L’enseignement du calcul littéral en 4ème par les programmes de calcul

Les problèmes d’algèbre et d’arithmétique sont apparus très tôt dans l’histoire des Mathématiques. Au IXe siècle, Al Khwarizmi s’intéresse à la résolution d’équations et classe les équations selon leur méthode de résolution. En 1591, Viete introduit la lettre et le calcul littéral dans « Introduction à l’Art analytique ou Algèbre nouvelle ». L’introduction de la lettre et le calcul littéral sont toujours destinés à résoudre des problèmes et sont présentés comme un nouvel outil. Aujourd’hui, l’algèbre est perçu différemment selon le niveau d’enseignement :
• Au niveau universitaire, on parle d’algèbre des structures avec notamment les structures de groupes, d’anneaux… De plus, une structure (E, A, +, ∙, ×) qui vérifie les propriétés suivantes est même appelée Algèbre sur A : (E, +, ∙) est un espace vectoriel sur A; la loi de composition interne ×, de E × E dans E, est bilinéaire.
• Au niveau secondaire, l’algèbre est le calcul littéral et l’analyse avec les lettres.

La résolution de problème est toujours le point central de tous les programmes scolaires de Mathématiques. Le préambule du programme de Cycle 4 explicite clairement : « Une place importante doit être accordée à la résolution de problèmes, qu’ils soient internes aux mathématiques, ou liés à des situations de la vie quotidienne ou d’autres disciplines. Le programme fournit des outils permettant de modéliser des situations variées sous forme de problèmes mathématisés. » Le développement des six compétences mathématiques ( Chercher, Modéliser, Représenter Raisonner, Calculer, Communiquer ) est aussi un autre point central du programme et ce développement doit être travaillé par le biais de la résolution de problèmes. L’enseignement du calcul littéral, c’est à dire la transmission des savoirs algébriques ( propriétés algébriques, la modélisation ) doit donc être un outil pour résoudre des problèmes. Le programme de cycle 4 se décline en plusieurs attendus:

• Mettre un problème en équation / inéquation en vue de sa résolution
• Résoudre une équation / inéquation du premier degré
• Démontrer une formule, un résultat général
• Utiliser les règles du calcul littéral : distributivité, factorisation (propriétés structurales des différents ensembles de nombres du collège)
• Réfuter ou valider une conjecture
• Expliciter le concept de fonction et de variable

Le calcul littéral a une place importante dans la résolution de problèmes car il permet de résoudre des problèmes à une ou plusieurs inconnues. En classe de 4ème, les problèmes sont principalement des problèmes à une inconnue ou des problèmes connectés à deux inconnues. Ses problèmes peuvent-être plus ou moins modélisés : (Modéliser : à partir d’une situation réelle, trouver un modèle, une théorie, un concept plus ou moins proche pour pouvoir traiter le problème ; faire des allers-retours entre le modèle et le réel)
• Problème réel : la modélisation est laissée à l’initiative de l’élève (les problèmes sont souvent des tâches riches dans ces cas là)
• Problème semi-idéalisé : il reste à transformer une partie des informations, le modèle mathématique à utiliser est souvent déjà donné.
• Problèmes idéalisés : Problèmes sont déjà donnés dans le modèle.

Les élèves de collège et de lycée ont du mal à introduire une lettre si celle-ci n’est pas donnée dans le cadre de la résolution de problèmes. En effet, les livres de cycle 4 privilégient encore les exercices de techniques opératoires (réduire, factoriser, développer une expression littérale) : ces exercices représentent la moitié des exercices proposés pour le calcul littéral dans le manuel Sésamath de cycle 4, un tiers pour le manuel Hatier collection Dimension. De plus, dans certaines résolutions de problèmes, la modélisation du problème est donnée par l’énoncé (ex : En prenant « x » comme nombre de départ) .

Les obstacles des élèves

Le statut du signe « = »

Le signe « = » est un signe que rencontrent très tôt dans leur apprentissage. Mais il évolue dans son statut au cours des cycles. Au cycle 2, les élèves rencontrent ce signe dans le résultat d’un calcul ( signe similaire à celui de la calculatrice ) et dans l’équivalence de deux écritures par exemple : 8×3=3×8 qui met en valeur la propriété de commutativité de la multiplication. On parle ici d’identité. Mais les élèves perçoivent toujours le signe « = » comme celui de la calculatrice ( résultat d’un opération ) . On peut le voir à travers cet exemple ( problème du cycle 2 ) : « À la boulangerie j’achète 3 croissants à 1,10 €, 2 baguettes à 80 centimes et une brioche à 4,40 €. Quel est le montant de mes achats ? » Certains élèves auront tendances à écrire : 3×1,10=3,30+2×0,80=3,30+1,60=4,90+4,40=9,30

Ceci met en évidence la décomposition du problème en 4 étapes ( prix des 3 croissants, prix de 2 baguettes, prix des croissants et des baguettes, prix des total ). Le signe « = » est donc mal utilisé car l’égalité des 2 membres n’est pas vérifiée. On remarque le même au problème au cycle 3 et au cycle 4 notamment dans les applications des programmes de calculs :

Programme 1 :
• Choisis un nombre
• Ajoute 1
• Ajoute le nombre de départ
• Ajoute 2
Lors d’applications de ce programme de calcul au nombre 3 par exemple, on peut retrouver le même type d’erreur chez certains élèves de 4ème : 3+1=4+3=7+2=9 . Des élèves de bon niveau remarquent le manque de rigueur et le problème du signe « = ». On peut donc demander aux utiliser un autre signe, notamment une flèche → qui montre bien l’enchaînement des étapes ou de séparer ces calculs : 3+1→4+3→7+2→9 ou 3+1=4; 4+3=7 ; 7+2=9 . De plus au cycle 4, on retrouve le signe « = » dans d’autres situations :
• Affectations dans une expression littérale : par exemple, on peut comme question que vaut l’expression littérale 4+3 x ² lorsque x=4 ?
• Équations où l’égalité n’est vérifiée que pour certaines valeurs ou même aucune dans certains cas. L’équation peut être alors vraie ou fausse selon la valeur de l’inconnue.

Le statut de la lettre

Les élèves rencontrent des lettres dès le début du cycle 3 notamment dans les symboles unités ( kg, l, m….). Au cycle 4, l’utilisation de la lettre devient beaucoup plus fréquente et change de statut selon la situation :
• la lettre en tant que variable : La lettre peut symboliser une variable, notamment dans les formules de périmètres, aires et volumes ou les fonctions qui relèvent plutôt de la troisième.
• La lettre en tant qu’indéterminée : La lettre peut représenter n’importe quel nombre. On les distingue notamment dans les identités, notamment les identités remarquables ou les règles de distributivité qui sont les identités les plus connues. Pour tous nombres a,b, c et d on a :
(a+b)²=a ²+2 ab+b ² ; c×(a+b)=ca+cb ; (a+b)(a−b)=a ²−b ²
(a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bd ; (a−b)²=a ²−2ab+b ²
• La lettre en tant qu’inconnue : La lettre peut représenter une inconnue dans une équation. On cherche alors à savoir l’égalité est vraie pour des valeurs qu’on affecte à cette inconnue. On peut trouver la solution d’inconnue par des techniques arithmétiques ( « remonter les calculs » avec les opérations réciproques ) ou des techniques de tâtonnement / essais-erreur. Cela permet de rencontrer des problèmes d’ équations du premier de gré dès le début de cycle 4, puis la méthode experte en fin de cycle avec la résolution des équations par l’algèbre.
• La lettre en tant que paramètre : La lettre peut représenter un paramètre, c’est àdire, qu’elle reste fixe mais peut prendre plusieurs valeurs pendant l’étude d’un problème, d’une propriété etc. C’est le cas du paramètre a dans les fonctions linéaires x→ax où a est un nombre réel non nul.

Le sens des opérations et la modélisation

Les élèves rencontres des difficultés à modéliser la résolution ou la donnée du problème par l’opération correspondante. L’élève doit comprendre et pratiquer régulièrement le sens des opérations pour effectuer la bonne modélisation. Les programmes de calculs ont l’avantage de supprimer cette modélisation, et de se concentrer plutôt sur la mathématisation ou le changement de cadre ( compétence : représenter ), et les techniques opératoires.

Table des matières

Table des matières
Introduction
I. Introduire le calcul littéral
1. Introduire la lettre : démontrer un résultat général
2. Introduire la distributivité simple
3. Introduire les équations
II. Les obstacles des élèves
1. Le statut du signe « = »
2. Le statut de la lettre
3. Le sens des opérations et la modélisation
III. Remédiations : Les activités mentales
Conclusion
Bibliographie
Résumé et mots clefs

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