Le Théorème Spectral

Les algèbres L1(E)

Soit E une résolution de l’identité sur R,comme ci-dessus. Soit f une une fonction complexe R?mesurable sur . Il existe une famille dénombrable Di de disque ouverts qui forme une base de la topologie de C. Soit V la réunion de tous les Di pour lesquels E(f?1(Di) = 0.
D’aprés la proposition 2.3.2, E(f?1(V )) = 0. Ainsi V est le plus grand sous-ensemble ouvert de C ayant cette propriété.
L’image essentielle de f est, par définition, le complémentaire de V . C’est le plus petit ferme de C qui contient f(p) pour presque tout p 2 , excepte pour ceux appartenant a un certain ! 2 R avec E(!) = 0

Nous disons que f est essentiellement bornée si non image essentielle est bornée, donc compacte. Dans ce cas, la borne supérieure des jj, lorsque parcourt l’image essentielle de f, est appelée la borne supérieure essentielle kfk de f. Soit B l’algèbre de toutes les fonctions complexes R-mesurables bornées sur , munie de la norme

Le Théorème Spectral

L’assertion principale du théorème spectral est que tout opérateur borne T sur un espace de Hilbert induit (d’une manière canonique ) une résolution de l’identité E sur les sous- ensembles boréliens de son spectre (T) et que T peut être reconstruit la partir de E par une intégrale du type étudie dans le théorème 2.4.1 Une grande partie de la Théorie des opérateurs normaux dépend de ce résultat.

Il serait peut-être préférable d’indiquer explicitement que le spectre (T) d’un opérateur T 2 B(H) se référera toujours a toute l’algèbre B(H). En d’autres termes, 2 (T) si et seulement si T ? I n’admet pas d’inverse dans B(H).
Nous considérerons quelquefois des sous-algèbres fermées A de B(H) ayant la propriété supplémentaire que I 2 A. (De telles algèbres sont quelquefois appelées des algèbres.)
Soit A une telle algèbre. Soit T 2 A et T?1 2 B(H). Puisque TT est auto-adjoint,(TT) est un sous-ensemble compact de la droite réelle donc ne sépare pas les points de C et par suite A(TT) = (TT) puisque TT est inversible dans B(H), cette égalité montre que (TT)?1 2 A et par suite T?1 = T(TT)?1 est aussi dans A ainsi, T possède le même spectre relativement a toutes les algèbres fermées dans B(H) contenant T le théorème 2.5.2 sera un cas particulier du résultat suivant qui s’occupe d’algèbres normales d’opérateurs au lieu de cas individuels.
Puisque B(H) est une Algèbre notre algèbre A donnée est une algèbre com- mutative le théorème de Gelfand-Naimark arme que T ?! b T est une ?isomorphisme isométrique de A sur C().

Ceci conduit a une démonstration facile de l’unicité de E . Supposons que E satisfait (4). Puisque b T parcourt l’ensemble C(), la régularité supposée des mesures de Borel complexes Ex;y est détermine d’une manière unique par (4) : Ceci découle de l’assertion d’unicité faisant partie du théorème de représentation de Riesz puisque par dentition (E(!)x; y) = Ex;y(!)

Chaque projection E(!) est aussi détermine d’une manière unique par (4).

Cette démonstration d’unicité motive la démonstration suivante de l’existence de E. Si x 2 H et y 2 H le théorème de Gelfand-Naimark montre que b T ?! (Tx; y) est une forme linéaire bornée sur C(), de norme kxkkyk, puisque k b Tk1 = kTk le théorème représentation de Riesz nous fournit alors une mesure d e Borel complexe régulière unique x;y sur telle que.

Domaine, graphe et fermeture

Définition 

Un opérateur dans H est une application linéaire T définie sur un sous espace vectoriel D(T) H a valeurs dans H. D(T) est appele le domaine de l’opérateur T. On note un opérateur par (T;D(T)) mais s’il n’y a pas d’ambigute concernant son domaine on pourra noter simplement par T.

Opérateurs auto-adjoints

Définition

Un opérateur T a domaine dense est dit symétrique si T T c’est a dire : D(T) D(T) et Tx = Tx 8x 2 D(T).

Un théorème de commutativité

Soit x et y sont deux éléments qui commutent dans une algèbre de Banach munie d’une involution. Il est alors évident que x et y commutent ? bien sur, la réponse peut aussi être négative même si x et y n’est pas normal et y = x. Mais la réponse peut aussi être négative même si x et y sont normaux. Il est donc intéressant que la réponse soit estimative (si x est normal) dans B(H), relativement a l’involution denie par l’adjoint dans un espace de Hilbert :
Si N 2 B(H) est normal, si T 2 B(H) et si NT = TN, alors NT = TN. En fait,nous avons un résultat plus général :

Exemple de Nelson

Le théorème spectral montre si A et B commutent, alors toute fonction borélienne borne de A et B commutent aussi. En particulier les résolvantes R(A) et R(B) commutent et les groupes unitaire eitA et eisB commutent.

Dans le cas non-borne même si une expression du type AB = BA peut être appelée  commutativité entre A et B, elle ne donne pas toutes les propriétés émanant de la commutativité des opérateurs bornes (par exemple, les mesures spectrales associées ne commutent pas !).
L’exemple par excellence dans ce cas est celui de Nelson dans son fameux article. En eet, Nelson a donnée un exemple de deux opérateurs non-bornés A et B tels que :

Commutativité des exponentielles d’opérateurs

On sait tous que si AB = BA, alors eAeB = eBeA. La question naturelle est quand est-ce que eAeB = eBeA =) AB = BA Un premier résultat facile à démontrer (en utilisant le théorème spectral) est le suivant :
Théorème 4.3.1. Soient A;B deux opérateurs auto-adjoints définis sur un espace de Hilbert.

Table des matières

1 Introduction 
2 Operateurs bornes sur un espace de Hilbert 
2.1 Operateurs Bornes
2.2 Adjoints
2.3 Résolution de l’identité
2.4 Les algebres L1(E)
2.5 Le Theoreme Spectral
3 Operateurs non bornes 
3.1 Domaine, graphe et fermeture
3.2 Adjoints
3.3 Opérateurs auto-adjoints
3.4 Spectre des opérateurs non bornes
3.5 Résolution de l’identité
3.6 Théorème Spectral
3.7 Un theoreme de commutativite
4 Criteres de commutativite 
4.1 Exemple de Nelson
4.2 Commutativité des opérateurs non bornes
4.3 Commutativité des exponentielles d’operateurs
5 Exponentielles d’operateurs normaux bornes 
Bibliographie

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