Le systeme de coordonnees spheriques et ses applications en mecanique

D’une manière générale, le repère est indispensable dans la vie courante pour situer ou pour connaître un objet ou un individu. Ce repère nous permet de bien localiser et différencier la position de cet objet ou de cet individu dans un espace. De toute façon, le repère est une notion fondamentale non seulement en mathématiques mais aussi dans les autres disciplines comme les sciences physiques. Et cela que la cinématique prend sa place. La cinématique qui est une partie de la mécanique est une science qui étudie le mouvement des points. Elle définie à tout instant la trajectoire, la vitesse, l’accélération, etc. Elle se base sur les notions de temps et d’espaces. En plus, pour pouvoir étudier le mouvement des points il faut connaître d’abord les lieux où ces points se trouvent ; le temps où ils sont en mouvement ou non. Et cela qu’on introduit le système de référence car avant de donner la position ou les coordonnées d’un point il faut se référer à partir d’un autre point. Et cette position change lorsque le système de référence est aussi changé. Par exemple, Madagascar se trouve à 400 km de l’Afrique mais à 3200 km de l’Asie. Il y a plusieurs types de système de références dont certain s’effectue dans le plan et d’autres dans l’espace. Ici on parle beaucoup de celui dans l’espace. Spécifiquement on choisit le système de coordonnées sphériques.

La raison c’est qu’en faisant une étude d’une sphère, d’une boule ou des choses qui ont de la même forme, le mieux c’est d’utiliser le système de coordonnées sphériques. D’ailleurs, ce système nous aide aussi à découvrir les causes des plusieurs faits sur le globe terrestre. En outre, nombreux sont les élèves et mêmes étudiants qui ont des difficultés en imaginant tout simplement la position d’un point dans un espace car cela est très abstrait pour eux. Ainsi, l’objectif de ce mémoire est d’apporter une modeste application des connaissances mathématiques dans les sciences physiques surtout la mécanique. Il a pour but aussi d’aider les élèves, les étudiants de bien imaginer la position d’un point dans l’espace.

ESPACES VECTORIELS 

Soient K un corps commutatif d’unité 1, muni de deux lois + et * c’est-à-dire : (K, +,*,1) et E un ensemble vectoriel muni de deux lois « + » et « * » telles que :
• Une loi de composition interne « + » est une addition qui, à tout couple vectoriel (x, y), associe le vecteur somme x+y, c’est-à-dire :

+ : E×E → E

(x, y) → +(x, y) = x+y

• Une loi de composition externe « * » est une multiplication par un scalaire qui, à chaque vecteur x et à chaque scalaire λ, associe le vecteur λ*x, c’est-à-dire :

* : K×E → E

(λ, x) → *(λ, x) = λ*x

Exemples

N indique l’ensemble des entiers naturels et R l’ensemble des nombres réels.

1- ∀ n∈N*, si K = Rn et E = R alors : L’addition + est définie par : ∀ x, y ∈E : (x1, x2,…, xn) + (y1, y2,…, yn) = (x1+y1, x2+y2,…, xn+yn) La multiplication par un scalaire est définie par : ∀ λ∈R,∀ x∈R n , on a : λx = λ (x1, x2, ……,xn) = (λx1, λx2,…., λxn) On voit alors que (Rn , +,*) est un espace vectoriel sur R.

2- Si E = FD : ensemble des applications d’une partie D de R vers R, et K = R, alors : L’addition dans FD est définie par :∀ f, g∈FD : S = f+ g ⇔ ∀ x∈D : S(x) = f(x) +g(x) La multiplication par un réel est définie par : ∀ λ∈R, ∀ f∈FD : g = λf⇔ ∀ x∈D : g(x) =λ f(x). On a vérifie aussi que (FD, +,*) est un R- espace vectoriel.

SOUS- ESPACES VECTORIELS

Soit F une partie d’un K- espace vectoriel E tel que (E, +, *).

Définition
On dit que (F, +, *) est un sous- espace vectoriel de E si :
• F ≠ Ø
• ∀ x, y∈F : x + y∈F
• ∀ λ∈K, ∀ x∈F : λ*x∈F .

C’est-à-dire : si F est non vide, stable par l’addition vectorielle + et pour la multiplication par un scalaire et les restrictions de ces deux lois à F munissent F d’une structure d’espace vectoriel sur K.

Exemples
1. {0} et E sont des sous- espaces vectoriels de E.
2. Si F1 et F2 sont deux sous- espaces vectoriels de E, alors F1∩ F2 est un sous- espace vectoriel de E et F1+ F2 = {u/ ∃ (u1, u2) ∈E1×E2 : u = u1+u2} l’est aussi.

BASE ET DIMENSION D’UN ESPACE VECTORIEL

BASE

Définition
On appelle base d’un K- espace vectoriel E, tout système des vecteurs de E qui est à la fois libre et générateur. Soit B = (e1, e2,……, en) une base de E, alors tout vecteur de E s’exprime de façon unique comme étant une combinaison linéaire des vecteurs de B. C’est-à-dire : ∀ x∈E, ∃ ! (a1, a2,……,an) ∈R n / x = a1e1+ a2e2+……+ anen, avec les scalaires a1, a2,…..,an sont les coordonnées de x dans la base B.

Exemples
1. L’ensemble des nombres complexes C est un R- espace vectoriel et B = {1, i} est une base appelée base canonique de C.
2. B1 = {i, j} et B2 = {i, j, k} sont des bases canoniques respectivement de E2 dans la géométrie plane et de E3 dans l’espace. Et∀ u∈E2 : u = xi+yj et∀ v∈E3 : v = xi+ yj+ zk .

Remarques
Si E possède un système générateur d’ordre n alors tout système d’ordre supérieur à n est lié.

Conséquences
1. l’ordre d’un système libre est au plus égal à l’ordre d’un système générateur.
2. Si E possède une base d’ordre n (n∈N*) alors toute base de E a n vecteurs.

DIMENSION D’UN ESPACE VECTORIEL

L’ordre n commun à toutes les bases de E est appelé dimension de E sur K. On dit alors que E est un espace vectoriel de dimension n sur K. Et on écrit : dimKE = n.

Remarques
1. Si dimKE =1, alors : E est appelé droite vectoriel.
2. Si dimKE = 2, alors : E est appelé plan vectoriel.
3. Dans un R- espace vectoriel C, B = {1, i} est une base et dimRC = 2 .

Conséquences
Dans un espace vectoriel de dimension n, on a :
1. Tout système libre d’ordre n est une base ;
2. Tout système générateur d’ordre n est une base.

Table des matières

INTRODUCTION
PARTIE I : QUELQUES RAPPELS
CHAPITRE I : ESPACES VECTORIELS
I. 1- ESPACES VECTORIELS
I. 2- SOUS- ESPACES VECTORIELS
I. 3- AUTRES DEFINITIONS
I. 4- BASE ET DIMENSION D’UN ESPACE VECTORIEL
I. 5- NORME D’UN VECTEUR ET VECTEUR UNITAIRE
I. 6- PRODUIT SCALAIRE DE DEUX VECTEURS
I. 7- BASE ORTHONORMEE
I. 8- PRODUIT VECTORIEL ET PRODUIT MIXTE
I. 9- DERIVEE D’UN VECTEUR
I. 10- VECTEURS EQUIPOLLENTS
CHAPITRE II : SYSTEMES DE COORDONNEES
II. 1- MOUVEMENT-REPERE
II. 2- LES DIFFERENTS TYPES DE SYSTEMES DE COORDONNEES
CHAPITRE III : ELEMENTS DE CINEMATIQUE
III. 1- DEFINITION
III. 2- MOUVEMENT COMPOSE D’UN POINT
PARTIE II : REPERE SPHERIQUE
CHAPITRE IV : SYSTEME DE COORDONNEES SPHERIQUES
CHAPITRE V : ELEMENTS DE CINEMATIQUE
V. 1- VECTEUR POSITION
V. 2- VECTEUR VITESSE
V. 3- VECTEUR ACCELERATION
V. 4- FORCE DE CORIOLIS
PARTIE III : RESOLUTION DES PROBLEMES
CHAPITRE VI : FIL A PLOMB
VI. 1- DEFINITION
VI. 2- FIL A PLOMB
VI. 3- DIRECTION DU FIL A PLOMB
CHAPITRE VII : DEVIATION VERS L’EST DE TOUT OBJET EN CHUTE LIBRE D’UNE ALTITUDE IMPORTANTE
CHAPITRE VIII : SURFACE D’UNE SPHERE ET VOLUME D’UNE BOULE
VIII. 1- SURFACE D’UNE SPHERE
VIII. 2- VOLUME D’UNE BOULE
CHAPITRE IX : CENTRE D’INERTIE D‘UNE DEMIE SURFACE SPHERIQUE ET D’UNE DEMIE BOULE
IX. 1- DEFINITION
IX. 2- PROPRIETE DE SYMETRIE
IX. 3- DETERMINATION PRATIQUE DU CENTRE D’INERTIE D’UNE DEMIE SPHERE
IX. 4- DETERMINATION PRATIQUE DU CENTRE D’INERTIE D’UNE DEMIE BOULE
CHAPITRE X : MATRICE D’INERTIE
X. 1- OPERATEUR D’INERTIE D’UN SOLIDE (S) EN UN POINT O
X. 2- MATRICE D’INERTIE DANS UNE BASE ORTHONORMEE DIRECTE
PARTIE IV : COORDONNEES SPHERIQUES EN GEOGRAPHIE
CHAPITRE XI : COORDONNEES GEOGRAPHIQUES
XI. 1- LATITUDE
XI. 2- LONGITUDE
CHAPITRE XII : COORDONNEES SPHERIQUES EN GEOGRAPHIE
XII. 1- MERIDIENS
XII. 2- PARALLELES
XII. 3- ALTITUDE
CONCLUSION

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