonnements éventuels du côté de l’action au niveau M-2 du milieu objectif.
Analyse sémiotique et identification des connaissances et des savoirs
Le deuxième axe que nous retenons repère les signes (les représentations sémiotiques) qui seraient des observables des raisonnements. Les raisonnements apparaissant en situation de classe peuvent se traduire sous des formes très diverses : éléments langagiers, gestuels, scripturaux, graphiques. Dans cet ensemble le langage joue un rôle particulier, il est souvent tentant de ne s’appuyer que sur ce signe, par exemple en ne réalisant que des verbatim des séances. Nous essayons de dépasser cela dans la domaine géométrique, favorable à la gestuelle et l’usage d’artefacts. Nous nous appuyons sur les signes que nous donnent à voir les élèves ou l’enseignant lors de leurs interactions, en référence au modèle de Peirce, comme le font Bloch et Gibel (2011) pour construire leur modèle d’analyse des raisonnements. La sémiotique de Peirce est aussi sollicitée par Houdement et Petitfour (2018) pour conduire des analyses d’interactions dans le contexte de l’adaptation scolaire :
La sémiotique étudie la production, la codification et la communication de signes. Elle a dépassé l’étude de la langue grâce notamment aux travaux de référent ou objet, signes ou représentations sémiotiques, interprétations de ces signes […]. Le référent (ou objet) est ce à quoi renvoie le signe et l’interprétation ce qu’en comprend la personne qui reçoit ce signe. » (Houdement et Petitfour, 2018, p. 11) Dans la construction de leur modèle, Bloch et Gibel (2011) analysent le processus sémiotique du point de vue des composantes syntaxique et sémantique dans le cadre d’une situation de validation ayant pour objet la conceptualisation de la notion de limite en première scientifique. La distinction qu’ils opèrent, en appui sur la sémiotique de Pierce, entre icône, indice et symbole-argument, donne à voir l’évolution des signes écrits produits. Dans ce travail, centré sur l’étude de figures planes au cycle 3, nous avons conduit nos premières analyses en essayant d’opérer cette distinction. Compte-tenu des signes produits par les élèves, notamment autres que le langage, elle s’est révélée souvent complexe à établir et in fine peu exploitable sur le temps court des épisodes analysés. C’est pourquoi nous n’avons pas repris cette distinction dans nos analyses des expérimentations définitives.
Pour appréhender les éventuels raisonnements produits par les élèves, nous avons besoin d’identifier les objets qu’ils considèrent (sur lesquels ils agissent ou dont ils parlent), et les relations qu’ils perçoivent entre ces objets. Pour cela nous essayons de relever la production et l’évolution des différents signes émis par un élève (ou des élèves), non pas indépendamment les uns des autres, mais dans leur relation les uns aux autres (Arzarello, 2006) toujours en relation avec les actions menées (vision synchronique). Dans le foisonnement des signes produits, nous retenons les plus saillants qui nous apparaissent en lien avec l’activité géométrique en cours. Ces signes évoluent dans un processus dynamique que nous n’étudions pas pour lui-même mais pour les indications qu’il nous fournit sur les raisonnements des élèves (et de l’enseignant).
Enfin, en lien avec ces observables, nous cherchons à identifier les connaissances mobilisées par les élèves, les éléments du répertoire didactique de la classe sollicités et leur évolution. Nous présenterons dans le chapitre VI comment nous conduisons nos analyses des raisonnements produits par les élèves à partir de ces trois axes complémentaires et interdépendants.
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Table des matières
INTRODUCTION
GENÈSE DE LA RECHERCHE
ÉBAUCHE DE PROBLÉMATIQUE
PLAN DE LA THÈSE
CHAPITRE I ÉTUDE DU SAVOIR VISÉ : LA GÉOMÉTRIE
1. DEUX FONCTIONS DISTINCTES POUR LA GÉOMÉTRIE À ENSEIGNER
2. LES PROBLÉMATIQUES DÉFINIES PAR BERTHELOT ET SALIN
2.1. PROBLÉMATIQUE GÉOMÉTRIQUE
2.2. PROBLÉMATIQUE DE MODÉLISATION
2.3. PROBLÉMATIQUE PRATIQUE
3. PARADIGMES GÉOMÉTRIQUES ET ETG
3.1. NOTION DE PARADIGME
3.2. PARADIGMES ET GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE
3.3. LES ESPACES DE TRAVAIL GÉOMÉTRIQUE
3.4. RELATIONS ENTRE LES PROBLÉMATIQUES ET LES PARADIGMES GÉOMÉTRIQUES
4. CONNAISSANCES SPATIALES ET CONNAISSANCES GÉOMÉTRIQUES
5. DE L’ARTEFACT À L’INSTRUMENT
6. LA VISUALISATION DES FIGURES
7. LES DIFFÉRENTS ESPACES
7.1. DÉFINITIONS RETENUES
7.2. LES PRINCIPALES RECHERCHES FRANÇAISES QUI PRÉSENTENT DES SITUATIONS DANS LE MÉSO-ESPACE
8. LES PROGRAMMES DE GÉOMÉTRIE EN FIN DE PRIMAIRE ET AU DÉBUT DU COLLÈGE
8.1. PRÉSENTATION GÉNÉRALE
8.2. LE THÈME ESPACE ET GÉOMÉTRIE
8.3. LES CONNAISSANCES AU PROGRAMME DU CYCLE 3 POUR LE THÈME ESPACE ET GÉOMÉTRIE EN 2016
8.4. DES INDICATIONS DU PROGRAMME EN RELATION AVEC NOTRE ÉTUDE
9. DES SPÉCIFICITÉS DU LANGAGE UTILISÉ EN GÉOMÉTRIE AU CYCLE 3
9.1. DIFFÉRENTS LANGAGES UTILISÉS EN GÉOMÉTRIE AU CYCLE 3
9.2. POLYSÉMIE
9.3. ARTICULATION ENTRE NOMS DES UNITÉS FIGURALES ET TERMES GÉOMÉTRIQUES
9.4. CE QUE NOUS ENTENDONS PAR « QUALIFICATION »
CHAPITRE II POINTS D’APPUI THÉORIQUES POUR L’ANALYSE DES SITUATIONS DIDACTIQUES
1. ÉLÉMENTS ISSUS DE LA THÉORIE DES SITUATIONS DIDACTIQUES
1.1. SITUATIONS ET MILIEUX
1.2. SITUATIONS DIDACTIQUES, NON DIDACTIQUES, ADIDACTIQUES
2. DISTANCE ENTRE SITUATION D’ACTION ET SITUATION DE FORMULATION EN GÉOMÉTRIE
3. DES CONNAISSANCES AU SAVOIR
3.1. CONNAISSANCES ET SAVOIR
3.2. LES PROCESSUS DE DÉVOLUTION ET D’INSTITUTIONNALISATION
4. LE RÉPERTOIRE DIDACTIQUE
5. UN MODÈLE DE STRUCTURATION DU MILIEU
6. LES RAISONNEMENTS
6.1. QU’EST-CE QU’UN RAISONNEMENT ?
6.2. RAISONNEMENT EFFECTIF
6.3. UN MODÈLE D’ANALYSE DES RAISONNEMENTS
6.4. LES FONCTIONS DES RAISONNEMENTS EN LIEN AVEC L’ACTION DANS LE CADRE DE LA REPRODUCTION DE FIGURE (PREMIER AXE)
6.5. LES FONCTIONS DES RAISONNEMENTS EN LIEN AVEC LA FORMULATION DANS LE CADRE DE LA REPRODUCTION DE FIGURE (PREMIER AXE)
6.6. ANALYSE SÉMIOTIQUE ET IDENTIFICATION DES CONNAISSANCES ET DES SAVOIRS
CHAPITRE III L’INGÉNIERIE DIDACTIQUE
1. CHOIX DE L’INGÉNIERIE DIDACTIQUE
1.1. PREMIERS CHOIX MÉTHODOLOGIQUES LIÉS À LA PROBLÉMATIQUE
1.2. NOS PRINCIPAUX CHOIX MATHÉMATIQUES ET DIDACTIQUES
2. ANALYSE MATHÉMATIQUE DU TRACÉ D’UN LOSANGE
3. LA SITUATION DE COMMUNICATION DANS LE MICRO-ESPACE
3.1. PRINCIPE GÉNÉRAL
3.2. ORGANISATION DES ÉLÈVES
3.3. LA SITUATION ÉTUDIÉE
3.4. ANALYSE A PRIORI DE LA SITUATION DE COMMUNICATION
4. LA SITUATION DE REPRODUCTION DE LOSANGES DANS LE MÉSO-ESPACE
4.1. PRINCIPE GÉNÉRAL
4.2. ORGANISATION DES ÉLÈVES ET DE L’ESPACE
4.3. ANALYSE A PRIORI DE LA SITUATION DANS LE MÉSO-ESPACE
CHAPITRE IV PREMIÈRES EXPÉRIMENTATIONS
1. ÉVOLUTION DES PROCÉDURES ET DES RAISONNEMENTS PRODUITS PAR DES ÉLÈVES AU COURS DE LA SÉQUENCE SUR LE THÈME DES LOSANGES
1.1. BREF CONTEXTE DE L’EXPÉRIMENTATION
1.2. PROTOCOLE DE RECUEIL DE DONNÉES, CHOIX DES DONNÉS ANALYSÉES
1.3. SÉANCE 1 : ÉTUDE DES PROCÉDURES ET INSTRUMENTS UTILISÉS PAR LES 4 ÉLÈVES DANS LE MICRO ESPACE
1.4. SÉANCE 2 : MISE EN COMMUN DE LA SITUATION DE COMMUNICATION
1.5. SÉANCE 3 : ÉTUDE DES PROCÉDURES ET INSTRUMENTS UTILISÉS PAR LES 4 ÉLÈVES DANS LE MÉSO-ESPACE
1.6. SYNTHÈSE POUR LE GROUPE 1
1.7. DISCUSSION ET CONCLUSION
2. EXPÉRIMENTATION DE DUOS DE SITUATIONS EN COLLÈGE
2.1. PROTOCOLE D’EXPÉRIMENTATION
2.2. NOS PRINCIPALES AVANCÉES
3. DISCUSSION ET CONCLUSIONS POUR LA MÉTHODOLOGIE DE RECHERCHE
3.1. POUR LES SITUATIONS
3.2. DU CÔTÉ DES ÉLÈVES
3.3. SUR LE RÔLE DE L’ENSEIGNANT
CHAPITRE V PROBLÉMATIQUE ET MÉTHODOLOGIE
1. DE LA QUESTION INITIALE À LA PROBLÉMATIQUE
2. MÉTHODOLOGIE GÉNÉRALE
3. L’INGÉNIERIE
3.1. VARIABLES RETENUES
3.2. RECUEIL DES DONNÉES
3.3. ANALYSE DES DONNÉES ISSUES DES SÉANCES DE CLASSE
4. LES ENTRETIENS
5. LES ENSEIGNANTS ET LES ÉLÈVES
5.1. CHOIX DES ENSEIGNANTES DE L’EXPÉRIMENTATION
5.2. MODALITÉS D’ÉCHANGES AVEC LES ENSEIGNANTES
5.3. CHOIX DES ÉLÈVES
5.4. ANONYMAT
CHAPITRE VI EXPÉRIMENTATIONS DANS LA CLASSE DE PRIMAIRE
1. PRÉSENTATION GÉNÉRALE
1.1. LE CONTEXTE DE L’EXPÉRIMENTATION
1.2. LE PROJET DE L’ENSEIGNANTE
2. LA SITUATION DE COMMUNICATION DANS LE MICRO-ESPACE
2.1. LA SÉANCE 1
2.2. LA SÉANCE 2
3. LA SITUATION DE REPRODUCTION DE FIGURES DANS LE MÉSO-ESPACE : LE CONTEXTE
3.1. PRÉPARATION DE LA SÉANCE
3.2. ORGANISATION SPATIALE
3.3. ORGANISATION TEMPORELLE
3.4. LES CONDITIONS DE RECUEIL DES DONNÉES
4. LA SITUATION DE REPRODUCTION DE FIGURES DANS LE MÉSO-ESPACE : LES ANALYSES
4.1. LA DÉVOLUTION
4.2. PHASE D’ACTION, PRÉSENTATION GÉNÉRALE
4.3. ANALYSES DES PHASES D’ACTION ET DE FORMULATION PAR GROUPES D’ÉLÈVES
4.4. SYNTHÈSE POUR LA SITUATION DE REPRODUCTION DE FIGURES DANS LE MÉSO ESPACE
5. LES ENTRETIENS AVEC L’ENSEIGNANTE
5.1. ENTRETIEN D’AUTOCONFRONTATION SIMPLE AVEC HÉLÈNE, DÉROULEMENT ET ANALYSE LINÉAIRE
5.2. SYNTHÈSE DE L’ENTRETIEN D’AUTOCONFRONTATION SIMPLE AVEC HÉLÈNE
5.3. L’ENTRETIEN D’AUTOCONFRONTATION CROISÉE
6. SYNTHÈSE ET CONCLUSION
CHAPITRE VII EXPÉRIMENTATIONS DANS LA CLASSE DE SIXIÈME
1. PRÉSENTATION GÉNÉRALE
1.1. LE CONTEXTE DE L’EXPÉRIMENTATION
1.2. LE PROJET DE L’ENSEIGNANTE
2. LA SITUATION DE COMMUNICATION DANS LE MICRO-ESPACE
2.1. LA SÉANCE 1
2.2. LES SÉANCES SUIVANTES
3. LA SITUATION DE REPRODUCTION DE FIGURES DANS LE MÉSO-ESPACE
3.1. PRÉPARATION DE LA SÉANCE
3.2. ORGANISATION SPATIALE
3.3. ORGANISATION TEMPORELLE
3.4. LES CONDITIONS DE RECUEIL DES DONNÉES
4. LA SITUATION DE REPRODUCTION DE FIGURES DANS LE MÉSO-ESPACE : LES ANALYSES
4.1. LA DÉVOLUTION
4.2. PHASE D’ACTION, PRÉSENTATION GÉNÉRALE
4.3. ANALYSES DES PHASES D’ACTION ET DE FORMULATION PAR GROUPES D’ÉLÈVES
4.4. SYNTHÈSE POUR LA REPRODUCTION DE FIGURES DANS LE MÉSO-ESPACE
5. L’ENTRETIEN AVEC L’ENSEIGNANTE
5.1. ENTRETIEN AVEC CÉLINE, DÉROULEMENT
5.2. SYNTHÈSE DE L’ENTRETIEN AVEC L’ENSEIGNANTE DE SIXIÈME
6. SYNTHÈSE ET CONCLUSION
CHAPITRE VIII CONCLUSION
1. RE TOUR SUR L’INGÉ NIE RIE
1.1. LES DUOS DE SITUATIONS
1.2. LES ARTEFACTS, NOTAMMENT DANS LE MÉSO-ESPACE
1.3. LE MÉSO-ESPACE, UN ESPACE DE POTENTIALITÉS NOUVELLES POUR L’ÉLÈVE, L’ENSEIGNANT ET LE CHERCHEUR 299
2. DYNAMIQUE ENTRE LE S INTE RV E NTIONS DE L ’E NSE IGNANTE ET LE S RAISONNE ME NTS DE S É LÈV E S
2.1. LA CONCURRENCE ENTRE LES DIFFÉRENTES VALIDATIONS
2.2. LA COMPLEXITÉ LANGAGIÈRE EN GÉOMÉTRIE
2.3. MODÈLE D’ANALYSE DES RAISONNEMENTS
2.4. ÉTUDE DES RAISONNEMENTS DES ÉLÈVES DU POINT DE VUE DU CHANGEMENT DE NIVEAUX DE MILIEUX
3. INTÉ GRATION DE S RAISONNE ME NTS DANS LE PROCE SSUS D ’INSTITUTIONNALISATION DE S E NSE IGNANTS
3.1. IDENTIFIER LES RAISONNEMENTS PRODUITS
3.2. FAIRE PARTAGER CONNAISSANCES ET RAISONNEMENTS.
3.3. INSTITUTIONNALISER LOCALEMENT DES CONNAISSANCES « INTERMÉDIAIRES »
3.4. DÉCONTEXTUALISER, GÉNÉRALISER
3.5. CRÉER DES LIENS ENTRE LES RAISONNEMENTS ET CONNAISSANCES QUI « CIRCULENT » ET LES CONNAISSANCES ANCIENNES.
3.6. METTRE EN TEXTE DES CONNAISSANCES SPATIALES ?
3.7. EN RÉSUMÉ
4. LIMITE S
BIBLIOGRAPHIE
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Soutenance mémoire
