Le théorème de Fuglede-Putnam dans le cas borné

Le théorème de Fuglede-Putnam dans le cas borné

Maintenant on va parler du théorème de Fuglede. qui joue un role très important dans la théorie des opérateurs bornés, et non bornés avec toutes ses applications . Beaucoup d’auteurs travaillent sur ce théorème. Après la preuve de Fuglede et Putnam, Rosenblum a donné une preuve simple en utilisant le théorème de Liouville.Berberian a donné une autre preuve avec une matrice qui fait l’équivalance entre celle de Fuglede et Putnam.

Voici ci-après ce thérème dans le cas borné. La version classique du théorème dans le cas borné est la suivante :
Remarque importante 1. La preuve précédente a été donné par Rosenblum en 1958.En 1959 Berberian a remarqué l’équivalence entre les deux version celle de Fuglede et l’autre de Putnam.cette relation est donnée par la matrice suivante.

Opérateurs linéaires non bornés dans un espace de Hilbert

Opérateurs linéaires non bornés : définitions et propriétés élémentaires

Définition

Un opérateur non borné sur un Hilbert H est un couple (D(A);A) ou D(A) est un sous espace vectoriel de H et A est un opérateur linéaire déni de D(A) dans H . On dit que A est un opérateur non borné de domaine D(A).

Remarque

Un opérateur non borné admet en général plusieurs domaines. Le domaine naturel de A sera l’ensemble D(A) = fx 2 H : Ax 2 Hg appelé aussi domaine maximal.

Definition

Un opérateur symétrique A dans H est dit symétrique maximal Si A nadmet pas d extension symétrique propre, cest-à-dire si les hypothèses A S et S symétrique Implique que S = A :

Théorème 

les opérateurs auto-adjoints sont symétriques maximaux.

Spectres des opérateurs non bornés

Soit (D(A);A) opérateur non borné sur un Hilbert H de domaine dense . On appelle ensemble résolvant de l’opérateur A l’ensemble (A) des complexes tel que :
1. Im(A ? I) est dense dans H.
2. (A ? I) est inversible de D(A) sur Im(A ? I) d’inverse borné.
On note R(A) = (A ? I)?1 pour tout 2 (A) .
R(A) est appelé l’opérateur résolvant ou résolvante de A .
Remarque. Si (D(A);A) est un opérateur fermé sur H. Alors.

Théorème spectral des opérateurs linéaires non bornés normaux

Si A est un opérateur auto adjoint la méthode classique pour qu’on bornés. Une classe très importante car c’est la plus grande classe pour laquelle le théorème spectral existe. La question de commutativité d’opérateurs non-bornés est assez délicate.
En eet, une expression du type AB’ = BA’ pour ‘ 2 D D(AB)\D(BA) ne signie pas nécessairement que les opérateurs commutent fortement (voir Read-Simon, Vol-1).
La question de normalité du produit non-borné d’opérateurs normaux a un lien étroit avec cette dernière question grâce au travaux de Devinatz-Nussbaum et M.H Mortad. Dans ce que suit on étudie cette question en détail et on rassemble les travaux faits dans ce sens.

Nous notons également que l’on peut démontrer le résultat de Albrecht-Spain sans faire appel à la théorie des algèbres de Banach qui a été utilisé . La preuve est donnée ci-dessous.
Nous rappelons le théorème Albrecht-Espagne :

Théorème

Soit A et B deux opérateurs auto-adjoints bornés. avec B satisfaire la condition C. Si AB est normal, donc il est auto-adjoint.

Proposition

Soit B est un opérateur auto-adjoint et A un opérateur non borné auto adjoint tel que B et A commutent. Alors, pour toute fonction continue f dénie sur l’ensemble compact (B) nous avons aussi f(B) and A commutent.

Démonstration

Avant de commencer la preuve nous avons besoin du lemme suivant :
Lemme 4.0.1. Si B et A commutent avec B est auto-adjoint alors pour tout polynôme réel P, P(B) et A commutent.

Commutativité à un facteur près

Les relations de commutativité entre les opérateurs auto-adjoints dans un espace de Hilbert complexe sont importantes dans l’interprétation des observations de la mécanique quantique. Ils jouent également un rôle très important dans l’analyse de leurs spectres.
Récemment, la commutativité à un facteur a été accordé beaucoup d’attention par de nombreux auteurs. Voir par exemple [1], [2]. L’objectif du présent chapitre est double. Tout d’abord, nous retrouvons des résultats connus en examinant le produit normal borné des opérateurs auto-adjoints. Deuxièment, nous étendons cette méthode aux opérateurs non bornés. Disons un peu plus sur les détails de cette technique. Il est bien connu que les deux opérateurs bornés, normaux qui commutent ; ont un produit normal.

La démonstration utilisée le célèbre théorème de Fuglede . D’une manière très similaire, nous remarquons aussi que cette fois-ci par l’intermédiaire du Fuglede-Putnam théorème le produit de deux opérateurs normaux qui ne commutent pas reste normal. Donc, nous avons supposé que le produit des opérateurs normaux qui commutent à un facteur serait normal. C’est le cas et la raison pourquoi nous voulons utiliser la normalité du produit en question, c’est que nous pouvons exploiter les résultats sur le produit borné normal d’opérateurs auto-adjoints.
L’avantage de cette approche est qu’elle s’étend également aux opérateurs bornés an que nous puissions à nouveau proter des résultats de [1] et [2].

Théorème

Soit A et B deux opérateurs auto-adjoints tels que AB soit normal ; alors.

Table des matières

1 Introduction 
1.0.1 Préliminaires
2 Généralités sur les opérateurs linéaires bornés 
2.1 Opérateurs adjoints
2.2 Opérateurs isométriques, normaux, unitaires, positifs, auto-adjoints
2.3 Racine carrée d’un opérateur
2.3.1 Décomposition polaire
2.4 Image numérique
2.5 Spectre des applications bornés
2.6 Le théorème de Fuglede-Putnam dans le cas borné
3 Opérateurs linéaires non bornés dans un espace de Hilbert 
3.1 Opérateurs linéaires non bornés : dénitions et propriétés élémentaires
3.2 Produits et sommes d’opérateurs fermés
3.3 Adjoint d’un opérateur non borné
3.4 Spectres des opérateurs non bornés
3.5 Les opérateurs normaux
3.6 Théorème spectral des opérateurs linéaires non bornés normaux
3.7 Le théorème de Fuglede-Putnam dans le cas des opérateurs non bornés
3.8 Une généralisation du théorème à quatre opérateurs
4 La normalité du produit non borné de deux opérateurs 
4.0.1 Quelques résultats
5 Commutativité à un facteur près 
5.1 Les principaux résultats
5.1.1 Le cas borné
5.1.2 le cas non borné
5.2 Conjecture

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