Les difficultés des élèves

Les difficultés des élèves

Introduction

Il y a trois ans, au début de mon enseignement, une des premières séquences que j’ai enseignée était une introduction au calcul littéral. Les élèves ne comprenaient pas l’intérêt des lettres au milieu des nombres. Lettres qui rendaient les calculs mathématiques impossibles à leurs yeux. Malgré toutes les explications données, ces élèves n’ont pas compris le sens et l’utilité de l’algèbre. Les moments que j’ai vécu durant cette séquence m’ont profondément touché et ils sont certainement à l’origine de ce travail de mémoire.
L’algèbre est en effet une matière appréhendée par la majorité des élèves. Les élèves passent de l’école primaire au secondaire avec des représentations purement arithmétiques lorsqu’ils abordent, au début du secondaire, l’enseignement de l’algèbre.
Un profond fossé conceptuel sépare les deux modes de raisonnement, arithmétique et algébrique. Cette rupture conduit de nombreux élèves à travailler en algèbre tout en conservant un mode de pensée arithmétique. L’addition de termes non semblables, les erreurs de signes, une interprétation erronée de l’égalité… sont des erreurs commises par une majorité d’élèves, dont l’origine se trouve au niveau du manque de transition entre l’apprentissage de l’arithmétique et celui de l’algèbre.

Problématique

Les tendances pédagogiques actuelles, le Plan d’Études Romand et les nouveaux manuels de mathématiques (Mathématiques 9-10-11, 2012) proposent un modèle d’enseignement de type socio-constructiviste. L’apprentissage des mathématiques par la résolution de problèmes fait actuellement l’unanimité en matière de didactique. Des recherches issues de différents pays témoignent de cette volonté (Vlassis et Demonty, 2002). Charlot souligne que « cette option pédagogique n’est pas nouvelle dans l’absolu. Ce qui est nouveau, c’est qu’elle est aujourd’hui officielle » (Bkouche et al., 1991).

Question de recherche

Il est donc légitime de se poser la question de la possibilité d’enseigner l’algèbre avec une approche constructiviste en utilisant des situations-problèmes dans le cadre de l’école publique. Nous effectuons donc, les hypothèses suivantes:
•L’approche du calcul littéral par des situations-problèmes permet aux élèves d’assimiler ces notions de manière plus durable et ils seront capables de les exporter dans d’autres contextes.
•L’approche du calcul littéral par des situations-problèmes au début du secondaire est possible dans le cadre de l’école publique.

Le sens des expressions

Les expressions algébriques doivent être considérées comme des objets à part entière et non pas comme des procédures ou des opérations à effectuer. Et ce, malgré le fait qu’elles puissent contenir des signes d’opérations mathématiques comme par exemple 2x -3 ou a + b. Ces opérations ne sont pas calculables. Nous devons les utiliser comme si nous disposions d’un seul nombre.

 Les situations-problème

Les situations-problèmes sont plus larges et mieux calibrées que des problèmes d’application que nous proposons aux élèves pour entrainer des savoirs déjà institutionnalisés. Il s’agit d’alternatives aux cours eux-mêmes. Les situations-problèmes sont construites autour d’un obstacle à l’apprentissage, qui a été identifié et qu’il s’agira de franchir. Elles prennent comme point de départ un problème complexe à analyser, puis à résoudre autour de la pratique du « débat scientifique » dans la classe (Astolfi et al. 2008).

Méthodologie

La méthodologie envisagée dans ce travail est la recherche-action. Selon Saint-Luc (2010), cette méthode est un moyen de mettre en oeuvre un développement professionnel en lien avec la recherche. Ainsi, elle permet de créer un lien plus étroit entre la théorie et la pratique, et également de construire des savoirs que les enseignants peuvent mettre en action.
Pour ce travail nous avons conçu une séquence d’enseignement sur le calcul littéral basé sur une approche socio-constructiviste avec comme objectif de donner du sens à l’algèbre. La séquence propose deux contextes (situations-problème) différents pour aborder les premiers apprentissages algébriques:

L’algèbre par la géométrie

Sur la base d’expressions algébriques équivalentes (qui désignent une même aire ou périmètre) il s’agit de mettre en évidence quelques techniques de transformations d’expressions algébriques.

Les problèmes de dénombrement (suites arithmétiques)

Ces types de situations-problèmes ont pour but de donner un caractère fonctionnel à l’algèbre. À travers l’élaboration de formules, l’algèbre apparait comme un outil de généralisation.

 Planification de la séquence

Le tableau 1 résume la planification générale de la séquence et les activités principales qui ont été mises en place pour ce travail de recherche. Il s’agit d’une séquence de type socio-constructiviste, où deux situations-problèmes permettent d’aborder les concepts algébriques en lien avec les objectifs.

 Analyse apriori de la situation-problème 1 (algèbre par la géométrie)

L’algèbre par la géométrie propose une représentation concrète des concepts impliqués dans les premières procédures algébriques (sens de l’égalité, réduction des termes semblables,…). Les élèves construisent leurs premières représentations algébriques sur des connaissances géométriques qui leur sont familières.

Objectif

L’objectif principal de cette activité est de donner du sens aux premières expressions algébriques. La situation présente plusieurs lettres, des sommes et produits de monômes et des polynômes du second degré. Cette situation permet aux élèves d’aborder les concepts suivants:
– la notion d’expression algébrique, comme écriture de l’aire de figures géométriques
– l’égalité, comme relation existante entre deux expressions représentant le même
objet. Lors de la mise en commun nous pourrons valider deux expressions différentes pour le même objet puis déduire qu’elles sont « égales ».
Lors de cette activité, les élèves vont rencontrer la réduction de termes semblables, la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition et la convention pour omettre le signe « . ».

Discussion

Les résultats de ce travail montrent qu’introduire l’algèbre par des situations-problèmes est un moyen efficace de présenter les différents concepts algébriques que les élèves ont tant de difficulté à acquérir au début du secondaire. Comme nous l’avons vu, ces situations ont permis aux élèves de déduire par eux même plusieurs opérations algébriques comme l’addition ou la multiplication de monômes ou encore la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition.

conclusion

Ce travail met en évidence l’importance de tenir compte du passé des élèves et de la manière dont les concepts mathématiques sont construits chez l’enfant. La logique et la structure des savoirs que nous avons en tant qu’adultes ne correspondent pas forcément à celle des enfants. Nous devons alors repenser la manière dont nous proposons les apprentissages à nos élèves.
La question de la relation entre la théorie et la pratique dans le monde de l’enseignement n’est pas nouvelle. De nombreuses raisons ont été proposées pour expliquer ce fossé, mais cette question a surtout été abordée sous l’angle de la recherche et de ses liens avec l’action (Dietrich et Weppe, 2011).
Une des contraintes qui a été abordée dans ce travail est celle de l’école comme institution, car la mise en pratique des théories ne dépend pas seulement de l’enseignant et des élèves mais de l’ensemble des acteurs présents autour de l’enfant.
En ce qui concerne les méthodes d’enseignement et l’organisation des programmes, l’équipe pédagogique et les instances supérieures jouent un rôle qui ne doit pas être négligé.

Table des matières

1. Introduction
2. Problématique
3. Question de recherche
4. Cadre conceptuel
4.1. Le sens de l’algèbre
4.2. Les difficultés des élèves
4.3. Le modèle socio-constructiviste
4.4. Les situations-problème
5. Méthodologie
5.1. La classe 10VP/1
5.2. Objectifs de la séquence
5.3. Planification de la séquence
5.4. Analyse apriori de la situation-problème 1 (algèbre par la géométrie)
5.5. Exercices de consolidation
5.6. Évaluation
6. Résultats
6.1. Situation-problème 1
6.2. Analyse des erreurs
7. Discussion
8. Bilan et conclusion

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