Les aires dans les instructions officielles, de 1887 à aujourd’hui

J’ai décidé d’effectuer mon mémoire sur l’étude de la grandeur aire en classe de CM1, classe que j’ai à charge à mi-temps pour mon stage filé.

Je me suis rendue compte, lors de mes stages d’observation, lors de discussions avec mes collègues ou lors de sessions de classe, que la notion de grandeur et de mesure était très floue pour la plupart, et que ces deux termes étaient bien souvent confondus. Bien souvent, les formules de calculs sont appliquées mécaniquement pour mesurer une grandeur (ce qui est important, certes) ; mais la compréhension du sens de cette grandeur l’est tout autant.

Je vais donc orienter ce mémoire sur le thème des grandeurs et mesures à l’école élémentaire, plus principalement en cycle 3, en m’appuyant sur certains diagnostics réalisés sur mes élèves de CM1. J’ai décidé d’étudier spécifiquement la grandeur aire, car je la trouve particulièrement intéressante, puisque difficile à visualiser pour la plupart des élèves.

Suivant ma progression en grandeurs et mesures, j’ai déjà travaillé avec mes élèves les grandeurs longueur et masse. Ces grandeurs ont été introduites en lien avec leur mesure, ce qui a causé des difficultés pour la plupart des élèves, notamment dans la compréhension de l’utilité de ces grandeurs, la masse ayant été laborieuse à étudier.

Il existe des traces de systèmes de mesure d’aires dans les anciennes civilisations. En effet, mesurer des aires est une activité aussi vieille que le monde. Ainsi, les anciens Egyptiens ont été perpétuellement confrontés à la nécessité de telles mesures, notamment à cause des crues du Nil, qui effaçaient chaque année les limites des parcelles qu’ils cultivaient. De plus, les anciens Grecs faisaient un usage constant de la notion d’aire et les démonstrations originelles des théorèmes de Thalès et de Pythagore l’utilisent.

Depuis l’antiquité, les unités de mesure pour les longueurs étaient choisies en relation avec les dimensions du corps humain, comme la coudée (longueur entre le coude et les doigts tendus). L’unité d’aire courante était alors le verger, égal à un ninda-carré, soit l’aire d’un carré de 12 coudées de côté. L’arpent valait 100 vergers et l’ubu était un demi-arpent. Le bur valait lui 18 arpents. Ces unités ont été utilisées par les babyloniens, les grecs, les égyptiens, et même en Europe par certains bâtisseurs de cathédrale.

D’autres informations sur les unités de longueurs et d’aires ont été retrouvées dans le payrus rhind, qui date du moyen empire. A cette époque, l’unité principale de la mesure d’aire était l’aroure. Il s’agissait de l’aire d’un carré de 1 khet (ou verge) de côté.

Il fallut attendre plusieurs siècles pour homogénéiser l’ensemble des mesures. Jusqu’au XVIIIème siècle il n’existait aucun système de mesure unifié. Malgré les tentatives de Charlemagne et de nombreux rois après lui, visant à réduire le nombre de mesures existantes, la France comptait parmi les pays les plus inventifs et les plus chaotiques dans ce domaine. En 1795, il existait en France plus de sept cents unités de mesure différentes.

C’est en 1790 que l’Assemblée Nationale française décide d’établir un système de mesure unique et le 26 mars 1791 naissait le mètre. Pour cela, le projet est confié à des savants de renom (Borda, Condorcet, Lagrange, Laplace, Lavoisier et Monge) qui proposent de définir le Mètre comme le dix millionième du quart du méridien terrestre. Le mètre concrétisait l’idée d’une  » unité qui dans sa détermination, ne renfermait rien ni d’arbitraire ni de particulier à la situation d’aucun peuple sur le globe « . L’esprit des Lumières est donc très présent dans cette « naissance » du mètre. Ce sont les géodésiens Pierre Méchain et Jean-Baptiste Delambre qui établissent la longueur exacte du méridien, en s’appuyant sur la mesure de la distance entre Dunkerque et Barcelone .

Les aires ont toujours fait partie des programmes, et ce depuis 1887. A l’époque, une rubrique était mentionnée « calcul arithmétique du mètre, du franc, du litre. ». Dans les programmes de 1945 , les mesures sont abordées dès le cours préparatoire et « le calcul en cm² et en m² d’un rectangle » se fait en cours élémentaire.

Petit à petit, les programmes essaient de développer la compréhension des termes fondamentaux, et cela se ressent à partir de 1970 où la signification mathématique du mot mesure est introduite : « en mathématique, une mesure d’un objet est un nombre. ». Pour la mesure de l’aire, il est attendu des élèves qu’ils trouvent un encadrement pour exprimer l’aire d’une surface quelconque, grâce à l’utilisation d’un fond quadrillé. Dans les programmes de 1980, en dehors de la mesure d’aires à l’aide de formules et d’unités du système légal, le classement et le rangement par comparaison directe et indirecte d’objet selon leur aire entrent en jeu ; et les activités de mesurages doivent « faire dégager les notions de grandeur et de mesure d’une grandeur. » Dans les programmes de 1995, l’accent est mis sur la distinction entre périmètre et aire, et sur la mesure de l’aire d’un rectangle.

Les programmes de 2002, quant à eux, reprennent ceux de 1995 en insistant sur la résolution de problèmes pour aborder et comprendre les différentes grandeurs. Un item des documents d’accompagnement des programmes en mathématiques précisent d’ailleurs l’importance de la grandeur avant sa mesure. « Les premières activités visent à construire  chez les élèves le sens de la grandeur, indépendamment de la mesure et avant que celle-ci n’intervienne ».

Table des matières

Introduction
Partie Théorique
I. Quelques éléments historiques
II. Les aires dans les instructions officielles, de 1887 à aujourd’hui
III. Définitions concernant les grandeurs, mesures, aire
1. Grandeurs et mesures
2. La grandeur aire
3. Les niveaux de pensée de Van Hiele
IV. Apports didactiques des lectures entreprises
Partie Pratique
I. Présentation
II. Constats et diagnostics relatifs aux élèves : les difficultés rencontrées
III. Remédiation au problème rencontré : objectif de l’expérimentation
IV. Dispositif mis en place : méthodologie
V. Description de la séquence
1. Première séance
2. Deuxième séance
3. Troisième séance
4. Quatrième séance
5. Cinquième séance
6. Sixième séance
Partie Analyse
I. Résultats et analyse du dispositif
II. Bilan et limites
Conclusion générale

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