L’équation de Klein-Gordon et ses différentes utilisations 

Les tests dans le Système Solaire

Dans le système solaire, la comparaison des théories métriques de la gravitation peut se faire dans le cadre du formalisme post-newtonien paramétrisé (PPN) [238, 239]. Nous en ferons une introduction détaillée dans la section 2.3.2. C’est une approximation en champ faible et à petite vitesse, pour les systèmes de corps auto-gravitants. Elle contient dix paramètres . Nous résumons dans le tableau 1.1 leur interprétation physique et leur valeur pour la théorie de la relativité générale.

L’entraînement des référentiels inertiels locaux

La notion de référentiel inertiel local sera développée en détail dans le chapitre 2. Nous allons voir ici quelques conséquences de l’entraînement des référentiels inertiels locaux, et les mesures qui en ont été faites. Un gyroscope définit, par sa rotation, un axe fixe par rapport à un référentiel inertiel local. Les plans orbitaux des planètes sont comme d’immenses gyroscopes qui ressentent les effets relativistes. La rotation du Soleil « entraîne » l’espacetemps autour de lui, un peu comme une masse que l’on tournerai dans un pot de miel. Cela entraîne une précession des nœuds de l’orbite des planètes et un décalage de leur périhélie.
En 1916, de Sitter [88] calcula la petite correction dans l’avance du périhélie de Mercure due à la rotation du Soleil. En 1918, Lense et Thirring [154] formalisèrent la description, dans la limite des champs gravitationnels faibles et des petites vitesses, de l’orbite d’une particule test autour d’un corps en rotation. La rotation du corps influe aussi le déroulement du temps autour de lui (voir figure 1.8).
Les satellites LAGEOS L’effet Lense-Thirring sur l’orbite d’un satellite tournant autour de la Terre est extrêmement faible. Il faut, pour le mesurer, connaître sa position en fonction du temps avec une très grande précision. Les satellites LAGEOS et LAGEOS2, qui ont été lancés en 1976 et 1992, sont des petites boules munies de 426 réflecteurs de lumière.
Par télémétrie, il est possible de connaître leur position avec une précision de quelques millimètres [173]. L’entraînement des nœuds de l’orbite des satellites LAGEOS par l’effet
Lense-Thirring (Fig. 1.9) est d’environ 31 millisecondes d’arc par an [72, 74], soit un tour en plus de 40 millions d’années ! Or les principales perturbations de leurs plans orbitaux.

Les ondes gravitationnelles

En astronomie, les Ondes Gravitationnelles (OGs) formeront un vecteur d’information complémentaire des ondes électromagnétiques, si nous parvenons à les détecter directement. Les sources intenses d’OGs n’émettent pas ou peu dans le domaine électromagnétique et réciproquement. En effet, les OGs n’interagissent que très faiblement avec la matière : les milieux opaques aux rayonnements électromagnétiques peuvent être « transparents » aux OGs. C’est aussi pourquoi elles sont extrêmement difficiles à détecter directement. Nous n’avons que des preuves indirectes de leur existence : d’une part, il s’agit d’une prédiction de la Relativité Générale, et nous avons vu comment cette théorie a été téstée, toujours avec succès ; d’autre part, le chronométrage du pulsar binaire PSR 1913+16 a permis de mesurer sa perte d’énergie, en accord avec la prédiction de perte d’énergie par émission d’OGs (avec une précision relative de 3.4 · 10 −3 [232]).
Les sources potentielles d’OGs sont nombreuses. Pour une revue exhaustive on peut lire l’article de revue de Cutler et Thorne [83]. Les détecteurs interférométriques d’OGs, bien que n’ayant pas encore détecté d’OGs, commencent à donner des résultats scientifiques intéressants. Nous détaillerons quelques sources potentielles d’OGs au travers des résultats les plus récents. Commençons par examiner quelques propriétés et ordres de grandeur associés aux ondes gravitationnelles.

Une nouvelle fenêtre pour l’astronomie

LIGO, Laser Interferometer Gravitational wave Observatory, est la réunion de trois interféromètres de Michelson-Morley géants, se trouvant sur deux sites aux États-Unis. Sur le site de Hanford (LHO), près de Washington, un interféromètre de 4 km de long et un de 2 km se partagent la même enceinte à vide ; le troisième interféromètre, de 4 km de long, est sur le site de Linvingston (LLO) en Louisiane. Le LSC (Ligo Scientific Collaboration) est la collaboration scientifique internationale autour de ces trois interféromètres. Elle interagit avec les communautés réunies autour d’autres interféromètres comme GEO600 (Japon), ou bien autour des détecteurs à masse résonante.
La construction d’un interféromètre assez sensible pour détecter une OG représente bien sûr un grand défi technologique, et la construction de LIGO et Virgo a pris plus de dix ans ! Actuellement,LIGO a complété 4 périodes d’acquisition de données, et va achever sa cinquième période, la plus longue. Dans le tableau 1.3 nous indiquons les durées et les dates de ces périodes. Sur la figure 1.11 sont tracées les sensibilités des cinq plus grands interféromètres en activité.

Le principe d’équivalence d’Einstein

Un peu de géométrie

Nous connaissons l’expérience de pensée qui consiste à mettre un (infortuné) physicien dans un ascenseur en chute libre. Elle illustre l’équivalence entre un champ gravitationnel et une accélération, pourvu que l’ascenseur soit assez petit. Cette expérience de pensée découle directement du principe d’équivalence newtonien, qui postule l’égalité entre la masse grave et la masse inerte, et a conduit Einstein en 1907 à énoncer son propre principe d’équivalence [99], qui est à la base de la construction de la relativité générale (voir section 1.1.1).
Il convient maintenant de traduire ce principe en langage mathématique. Pour aller de la relativité restreinte à la relativité générale, il faut abandonner la géométrie plate (pseudoeuclidienne) et adopter une géométrie courbe (pseudo-riemanienne) ; mais comment formuler les lois de la physique dans cette nouvelle géométrie courbe ? Le principe d’équivalence va nous servir de guide, ou bien, pour reprendre une formule de Misner et al. [169, p. 207], de « véhicule » entre les deux théories. La notion de référentiel est essentielle dans l’énoncé du principe d’équivalence. C’est un concept important que nous préciserons tout au long de ce chapitre. Commençons par nous familiariser avec le vocabulaire des géométries courbes, sans entrer dans les détails ∗ (les notions introduites sont illustrées sur la figure 2.1). L’espace-temps de la relativité générale est représenté par une variété pseudo-riemanienne M de dimension quatre, qui est une variété différentiable munie d’une métrique g. Un système de coordonnées x est une application † qui à un point P de la variété – ou événement – fait correspondre quatre nombre réels (x α ) P , appelés coordonnées du point P . Généralement, un système de coordonnées ne peut pas être défini sur toute la variété, mais seulement sur un ouvert U ∈ M. En chaque point P de la variété est associé un espace vectoriel T P (M), nommé espace tangent, de dimension quatre.
Les éléments de l’espace tangent T P (M) sont les dérivations, qui font correspondre à une fonction scalaire définie sur la variété un nombre réel, qui est la valeur de la dérivation au point P . Un repère sur U est la donnée, en chaque point P ∈ U , d’une base de l’espace vectoriel T P (M). Le repère naturel associé au système de coordonnées x, au point P ∈ U , est formé des vecteurs représente dans le repère naturel associé au système de coordonnées x, on obtient les seize composantes d’une matrice carrée de dimension quatre :

Le référentiel de Fermi

Le référentiel propre

Nous avons trouvé le changement de coordonnées permettant de se rapprocher en un événement donné le plus possible d’un référentiel inertiel de la relativité restreinte. Cela nous a permis d’exploiter le principe d’équivalence d’Einstein. En poussant ce raisonnement plus loin, Fermi [105–107] a montré que nous pouvons définir un référentiel beaucoup plus adapté aux observateurs, et donc aux expériences. L’origine spatiale de ce référentiel est placé sur l’observateur, de sorte que dans l’espace-temps elle décrit une courbe qui est la trajectoire de l’observateur. Les travaux de Riemann nous ont appris qu’en un point donné de la courbe, nous pouvons définir un système de coordonnées tel qu’au voisinage de ce point la métrique soit constante. Fermi a montré que l’on pouvait définir un système de coordonnées tout le long de la trajectoire de l’observateur, tel qu’au voisinage de cette trajectoire, la métrique se réduise à celle de la relativité restreinte (au premier ordre). De plus, ce référentiel est réalisable par l’observateur, s’il dispose d’une horloge pour mesurer son temps propre, et d’un accéléromètre et de gyroscopes pour contrôler sa trajectoire. Fermi a défini ce référentiel pour un observateur en mouvement accéléré, et Manasse et Misner [160] ont étendu cette idée à un observateur en mouvement accéléré et en rotation. Tout en étendant cette idée, ils l’ont spécialisée à un système de coordonnées précis, qui ne rend pas compte de tous les systèmes de coordonnées réalisables par un observateur ; de la même façon que les coordonnées normales de Riemann ne sont pas les seules qui réalisent un système de coordonnées inertiel.
Dans ce chapitre, nous allons étendre l’idée de Fermi, sans se restreindre au système de coordonnées choisi par Manasse et Misner [160]. Pour bien comprendre l’idée initiale de Fermi, nous donnons une traduction ∗ de son premier article [105] sur les coordonnées qui ont gardé son nom en annexe C. Dans un premier temps nous allons définir un référentiel propre qui est une généralisation du référentiel propre de Misner et al. [169, p. 327]. Il est entièrement déterminé par les deux idées directrices suivantes :
1. Sur la trajectoire de l’observateur, la coordonnée temporelle du référentiel propre est égale au temps propre mesuré par l’observateur.
2. Sur la trajectoire de l’observateur, les dérivées spatiales de la partie spatiale de la métrique sont nulles.
La première idée est celle de Fermi dans ses trois articles fondateurs [105–107]. La deuxième idée est une limitation de la condition (2.5) du référentiel inertiel local. En effet, dans un référentiel local non inertiel, certaines dérivées de la métrique ne peuvent pas être nulles (voir l’observateur accéléré de la relativité restreinte [169, Chap. 6]).

Description de l’expérience

Chaque UAS est constituée de deux interféromètres atomiques de type RamseyBordé (voir l’annexe A et la figure 4.2b). Ils sont contra-propageants (Fig. 4.2a), ce qui permet de distinguer la rotation de l’accélération dans le signal de l’UAS [130]. En effet, le vecteur vitesse intervient dans le déphasage dû à la rotation, mais pas dans celui dû à l’accélération. Ainsi, l’inversion du sens de propagation des atomes change le signe du déphasage de rotation et laisse inchangé le déphasage d’accélération. La demi-somme et la demi-différence des signaux des deux interféromètres contra-propageants donnent alors respectivement le déphasage d’accélération et le déphasage de rotation.
Dans un montage idéal, les deux interféromètres sont des parallélogrammes identiques et coplanaires, dont les centres OS et O 0 S sont parfaitement superposés. Cependant, la géométrie de l’UAS dépend de l’interaction entre le jet atomique et les lasers. Ainsi, le traitement de l’interaction atome-laser dans un champ gravitationnel semble nécessaire pour déterminer lesignal de l’UAS. Cette approche a été considérée par Antoine et Bordé [24, 25, 51].
L’étude d’une configuration idéale permet pourtant d’avoir une approche plus simple des phénomènes gravitationnels à prendre en compte. Nous considérerons dans la suite comme seule « perturbation géométrique » le fait que OS et O 0 S puissent ne pas être superposés.
Pour décrire l’expérience à bord du satellite, nous utilisons, dans un premier temps, le référentiel local défini dans la section 2.3.2. B est le centre de gravité du satellite et (e α ) est la tétrade définie par les formules (2.58). Nous allons étudier trois cas plus particulièrement :
– une orbite terrestre : c’est l’orbite la plus proche de nous, donc la plus facilement atteignable par un satellite.
– une orbite solaire : le Soleil est l’objet le plus massif du système solaire, on peut donc s’attendre à ce que l’effet Lense-Thirring soit grand.
– une orbite jovienne : Jupiter est le deuxième objet le plus massif du système solaire et il tourne vite (une rotation en neuf heures), on peut donc aussi s’attendre à ce que l’effet Lense-Thirring soit grand.
Les potentiels W de la Terre, de Jupiter et du Soleil sont définis par leurs masses M , leurs rayons R, leurs moments dipolaires Jet leurs moments d’ordres supérieurs, représentés par ∆ (Eq. (2.55)). Des notations différentes pour chaque astre ne sont pas nécessaires, car le traitement formel est identique. Nous ne considérerons dans la suite que le terme d’ordre 0 dans le développement de ~ W (Eq. (2.56)) ; il est donc caractérisé par le moment angulaire ~ J . Les caractéristiques ∗ des trois corps sont résumées dans le tableau 4.1.

Le référentiel tournant

Un téléscope dans le satellite pointe vers une étoile lointaine, dont la parallaxe est supposée négligeable. Le rayon lumineux provenant de l’étoile est dévié par la déformation de l’espacetemps due au corps central. Cela se traduit pour l’observateur par une perturbation de la direction de l’étoile. Pour calculer cette perturbation nous utilisons la méthode décrite dans la section 3.2.2. Nous paramétrisons la trajectoire du rayon lumineux par λ. L’étoile est au point A alors que le satellite est situé au point B, et L est un point de paramètre λ (Fig. 4.3).

Mise en bouche

Un sujet récemment controversé

Le comportement ondulatoire d’une particule massive, prédit par de Broglie [86] en 1925, a été démontré pour la première fois en 1927 par Davisson et Germer [85] dans une expérience de diffraction des électrons. Trente-cinq ans plus tard le premier interféromètre à neutrons est construit par Maier-Leibnitz et Springer [159]. En 1991, les signaux de quatre interféromètres atomiques sont obtenus à quelques mois d’intervalle par Carnal et Mlynek [64], Keith et al. [141], Kasevich et Chu [139] et Riehle et al. [187]. Depuis, les interféromètres atomiques ont été à l’origine de nombreuses expériences, notamment en raison de l’amélioration fulgurante de leur sensibilité, de leur stabilité et de leur compacité (voir la revue de Miffre et al. [168]).
La possibilité de détecter des Ondes Gravitationnelles (OGs) avec un Interféromètre à Onde de Matière (IOM) a été suggérée pour la première fois par Linet et Tourrenc [157]. Leurs calculs se fondent sur une généralisation de l’équation eikonale de l’optique géométrique.
Cette méthode a été reprise et développée dans la section 3.2. Quelques années plus tard, Stodolsky [204] explore cette possibilité avec la même démarche. La décohérence induite par une OG sur un IOM a été étudiée avec cette méthode [147–149]. D’autres approches ont été considérées : généralisation de l’équation de Klein-Gordon [62], généralisation de l’équation de Dirac en espace courbe [49, 52, 53], généralisation du formalisme des matrices ABCD aux ondes de matière [50, 51].
Ces méthodes visent la description d’un cadre théorique général pour la description des effets inertiels, quantiques et gravitationnels sur les IOMs. Je préfère parler d’« interfaces » entre les théories métriques et la théorie quantique. En effet, elles ne traitent pas de l’interprétation physique du référentiel choisi pour la description d’une expérience, comme nous l’avons fait dans le chapitre 2. Bien souvent les auteurs se contentent de l’interprétation en terme de jauge, en occultant leur signification expérimentale (voir la section 2.3.1). L’utilisation de ces méthodes ne devrait être pleinement satisfaisante qu’après une clarification de la signification expérimentale du référentiel en relativité générale. L’ensemble constitue alors un cadre pour la gravitation expérimentale, fournissant les outils d’interprétation nécessaires aux expériences sur la gravitation.
La controverse au sujet du calcul de la sensibilité d’un IOM aux OGs illustre bien ce propos. Je vais présenter cette controverse dans les détails, pour montrer comment internet et l’apparition de sites de publications libres comme arχiv changent les pratiques scientifiques.
D’une certaine façon, arχiv a remplacé les correspondances d’auparavant (voir section 3.1.1), et rend les débats d’idées beaucoup plus visibles à la communauté scientifique.
Controverse En décembre 2003, Chiao et Speliotopoulos déposent deux articles [68, 69] sur arχiv, dans lesquels ils proposent l’expérience MIGO, « Matter-wave Interferometric Gravitational-wave Observatory ». L’un est publié en avril 2004 dans le Journal of Modern Optics [69], l’autre en octobre 2004 dans un proceeding [68]. Ils concluent dans ces articles que la sensibilité d’un IOM dépend du système de coordonnées choisi, et que l’IOM est plus sensible aux OGs de très haute fréquence et avec des atomes lents. Avant cette proposition, Bordé applique la théorie généralisée des matrices ABCD à un IOM de type Mach-Zehnder. Son article est reçu en septembre 2003 par General Relativity and Gravitation et publié en mars 2004. Il interprète le système de coordonnées en terme de jauge , et montre que la différence de phase d’un IOM est invariante de jauge.
Le point soulevé par Chiao et Speliotopoulos suscite pourtant une polémique parmi la communauté scientifique ; d’autant plus que les auteurs insistent dans un article déposé en juin 2004 sur arχiv [200], qui ne sera d’ailleurs jamais publié. De plus, Foffa et al. reprennent l’idée de MIGO et confirment la présence d’un terme proportionnel à la fréquence de l’OG dans la différence de phase d’un IOM, dans un article déposé en juillet 2004 sur arχiv [111] (et reçu le même mois par Physical Review D ). La réponse ne se fait pas attendre : Roura et al. déposent un article en août 2004 sur arχiv [190]. Ils montrent explicitement que, si l’on définit soigneusement l’expérience étudiée, le calcul de la différence de phase ne dépend pas des coordonnées choisies. De plus, ils ne trouvent pas de terme proportionnel à la fréquence de l’OG. La réponse de Foffa et al. est presque immédiate : ils la déposent en septembre 2004 sur arχiv [112], dans un nouvel article. Ils confirment que la différence de phase ne dépend pas des coordonnées choisies, mais maintiennent le fait qu’un terme proportionnel à la fréquence des OGs apparaît. Il faut noter que les trois références de cet article ne sont que des articles déposés sur arχiv. En décembre 2004, Roura et al. révisent leur article déposé en août : ils ajoutent une annexe pour répondre à l’article déposé en septembre par Foffa et al..
Ils leurs reprochent de ne pas avoir pris en compte la différence de phase initiale. Roura et al. décident de publier leur article dans Physical Review D, qui reçoit leur manuscrit en juin 2005 . Foffa et al. corrigent alors leur article initial, déposé en juillet 2004, pour prendre en compte la critique de Roura et al.. Le manuscrit qu’ils ont envoyé à Physical Review D en juillet 2004 est révisé en novembre 2005, et révisé sur arχiv le 9 janvier 2006. Enfin il est publié dans Physical Review D le 19 janvier 2006 [111]. Les auteurs trouvent toujours le terme proportionnel à la fréquence des OGs.

IOMs versus IOLs

Dans Virgo ou LISA (Sect. 1.2.2), les sources sont des lasers infrarouges Nd :YAG dont la longeur d’onde est λ ‘ 10 −6 m. Diminuer la longueur d’onde du laser pour augmenter la différence de phase (voir la relation (5.11)) implique des difficultés techniques difficilement surmontables sur la stabilité des lasers et la qualité des optiques. En revanche, pour un IOM, baisser la longueur de de Broglie revient à accélerer les particules. Par exemple, dans l’interféromètre atomique décrit par Keith et al. [141], la longueur d’onde est λ ‘ 16 pm.
Ainsi, la différence de phase pour un IOM peut être beaucoup plus grande que dans un IOL, et la sensibilité pourrait être meilleure. Malheureusement, cette conclusion n’est pas valable si l’on considère que le signal de l’interféromètre est limité par le bruit de grenaille.

Le bruit thermique

Nous avons étudié jusqu’ici la limite de sensibilité des IOMs due au bruit de grenaille.
Cependant, nous n’avons pas considéré le bruit thermique, qui peut être très limitant voire prépondérant. C’est pourquoi nous privilégions l’idée de construire un IOM compact, de l’ordre du mètre, pour pouvoir le refroidir à des températures très basses. Nous estimons approximativement la limite de sensibilité de l’IOM due au bruit thermique en suivant une formule de l’article [184]. Nous supposons que les éléments de l’interféromètre sont fixés sur un banc de masse M ∼ 500 kg dont la première fréquence de résonance est ω0 ∼ 10 4 s −1.

Table des matières
Introduction 
Formulaire et notations 
1 Développements et résultats de la gravitation expérimentale 
1.1 Les fondements théoriques
1.1.1 Les tests du principe d’équivalence
1.1.2 La recherche d’une violation de la loi newtonienne
1.1.3 Les tests dans le Système Solaire
1.1.4 L’entraînement des référentiels inertiels locaux
1.2 Les ondes gravitationnelles
1.2.1 Propriétés et ordres de grandeur
1.2.2 Une nouvelle fenêtre pour l’astronomie
I Outils théoriques pour l’expérimentation 
2 Les référentiels locaux 
2.1 Le principe d’équivalence d’Einstein
2.1.1 Un peu de géométrie
2.1.2 Le référentiel inertiel local
2.2 Le référentiel de Fermi
2.2.1 Le référentiel propre
2.2.2 Une extension du référentiel propre
2.2.3 Les coordonnées normales de Fermi .
2.3 L’approximation linéaire
2.3.1 Changements de coordonnées
2.3.2 La métrique post-newtonienne paramétrée (PPN)
2.3.3 Les ondes gravitationnelles
3 L’équation de Klein-Gordon et ses différentes utilisations 
3.1 Une équation d’onde relativiste
3.1.1 Les origines de l’équation
3.1.2 Généralisation de l’équation de Klein-Gordon
3.2 La phase perturbée
3.2.1 L’équation eikonale
3.2.2 La perturbation de la phase en champ faible
3.2.3 Interprétation des différents termes
3.3 La limite non relativiste
3.3.1 L’équation de Schrödinger en champ faible
3.3.2 Quelques applications
II Analyse de quelques expériences 
4 Le projet Hyper 
4.1 Description de l’expérience
4.2 Le référentiel tournant
4.3 La différence de phase
5 Détection des ondes gravitationnelles par interférométrie 
5.1 Mise en bouche
5.1.1 Un sujet récemment controversé
5.1.2 Des atomes rapides
5.2 Les interféromètres libres
5.2.1 Interféromètre de Michelson-Morley
5.2.2 IOMs versus IOLs
5.3 Les interféromètres rigides
5.3.1 Discussion sur les coordonnées « rigides »
5.3.2 L’interféromètre de Michelson-Morley
5.3.3 L’interféromètre de Ramsey-Bordé
5.4 Le bruit thermique
6 Les cavités à ondes de matière 
6.1 La méthode des perturbations
6.2 La probabilité de transition
6.2.1 Les expériences libres
6.2.2 Les expériences « rigides »
6.3 La cavité cubique
6.3.1 La solution non perturbée
6.3.2 La cavité cubique libre
6.3.3 La cavité cubique « rigide »
6.4 Le potentiel harmonique
6.4.1 La solution non perturbée
6.4.2 La probabilité d’absorption
6.5 Quelques ordres de grandeurs
Conclusion 
A L’interféromètre de Ramsey-Bordé
B La condensation de Bose-Einstein
C Traduction de l’article de E. Fermi [105]
D Articles

Lire le rapport complet