Les approches classiques de modélisation de la fissure

Compression simple

Le comportement en compression est obtenu plus facilement du fait de la plus grande ductilité du matériau. Les microfissures sont parallèles à l’axe de chargement jusqu’à la rupture complète de l’éprouvette. (a) (b) Figure 1.3 : Comportement du béton en compression simple. Pour un essai de compression, l’allure générale de la courbe contrainte-déformation est donnée par la figure (1.3.) On observe principalement que la réponse est presque linéaire jusqu’à 30% de la limite en compression simple fc. En dépassant ce point, la raideur décroit sensiblement, et on observe que la courbe devient de plus en plus non linéaire jusqu’à 75% de la limite en compression simple avec une diminution de volume de l’éprouvette. Puis, à partir de 85% de la résistance, la rupture devient inévitable même si l’accroissement de la charge reste nul. Les déformations latérales augmentent plus vite que les déformations longitudinales, le volume apparent de l’éprouvette augmente. Cette caractéristique est appelée dilatance. Les fissures se propagent progressivement dans la pâte de ciment sous la forme de macro-fissures, jusqu’à la rupture du matériau. Sur des tranches de matériaux pré-sollicités, des observations au microscope optique ont montré que les microfissures sont perpendiculaires aux directions d’extensions, créant dans un premier stade une anisotropie du comportement du béton, et dans un stade ultime des surfaces de rupture de même sens (Medjahed.A, 2012).

Approches continues

Les approches continues permettent une modélisation du comportement non linéaire du béton, elle consiste à considérer ce matériau comme un milieu continu et à intégrer le comportement non linéaire du matériau dans la loi de comportement. Les dégradations sont prises en compte par l’intermédiaire de variables internes agissant sur les caractéristiques mécaniques ou sur les variables de base de la modélisation. La fissure est alors représentée par une zone de matériau totalement dégradée, qui reste continue au sens de la mécanique des milieux continus. Ainsi, les redistributions des contraintes, qui résultent de la concentration des déformations et de l’évolution de la dégradation, auront lieu dans une région appelée zone de microfissuration ou FPZ (Fracture Process Zone). L’évolution de la dégradation dans cette zone et l’évolution de son étendu déterminent la direction de propagation de la fissure. A titre d’exemple, nous pouvons citer, concernant ces approches, les modèles de fissuration diffus « smeared crack models » et les modèles d’endommagement (Masars.J, 1984) ou les modèles de plasticité. Si des modèles utilisant la théorie des milieux continus sont capables de représenter le comportement mécanique du béton pendant différentes phases caractéristiques (élastique, écrouissage non linéaire positif et écrouissage non linéaire négatif), ils ne donnent aucune information sur l’évolution de la fissuration, son ouverture en particulier (Kryani.A, 2007). Dans les modèles continus les discontinuités ne sont pas explicitement représentée, la contribution de la fissuration à la dégradation du béton est prise en compte en supposant une distribution uniforme des variables internes sur la surface(ou volume) d’un élément fini (Kryani.A, 2007).

Approche mésoscopique

Une partie de la complexité du comportement du béton réside a priori dans sa très forte hétérogénéité. Une représentation du matériau à l’échelle mésocopique, permettant de modéliser naturellement le contraste des propriétés entre matrice et granulats, associé à un modèle de comportement simple et robuste, doit permettre de rendre compte de toute la complexité du comportement du béton. La nature de l’hétérogénéité du béton dépend essentiellement de l’échelle d’observation. Si on se place à l’échelle du grain de sable, on peut le considérer comme un matériau bi-phasique, avec des granulats de formes complexes, de tailles différentes répartis aléatoirement dans la pâte (Medjahed.A, 2012). Les premières générations aléatoires de béton numérique envisagent les granulats comme parfaitement sphériques. On peut citer les modèles développés dans Bazant, Schlangen et Van Mier, ou Mounajed dans le code Symphonie du CSTB – Centre Scientifique et Technique du bâtiment. La figure I.12 montre quelques exemples de modélisation de bétons numériques bi-phasique pâte-granulat en 2D et 3D. Les modèles en 2D échouent forcément à représenter des inclusions sphériques puisque soit on représente une fine tranche d’échantillon et les granulats sont des disques de l’épaisseur de l’échantillon, soit on veut représenter un volume, et les granulats sont alors cylindriques ou mêmes toriques si on utilise des conditions de symétrie axiale pour générer l’échantillon (Nguyen, 2010).

D’autres modèles ont été développés pour des granulats sphériques ou ellipsoïdaux (Figure I.13). Mais malgré tout, ce sont des formes idéalisées de granulats, non réalistes. Wang a développé une procédure pour générer une structure aléatoire pour les granulats sphériques et angulaires (Figure I.14). Il existe différentes techniques pour générer ces particules. La difficulté est de réussir à placer toutes les particules. La procédure de distribution devient un problème crucial lorsqu’on cherche à atteindre des taux volumiques de granulats importants (pourtant réalistes !), la difficulté étant augmentée par la large distribution des tailles des granulats. On peut citer la méthode « take-and-place », cette méthode est couramment utilisée et consiste à placer les granulats un par un. Si un granulat en recouvre une autre, même partiellement, la méthode de placement aléatoire est utilisée pour trouver une autre place pour le granulat, et la méthode se poursuit jusqu’à ce que tous les granulats soient placés. La procédure pour générer le squelette granulaire est donc la suivante :

production de particules : détermination de la taille et de la forme de toutes les particules afin de correspondre à la distribution de la taille des granulats ;  répartition des particules dans l’espace 2D ou 3D.

Un algorithme stochastique-heuristique peut aussi être utilisé, comme avec le logiciel CEMHYD 3D développé par le NIST pour simuler l’hydratation du béton ou dans pour le comportement du béton. La grande différence avec la méthode de « take and place» est que la répartition des particules est effectuée successivement en commençant par les plus grands. Au départ, une position aléatoire de la particule est choisie. Si la particule est complètement à l’intérieur de l’échantillon et ne chevauche pas des particules précédemment placées, la position est fixée. Dans l’autre cas, éventuellement, la particule se déplace en translation ou en rotation afin de s’éloigner de la frontière de l’échantillon ou des particules qui se chevauchent. Si cette procédure ne résout pas le conflit, la procédure peut être répétée pour trouver un emplacement correct pour la particule.

Zubelewicz et BaZant ont aussi rajouté à ces algorithmes le concept de _Maximum Paste Thickness MPT_. Cette zone d’influence représente la distance moyenne entre deux granulats, en considérant que chacun est entouré par une couche de pâte, dont l’épaisseur est proportionnelle au diamètre des granulats – cf. les travaux de De Larrard sur les empilements granulaires pour les bétons. Il faut garder à l’esprit que quelque soit la procédure utilisée, la difficulté est d’atteindre la compacité granulaire du béton à représenter. D’après Jerier et al on ne peut atteindre une compacité granulaire de l’ordre de 60% que sur des granulométries étroites, ou sur une base géométrique semi-aléatoire. De toute façon, il faut choisir un rayon minimal des granulats à représenter en tant qu’inclusion : dans les modèles bi-phasique, les granulats sont en fait les inclusions de dimension supérieure à dmin, les particules plus fines font partie de la matrice. Avec la seconde famille d’algorithme, on connaît parfaitement la courbe granulaire effectivement représentée en tant qu’inclusions dans le modèle mésoscopique. Un autre algorithme remarquable est celui développé par Vervuurt, il consiste à générer toutes les particules avec un générateur aléatoire d’abord. Ensuite, la chute des particules dans l’échantillon est simulée et chaque particule trouve une position qui conduit normalement à un empilement compact. Malheureusement, avec cet efficace algorithme, la structure obtenue au niveau mésoscopique est tout à fait différente de celle observée dans des échantillons réels de béton (Nguyen, 2010).

Table des matières

I. Introduction générale
II. Etude bibliographique
II.1 Introduction
II.2 Comportement expérimental du béton
II.2.1 Comportement uni-axial du béton
II.2.2 Sollicitation bi-axiale
II.2.3 Sollicitation tri-axiale
II.2.4 Conclusions
II.3 Les lois de comportement
II.3.1 Modèle de Fichant
II.3.2 Modèle de Mazars
II.4 Les différentes approches de fissuration
II.4.1 Introduction
II.3.2. Les approches classiques de modélisation de la fissure
II.4.2 Echelles de modélisation
III. Effet d’échelle
III.1 Introduction
III.2 Modèles pour reproduire les effets d’échelles
III.3 La théorie déterministe de Bazant
III.4 Plasticité
III.4.1 Modèles de plasticité
III.4.2 Plasticité et effet d’échelle
III.5 Mécanique linéaire élastique de la rupture
III.5.1 Les modes de rupture
III.5.2 Formules de la mécanique linéaire élastique de la rupture
III.6 Conclusion
IV. Analyse expérimentale et numérique
IV.1 Introduction
IV.2 L’étude expérimentale
IV.2.1 Géométrie et chargement
IV.3 Simulation numérique
IV.3.1 Objectif de la simulation
IV.3.2 Approche macroscopique
IV.3.3 Approche mésoscopique
IV.3.4 Résultats
IV.3.5 Discussions des résultats :
IV.3.6 Comparaison –numérique-expérimentale-Bazant SEL
IV.4 Conclusion
V. Conclusion générale
VI. Bibliographie

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