Les 5 définitions équivalentes de la fiabilité

Les 5 définitions équivalentes de la fiabilité

Cinq fonctions équivalentes définissent la loi de la durée : Supposons que la durée de survie X soit une variable positive ou nulle, et absolument continue. Alors sa loi de probabilité peut être définie par l’une des fonctions suivantes :
1- La fonction de survie S (La fonction de fiabilité)
Par définition :

S(t) = P(X ≥ t); t ≥ 0.

Pour t fixé, c’est la probabilité de survie jusqu’à l’instant t.

2- La fonction de répartition F
La fonction de répartition (f.r ou c.d.f en anglais pour « cumulative distribution function ») est :

F(t) = P(X < t) = 1 − S(t).

Pour t fixé, c’est la probabilité de mourir avant l’instant t. Il est arbitraire de décider que S(t) = P(X ≥ t) ou S(t) = P(X > t) entraînant du même coup que F(t) = 1 − S(t) vaut F(t) = P(X < t) ou F(t) = P(X ≤ t). Lorsque la loi qui régit X continue, cela n’a aucune importance car ces deux quantités sont égales : P(X ≥ t) = P(X > t) et P(X < t) = P(X ≤ t). Cependant, dans les cas où S et donc F ont des sauts, ce qui arrive lorsque le temps est discret, compté en mois ou en semaine par exemple, on a quelque fois avantage à adopter la notion suivante qui évite toute ambiguïté :

S−(t) = P(X ≥ t) S+(t) = P(X > t).
F−(t) = P(X < t) F+(t) = P(X ≤ t).

3- La densité de probabilité f
C’est une fonction f(t) ≥ 0, telle que pour tout t ≥ 0,

4- Le risque instantané (le taux de hasard) h
Appelé « le taux de hasard » .

5- Le taux de hasard cumulé H
C’est l’intégrale du taux de hasard h .

Quantiles de la durée de survie 

– La médiane de la durée de survie est le temps t pour lequel la probabilité de survie S(t) est égal à 0.5, c’est-à-dire, la valeur tm qui satisfait S(tm) = 0.5. Dans le cas où l’estimateur est une fonction en escalier, il se peut qu’il y’ait un intervalle de temps vérifiant S(tm) = 0.5. Il faut alors être prudent dans l’interprétation, si les deux évènements encadrant le temps médian sont éloignés. Il est possible d’obtenir un intervalle de confiance du temps médian. Soit [Bi , Bs] un intervalle de confiance de niveau α du temps médian tm est :

[S−1 (Bs), S−1 (Bi)]

-La fonction quantile de la durée de survie est définie par :

q(p) = inf(t : E(t) ≥ p), 0 < p < 1.

= inf(t : S(t) ≤ 1 − p)

Lorsque la fonction de répartition F est strictement croissante et continue alors :

q(p) = F−1 (p), 0 < p < 1.

= S−1 (1 − p).

Le quantile q(p) est le temps où une proposition p de la population a disparue.

Censure et troncature

Une des caractéristiques des données de survie est l’existence d’observations incomplètes. En effet, les données sont souvent recueillies partiellement, notamment, à cause des processus de censure et troncature. Les données censurées ou tronquées proviennent du fait qu’on n’a pas accès à toute l’information: au lieu d’observer des réalisations indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d) de durée X, on observe la réalisation de la variable X soumise à diverses perturbations indépendantes ou non du phénomène étudié.

Censure

La censure est le phénomène le plus couramment rencontré lors du recueil des données de survie :

Pour l’individu i, considérons :
– Son temps de survie Xi.
– Son temps de censure Ci.
– La durée réellement observée Ti.

Censure à droite
La durée de vie est dite censuré à droite si l’individu n’a pas subi l’évènement à sa dernière observation. En présence de censure à droite, les durées de vie ne sont pas toutes observées ; pour certaines d’entre elles, on sait seulement qu’elles sont supérieurs à une certaine valeur connue.

La censure de type I 

Soit C une valeur fixée, au lieu d’observer les variables X1, …, Xn, on observe Xi uniquement lorsque Xi ≤ C, sinon on sait uniquement que Xi > C. On utilise la notation suivante :

Ti = Xi ∧ C = min(Xi, C)

Ce mécanisme de censure est fréquemment rencontré dans les applications industrielles. Par exemple, on peut tester la durée de vie de n objets identiques (ampoules) sur un intervalle d’observations fixé [0, u]. En biologie, on peut tester l’efficacité d’une molécule sur un lot de souris (les souris au bout d’un temps u sont sacrifiées).

La censure de type II 

Elle est présenté quand on décide d’observer les durées de survie de n patients jusqu’à ce que k d’entre eux soient décédés et d’arrêter l’étude à ce moment la. Soient X(i) et T(i) les statistiques d’ordre des variables Xi et Ti . La date de censure est donc X(k) et on observe les variables suivantes :

T(1) = X(1)
T(k) = X(k)
T(k+1) = X(k)
.
.
.
T(n) = X(n)

La censure de type III (ou censure aléatoire de type I)

Soient C1, …, Cn des variables aléatoires i.i.d. On observe les variables

Ti = Xi ∧ Ci

L’information disponible peut être résumée par :
– La durée réellement observée Ti.
– Un individu δi = 1{Xi≤Ci}.
– δi = 1 si l’évènement est observé (d’où Ti = Xi). On observe les « vrais » durées ou les durées complètes.
– δi = 0 si l’individu est censuré (d’où Ti = Ci). On observe des durées incomplètes (censurées). La censure aléatoire est la plus courantes. Par exemple, lors d’un essai thérapeutique elle peut être engendrée par :

(a)- La perte de vue : le patient quitte l’étude en cours et on le revoit plus (à cause d’un déménagement, le patient décide de se faire soigner ailleurs). Ce sont des patient « perdue de vue ».

(b)- L’arrêt ou le changement du traitement : les effet secondaires ou l’inefficacité du traitement peuvent entraîner un changement ou un arrêt du traitement. Ces patients sont exclus de l’étude.

(c)- La fin de l’étude : l’étude se termine alors que certains patients sont toujours vivants (ils n’ont pas subi l’évènement). Ce sont des patients « exclus-vivants ». Les « perdus de vue » et les « exclus vivants » correspondent à des observations censurées mais les deux mécanismes sont de nature différentes (la censure peut être informative chez les « perdus de vue »).

Censure à gauche 

La censure à gauche correspond au cas où l’individu a déjà subi l’évènement avant que l’individu soit observé. On sait uniquement la date de l’évènement inférieure à une certaine date connue. Pour chaque individu, on peut associer un couple des variables aléatoire (T, δ) :

T = X ∨ C = max(X, C).

δ = 1X≥C

Censure par intervalle
Une date est censurée par intervalle, si au lieu d’observer avec certitude le temps de l’évènement, la seule information disponible est qu’il a eu lieu entre deux dates connues.

Table des matières

INTRODUCTION
1 Outils mathématiques
1.1 Les 5 définitions équivalentes de la fiabilité
1.2 Quantités associées à la distribution de survie
1.2.1 Moyenne et variance de la durée de survie
1.2.2 Quantiles de la durée de survie
1.3 Censure et troncature
1.3.1 Censure
1.3.2 Troncature
1.3.3 Données progressivement censurées
1.4 Méthodes d’estimation numériques
1.4.1 La méthode des moments
1.4.2 La méthode du maximum de vraisemblance
1.4.3 Estimateur sans biais et de variance minimale (ESBVM)
1.5 Méthodes pour résoudre les systèmes d’équation non linéaire
1.5.1 La méthode de Newton-Raphson
1.5.2 L’algorithme EM
1.6 Les distributions de probabilités utiles en fiabilité
1.6.1 La loi exponentielle
1.6.2 La loi Log-normale
1.6.3 La loi de Weibull
1.6.4 La loi gamma
2 L’approche Bayésienne
2.1 Estimation ponctuelle
2.1.1 Coût et décision
2.1.2 Risque fréquentiste
2.1.3 Risque de Bayes
2.2 Distribution a posteriori
2.3 Choix de la distribution a priori
2.3.1 La distribution a priori conjuguée
2.3.2 Distribution a priori impropre
2.3.3 Distribution a priori de Jeffrey
2.4 Fonctions de perte
2.4.1 Fonction de perte quadratique
2.4.2 Fonction de perte absolue
2.4.3 Fonction de perte 0 − 1
2.4.4 La fonction de perte Linex
2.4.5 Fonction de perte de DeGroot
2.4.6 Fonction de perte d’entropie
2.5 Méthodes de simulation
2.5.1 Notions préliminaires
2.5.2 Quelques critères de classification
2.5.3 Théorème ergodique et distribution stationnaire
2.6 Méhodes de Monte-Carlo
2.7 Méthodes MCMC
2.7.1 L’algorithme de Metropolis-Hastings
2.7.2 L’échantillonnage de Gibbs
3 Modèle de Weibull tronqué à droite
3.1 Introduction
3.2 Le modèle
3.3 Estimation par la méthode de maximum de vraisemblance
3.4 Estimation Bayesienne sous différentes fonctions de perte
3.4.1 Les distributions a posteriori et a priori
3.4.2 Fonctions de perte
3.4.3 Etudes de Monte-Carlo
3.4.4 Comparaison avec l’estimateur de maximum de vraisemblance
3.5 Conclusion
4 La distribution de Rayleigh
4.1 Inférences avec des données censurées de type II
4.1.1 Loi a priori vague
4.1.2 Loi a priori conjuguée naturelle
4.2 Simulation
4.3 Application
4.4 Inférences avec des données progressivement censurées
4.4.1 Estimation par la méthode de maximum de vraisemblance
4.4.2 Estimation Bayésienne
CONCLUSION

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