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Les concepts théoriques de la modélisation du trafic routier
Pour réaliser une étude du trafic routier, nous distinguons généralement deux approches relatives aux deux grandes familles de modèles. La première approche correspond aux modèles d’écoulement, dont l’objectif est de décrire la façon selon laquelle les véhicules se déplacent sur un tronçon, et la deuxième est focalisée sur les modèles d’affectation, dont l’objectif est de décrire la façon dont les usagers choisissent leur itinéraire sur un réseau.
Les modèles utilisés en trafic se différencient les uns des autres par :
– la nature de leurs variables qui peuvent être continues, discrètes ou semi discrètes.
– le domaine de l’application qui peut être, un réseau, un tronçon ou une intersection.
– le mode de résolution qui peut être analytique et/ou numérique.
– le processus d’affectation qui peut être déterministe ou stochastique.
– le type du modèle d’écoulement : nous réservons cette classification plus tard selon les revues de la littérature.
Généralités sur la modélisation du trafic routier
Dans l’histoire de l’étude du transport routier, la modélisation est principalement basée sur trois types de modèle :
– le modèle macroscopique : il est défini par analogie avec la mécanique des fluides qui utilise trois variables fondamentales : le débit ?, la densité ? et la vitesse ?.
– le modèle microscopique : il permet de mettre en évidence les phénomènes d’interaction entre les véhicules avec les variables de définition : la vitesse ?, la position ? et les accélérations γ.
– le modèle hybride : il permet de combiner simultanément les approches macroscopique et microscopique.
Le choix d’une représentation du trafic est fortement lié à la taille du réseau à simuler. En effet, les modèles macroscopiques sont adaptés à la représentation de réseaux de grandes tailles, tandis que les modèles microscopiques sont mieux adaptés à la description d’éléments plus ponctuels du réseau. Ce dernier ne doit pas être adapté à l’étude des réseaux de grande taille compte tenu du volume important de calculs qu’il engendrerait. Les modèles mixtes, souvent appelés modèles hybrides permettent de coupler simultanément les deux types de représentation du trafic.
Modèles macroscopiques
Les modèles macroscopiques sont fondés sur l’analogie entre la circulation des véhicules et l’écoulement d’un fluide à l’intérieur d’un canal. Le trafic est représenté par trois variables : le débit ?(?,?), la densité ou concentration ?(?,?), et la vitesse du flot ?(?,?).
Ces modèles macroscopiques peuvent être classés en deux grandes catégories : le modèle du premier ordre et le modèle du second ordre. On choisit les modèles du premier ordre si on s’intéresse seulement aux états d’équilibre du trafic. Par contre, si le modèle prend en compte les états de non équilibre ainsi que les processus de convergence vers l’équilibre, la description utilise le modèle du second ordre.
Modèles macroscopiques du 1er ordre
Ces modèles sont aussi appelés modèles de L.W.R ou Lightill Witham et Richards [11]. Nous supposons que le système est en équilibre en permanence, ce qui se traduit par l’hypothèse selon laquelle la vitesse n’est fonction que de la concentration : ?=???[?(?,?)] (I.1).
A partir de cette équation, nous avons une relation d’équilibre reliant le débit et la concentration appelées aussi le diagramme fondamental : ?=? ???(?(?,?))=???(?(?,?)) (I.2).
Pour le modèle de L.W.R, le diagramme fondamental est couplé avec l’équation d’équilibre obtenue par le principe de conservation de masse pour avoir un système (?): (?){??(?,?)??+????=0?=? ???(?(?,?)) (I.3).
Nous verrons dans le prochain chapitre la résolution de ce système ainsi qu’une analyse plus profonde du modèle L.W.R.
Modèles macroscopiques du 2nd ordre
Nous avons énoncé que les modèles du 1er ordre sont destinés aux états qui ne s’éloignent pas de l’état d’équilibre. Donc, pour modéliser les états hors d’équilibre, les modèles du second ordre proposent de compléter le système (S) du modèle L.W.R non pas par une relation d’équilibre mais par une équation dynamique indépendante traduisant le comportement de l’accélération ? du flux. Cette accélération est généralement égale à un terme de relaxation vers la vitesse d’équilibre ???(?) additionné d’un terme B décrivant le comportement individuel des véhicules : ?=???? + ?????=???(?) − ??(??????????)+? (I.4).
Solution faible
La solution régulière ne suffit pas pour représenter analytiquement l’ensemble des solutions de l’équation du trafic routier. En effet, elle doit être continument dérivable. Pour des solutions moins régulières, on doit faire appel à la notion de la solution faible.
Nous allons caractériser des solutions faibles à l’aide du théorème de Rankine – Hugoniot [8]. Dans le demi-espace séparé en deux parties M1 et M2 par une droite (?) d’équation ?=??, où ?, désigne la vitesse du choc, la restriction à chacune des deux parties M1 et M2 que l’on note respectivement par ?1 et ?2 , est une solution classique du problème de Riemann. Nous savons que ? est une solution faible, si et seulement si on a la relation de Rankine-Hugoniot suivante : (?1−?2) ?=? (?1)−?(?2) (II.14).
Il existe deux types de solution faible du problème de Riemann associés respectivement aux constantes ?? et ?? : elle correspondent aux ondes de choc et de détente.
Résolution numérique
La mise en oeuvre de la résolution numérique nécessite la discrétisation du modèle géométrique choisi, ainsi que la détermination d’un modèle mathématique discrétisé des équations brutes par conséquent, nous allons rappeler successivement les principales étapes de ces opérations.
Discrétisation du modèle géométrique
La discrétisation effectuée sur le modèle géométrique a été réalisé selon une opération de maillage régulier conduisant à la définition de.
– ??=? ?? pour l’abscisse.
– ??=? ?? pour le temps.
La longueur de la route est arbitraire selon le choix du modèle utilisé tandis que le pas en abscisse ?? doit être choisi de telle sorte que Δ?Δ?≥?? (aucun véhicule ne dépasse pas la distance ? au cours d’un pas de temps ??). Ce choix affecte seulement la précision des résultats selon l’objectif du calcul.
Un schéma représentant le modèle discrétisé obtenu est représenté par la figure II.3.
Interprétations
D’après l’allure de la courbe de densité en fonction du temps de la figure III.3, nous pouvons remarquer qu’à l’instant initial (?=0 ?), la congestion se trouve au noeud n°60 ; et ensuite si on augmente le temps, elle se déplace vers l’avant.
En effet, si nous effectuons le calcul de la vitesse de propagation de la congestion d’une façon analogue au cas précédent, nous obtenons la valeur positive qui représente le déplacement vers l’avant. Cette valeur est égale à : ??=5,25 m.?−1 ou ??=18 ??.ℎ−1.
Trajectoire de flot de véhicules
A partir de l’algorithme traduit en code Pascal, nous avons déduit les trajectoires des véhicules pour chacun des cas des solutions caractéristiques. La figure III.6 suivante représente l’allure de la trajectoire en fonction du temps pour le cas de l’onde de choc.
Afin de bien visualiser les différents effets sur les trajectoires des flots de véhicules au niveau de chaque noeud, nous allons profiter de la simplicité du langage pascal pour tracer plusieurs trajectoires à la fois.
Les figures suivantes sont donc la représentation des trajectoires des véhicules au niveau de chaque noeud et pour le cas de différents types des ondes rencontrées sur la route.
Les différentes formes, que peuvent avoir la trajectoire de chacun des 25 véhicules successifs en fonction du temps dans les différents états du trafic sont illustrées sur les figures ci-dessous. Les données utilisées sont indiquées par le tableau III.4 et les courbes correspondantes sont portées dans la figure III.7.a, en régime fluide, III.7.b, en présence d’onde de choc, III.7.c, en présence d’onde de détente, et III.7.d, en présence de croisement.
Mise en place des capteurs
Pour collecter les données sur les réseaux routiers, il faut mettre en place des capteurs. Les capteurs sont reliés à des détecteurs, eux-mêmes faisant partie d’une station de mesure. La station de mesure est équipée d’un moyen d’acquisition en lien avec les détecteurs, d’un moyen de stockage et d’un moyen de transmission permettant de restituer les mesures effectuées [10]. En raison des coûts liés à l’installation et à la maintenance des capteurs, ceux-ci n’assurent qu’une couverture partielle du territoire. Il faut donc choisir des emplacements convenables pour ne pas créer des gaspillages. De manière générale, pour un tronçon donné, il faut au moins deux capteurs dont l’une à l’entrée et l’autre à la sortie du tronçon. Ainsi, la longueur des tronçons définit le nombre total des capteurs installés. Ces capteurs devraient alors être installés essentiellement sur les grands axes routiers et aux abords des intersections afin de permettre la régulation du trafic. Il faut savoir que la qualité des informations est liée relativement au nombre de capteurs installés. Outre le nombre de capteurs mis en place, leur positionnement peut avoir une influence importante sur la mesure des variables du trafic.
Toutefois, il faut tenir compte des erreurs sur la précision des capteurs, cela pourrait être due à la saturation importante du réseau ou à un manque d’entretien qui peut engendrer leur défaillance. A titre indicatif, nous allons relever quelques exemples de types de capteurs utilisés pour mesurer les états du trafic routier.
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Table des matières
CHAPITRE I : CONTEXTE ET CONCEPTS THEORIQUES DU TRAFIC ROUTIER
I. 1- Contexte du transport routier dans la ville d’Antananarivo
I.1.1- Présentation de la ville d’Antananarivo
I.1.2- Contexte du transport routier dans la ville
I.1.3- Offre de transport à Antananarivo
I.1.4- Demande de transport à Antananarivo
I.2- Les concepts théoriques de la modélisation du trafic routier
I.2.1- Généralités sur la modélisation du trafic routier
I.2.2- Modèles macroscopiques
I.2.2.1- Modèles macroscopiques du 1er ordre
I.2.2.2- Modèles macroscopiques du 2nd ordre
CHAPITRE II- MODELISATION MACROSCOPIQUE DU TRAFIC ROUTIER
II.1- Formulation du modèle
II.2- Résolution analytique
II.2.1- Solution faible
II.2.2- Solution entropique
II.2.3- Vitesse de propagation du choc
II.3- Résolution numérique
II.3.1- Discrétisation du modèle géométrique
II.3.2- Discrétisation du modèle mathématique
II.3.3- Algorithme de calcul
II.3.4- Structure du programme de traitement numérique
CHAPITRE III : RESULTATS ET INTERPRETATIONS
III.1- Route homogène
III.1.1- Ondes de chocs
III.1.1.1- Propagation vers l’arrière de la congestion
III.1.1.2- Propagation vers l’avant de la congestion
III.1.2- Ondes de détente
III.2- Cas de la route avec intersection
III.3- Trajectoire de flot de véhicules
CHAPITRE IV : PROJET DE MODELISATION DU RESEAU ROUTIER A ANTANANARIVO
IV.1- Etat de l’art
IV.1.1- Mise en place des capteurs
IV.1.2- Modélisation du réseau
IV.2- Implémentation du modèle
IV.2.1- Le recueil des données
IV.2.2- L’analyse et l’interprétation des données
IV.2.3- La décision et le contrôle
CONCLUSION
REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES
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