Le subitizing un phénomène clé dans l’apprentissage des premiers nombres 

L’usage de collections-témoins

A la lumière de ces éléments théoriques, nous développerons une approche pédagogique bien ancrée chez les enseignants en maternelle : l’utilisation de collections-témoins. L’utilisation des collections-témoins de doigts est un outil privilégié dans cette approche pédagogique. La disponibilité constante des doigts, « toujours à portée de mains », et le caractère kinesthésique de leur utilisation en font un outil très intéressant pour de jeunes élèves de petite section. De plus, Brissiaud rappelle que la structure particulière en deux groupes de 5 doigts optimise l’utilisation de « collections-témoins organisées ». Dans la mesure où nous nous intéressons particulièrement à la conceptualisation des petits nombres, la limitation au nombre 10 consécutive à la morphologie de nos deux mains n’affectera pas l’utilisation des collections-témoins de doigts en petite section.
Pour optimiser l’utilisation des doigts et favoriser la création « d’authentiques collections-témoins de doigts » , Brissiaud recommande :
 De varier les doigts utilisés pour représenter une quantité. Pour représenter 3, l’enseignant veillera à associer le pouce, l’index et le majeur, ou le majeur, l’annulaire et l’auriculaire, ou encore l’index, le majeur et l’annul aire. De cette façon, le jeune élève ne construit pas une image unique du nombre 3 (les 3 mêmes doigts à chaque fois), mais conçoit que chaque doigt considéré isolément renvoie à une unité (l’auriculaire a la même valeur que le pouce). C’est un aspect important pour permettre le processus de « unitizing » présenté précédemment.
 De « parler le nombre » en le décomposant. Lorsque l’enseignant construit une collection-témoin authentique de doigts devant ses élèves, il oralise de manière systématique l’ajout d’une unité. Typiquement, la scène est la suivante : l’enseignant lève un doigt et dit « un », puis il lève un autre doigt et dit « un autre, ça fait deux ». S’il lève un autre doigt, il dit « encore un autre, ça fait trois » tout en montrant ses trois doigts levés. Le dialogue se poursuit ainsi pour accéder aux nombres supérieurs.
Ces deux recommandations permettent donc à l’élève de créer mentalement l’unité numérique (« unitizing ») et de totaliser ces unités (« uniting ») pour accéder au cardinal de la collection.

Pas de comptage, mais un dénombrement contrôlé

Nous venons d’établir les bénéfices d’une pratique pédagogique utilisant les collections-témoins de doigts. L’usage de collections-témoins authentiques de doigts apparaît donc comme une alternative pertinente à la procédure de comptage dans l’objectif de répondre aux activités de dénombrement préconisées par les instructions officielles. Selon Brissiaud, dénombrer implique « trois conditions : créer mentalement les unités, les énumérer et les totaliser » . En associant les bénéfices induits par un usage des collections-témoins de doigts tel que nous l’avons décrit et les capacités « innées » de nos élèves à énumérer les petites collections (jusqu’à 3), le dénombrement devient possible, et même très pertinent pour l’apprentissage des premiers nombres chez des élèves de petite section. Concevoir le nombre et stabiliser la maîtrise du système numérique des trois premiers nombres se base alors sur des activités variées de dénombrement faisant intervenir du matériel adapté, des tâches quotidiennes permettant à l’élève de donner du sens à ses apprentissages et des interactions avec l’adulte construites de manière précise par l’enseignant. Ces activités seront développées dans le cadre méthodologique de ce travail de recherche.

Contrôler les apprentissages des élèves : l’évaluation

Une évaluation au service des élèves

Il peut paraître déstabilisant, voire contre -productif de proposer une évaluation à des enfants en plein développement. Évaluer dès la maternelle ne serait pas une façon de creuser dès le plus jeune âge les inégalités déjà présentes, en renforçant et en formulant les différences inter individuelles entre les élèves. Mais que se cache -t-il derrière le terme « évaluer » ?
Les idées reçues sur l’évaluation sont nombreuses et il est important d’en être conscient pour éviter certains écueils. D’emblée, évaluer peut faire penser à « sanctionner par une note », « juger selon des critères plus ou moins définis par l’enseignant ». Or, l’acte d’évaluer à l’école maternelle se doit de porter un sens très différent de ces représentations et se mettre au service de l’élève dans le but de faire progresser cet élève dans ses acquisitions et ses processus d’apprentissage. Et d’ailleurs, évaluer ne fait-il pas partie intégrante d’une activité d’enseignement ?
L’enseignant, lorsqu’il propose une activité, est sans cesse en train de mesurer les progrès, d’identifier les causes d’une erreur, et c’est bien là que l’action d’évaluer prend tout son sens : objectiver la réussite ou l’échec d’un élève afin d’accompagner son développement ou de proposer des alternatives et favoriser la réussite.

Les deux piliers de l’évaluation : évaluation formative et évaluation positive

Le premier principe de l’évaluation telle que nous la concevons est de permettre aux élèves d’établir eux-mêmes ce qu’ils savent faire. Ainsi, la tâche réalisée dans un premier temps est comparée au résultat attendu par l’enseignant et l’élève peut formaliser les erreurs commises. Les commentaires formulés par les élèves euxmêmes leur permettent d’identifier l’erreur et de la corriger dans l’instant. L’enseignant aidera les élèves à formaliser l’erreur pour la généraliser et utiliser les notions sous- jacentes derrière le type d’erreur réalisé par l’élève. La finalité est de proposer une évaluation de type formative, permettant la compréhension et la correction immédiate de l’erreur commise. Selon le Bulletin Officiel du 20 septembre 2007, l’évaluation formative consiste à « intervenir en cours d’un apprentissage […] et permettre à l’élève de prendre conscience de ses acquis et des difficultés rencontrées, et de découvrir par lui-même les moyens de progresser ».
Ce type d’évaluation est à mon sens un procédé efficace afin de répondre aux besoins de développement des élèves de maternelle. L’évaluateur évite le système binaire du « bon / mauvais » et donne l’opportunité à chaque élève de mener une réflexion postactivité immédiate. Par ailleurs, il est toujours possible de reprendre l’activité d’évaluation ultérieurement afin de mesurer les progrès de l’élève.
Le deuxième socle de l’évaluation proposée correspond à ce que l’on peut appeler l’évaluation positive. L’idée est de valoriser les réussites des élèves des re tours du type « tu sais … ». Ce type de retour favorise l’acquisition de la compétence et renforce l’idée du « je sais faire » chez l’élève. Dans un cas d’erreur, on n’utilise pas de commentaire stigmatisant « tu ne sais pas… » mais davantage un commentaire d’encouragement « la prochaine fois, tu essaieras de … » après avoir formalisé l’erreur de l’élève. Cela permet d’atténuer le sentiment d’échec et diminue la perte d’estime de soi imputable à l’échec et néfaste aux apprentissages de l’enfant. Il est d’ailleurs fait état dans les nouveaux programmes de 2015 d’une évaluation positive à l’école maternelle.
A la fin de l’activité d’évaluation, l’élève peut concrètement formuler ce qu’il a acquis et les objectifs qu’il peut se fixer pour la suite, avec l’aide de l’enseignant.

Différencier

Pour les élèves en échec, il est possible de différencier la manière d’évaluer cette compétence chez les élèves. La différenciation peut se définir comme « un effort de diversification méthodologique susceptible de répondre à la diversité des élèves ».
Nous avons retenu deux possibilités dans le cadre de la situation d’évaluation proposée :
 Différer l’évaluation dans le temps, c’est-à-dire la proposer une nouvelle fois à l’élève un mois après par exemple. Il est possible que certains élèves ne soient pas prêts au moment où l’évaluation est proposée. Un travail supplémentaire sera donc effectué avec l’élève et permettra à celui-ci d’avoir davantage de temps pour construire la compétence évaluée.
 Proposer une activité similaire dans un temps différent. On peut par exemple se servir du temps de l’accueil pour demander à un élève qui n’avait pas réussi une tâche similaire avec du matériel différent. Ce cas de figure ne s’est pas présenté dans les résultats présentés en annexe. Pour conclure, nous rappellerons que « L’évaluation régulière des acquis des élèves est un acte pédagogique à part entière » . Il est du devoir de l’enseignant de mettre en œuvre des activités d’évaluation favorisant la réussite et les progrès des élèves. A l’heure de l’école bienveillante et la réussite pour tous, il est plus que jamais fondamental d’appliquer les principes défendus ci-dessus. La réussite et la construction individuelle de nos élèves en dépend.

Cadre méthodologique

Contexte

Etant professeur des écoles stagiaire, j’assure l’enseignement de mes élèves au sein de deux écoles maternelle différentes situées à Saint Jean le Blanc et Orléans. Les deux classes dans lesquelles je suis en responsabilité ont la particularité d’être toutes deux des classes à double niveau : une classe de petite / moyenne section et une autre classe de petite / grande section. Cela signifie que j’ai eu l’occasion, au cours de l’année, d’enseigner le concept cardinal du nombre à deux groupes d’élèves de petite section bien distincts. Dans l’école d’Orléans, la classe est composée de 9 élèves de petite section et 20 élèves de grande section. L’enseignante titulaire a la particularité de proposer une pédagogie d’inspiration Montessori : de nombreux ateliers autonomes sont disponibles et les élèves ont la possibilité de se mettre au travail seul sur des activités de leur choix. Dans l’école de Saint Jean le Blanc, la classe est composée de 18 élèves de petite section et 11 élèves de moyenne section. J’ai fait le choix, dans les deux classes, d’adopter la même progression pour les apprentissages concernant l’acquisition du concept cardinal du nombre.
La particularité du double niveau dans les deux classes a permis aux élèves de petite section une fréquentation très rapide des nombres, par observation des rituels et activités proposées aux autres élèves de la classe. J’ai réellement commencé, à partir de la période 3, à enseigner la cardinalité du nombre telle que nous l’avons définie dans la première partie de notre travail de recherche. Nous présenterons donc de manière chronologique les activités proposées aux élèves des deux classes en expliquant nos choix pédagogiques. Nous interpréterons ensuite les différences observées dans les classes, en lien avec le contexte présenté ci-dessus.

Le jeu de Lucky Luke

Dans la continuité de l’apprentissage de la comptine, j’ai fait découvrir aux élèves le jeu de Lucky Luke. L’activité a été réa lisée en groupe avec tous les élèves de petite section de la classe. Ce jeu a pour objectif de stabiliser les représentations analogiques des nombres avec les doigts.
Tous les élèves cachent leurs mains derrière leur dos. L’enseignant annonce alors un nombre d’objets ou d’animaux, ici un nombre de petits lapins pour favoriser la continuité dans l’apprentissage amorcé par la comptine. Chaque élève doit alors montrer le nombre de doigts correspondant au nombre de lapins demandé. La vérification est menée par l’enseignant qui valide les propositions.
Exemples de retours verbaux menés par l’enseignant : « Oui, tu as montré trois doigts. Un doigt (en levant un doigt), un autre doigt (en levant un autre doigt) et encore un autre doigt (en levant un autre doigt). Cela fait trois petits lapins. Bravo. » « Il faut montrer trois lapins, comme ça (en montrant trois doigts). Est-ce que tu en as montré comme moi ? ». L’élève essaie de verbaliser s’il en a montré plus ou moins, avec l’aide de l’enseignant en cas de besoin. Il ajuste ensuite le nombre de doigts en fonction du modèle réalisé par l’enseignant.
L’enseignant veille à porter un regard bienveillant sur les réponses des élèves et à expliciter les erreurs commises en faisant découvrir le vocabulaire adapté (« trop », « pas assez », « il en manque » …). Les retours verbaux porteront davantage sur les nombres jusqu’à 3, dans la mesure où c’est ce premier système numérique qui sera travaillé en priorité avec nos élèves de petite section.
La durée optimale d‘un temps d’activité pour ce jeu se situe entre cinq et dix minutes.
L’entrée est rapide et tous les élèves sont rapidement disponibles. Si elle dure trop longtemps, les élèves se désintéressent.

Utilisation de l’album dans les classes

La différence du nombre d’élèves de petite section dans les deux classes m’a donné l’idée de différencier les modalités d’utilisation de l’album. Dans ma classe de l’école de Saint Jean le Blanc, que l’on appellera classe A, l’album a été utilisé avec l’ensemble des dix-huit élèves de petite section de la classe. Dans l’autre classe, que l’on appellera classe B, l’album a été utilisé en petits groupes de quatre et cinq enfants.
J’ai émis l’hypothèse que la formation de groupes restreints (classe B) favoriserait les apprentissages visés dans la mesure où les élèves ont davantage la possibilité de prendre la parole et de participer à l’élaboration des réponses.
En m’intéressant à la compétence « Associer les différentes représentations d’une quantité », j’ai proposé, à l’issue d’une séquence d’utilisation de l’album de cinq séances, la même activité d’évaluation à l’ensemble des élèves de petite section des deux classes. L’évaluation consiste à remettre dans la même colonne les trois représentations différentes pour une même quantité. (Voir fiche en annexe 1). La présentation de l’activité et la passation de consignes ont été rigoureusement les même dans les deux classes. Des groupes de six élèves ont été constitués pour la classe A. L’élève devait donc replacer les étiquettes déjà découpées avant de pouvoir coller et valider son travail. Aucune correction n’a été faite par l’enseignant.

Evaluation

Afin de rendre compte des acquisitions des élèves, nous proposons différentes activités d’évaluation répondant aux compétences impliquées dans la construction de la cardinalité du nombre chez l’élève. Dans un premier temps, nous présenterons les activités d’évaluation en précisant les compétences évaluées, puis nous présenterons les résultats sous forme de tableau. Nous conclurons avec une analyse critique de ces résultats.

Les compétences du nombre cardinal en petite section

Construire une collection équipotente à une collection donnée

Description de la situation : L’enseignant travaille avec un groupe de cinq ou six élèves.
Chaque élève possède une barquette vide devant lui. Les élèves passent à tour de rôle. L’enseignant met un nombre de feutres sans bouchon s déterminé à l’avance (1, 2 ou 3) dans la barquette de l’élève. L’enseignant veille à disposer les feutres l’un après l’autre afin de favoriser la reconnaissance de la quantité pour l’élève. Une barquette contenant des bouchons de feutres est placée sur une table à proximité de façon à ce que les élèves ne puissent avoir une vision sur les deux barquettes (bouchons et feutres) en même temps.
Consigne pour l’élève : Je vais chercher juste le bon nombre de bouchons pour reboucher les feutres dans ma barquette. Le premier tour est destiné à se familiariser avec l’activité et à objectiver les critères de réussite. Deux critères sont retenus par les élèves pour formaliser la réussite : 1) Il n’y a plus de feutres sans bouchons et 2) Il n’y a plus de bouchon tout seul. C’est la réunion de ces deux critères qui validera la tâche produite par l’élève. Lors du deuxième tour, les élèves connaissent les critères de réussite et ce deuxième passage permettra à l’enseignant de formaliser son évaluation. Les résultats seront consignés dans un tableau.

Conclusion

Rappelons tout d’abord l’objectif principal poursuivi par l’enseignement des compétences numériques en petite section de maternelle : maîtriser le système numérique des trois premiers nombres. Les propositions pédagogiques ont donc été orientées en ce sens. Nous mettons ainsi en garde contre l’enseignement précoce des compétences numériques impliquant des quantités plus importantes chez des élèves de petite section. Le danger réside dans la non-compréhension du sens profond des nombres : les élèves seront en réussite sur certains savoir-faire qu’ils pourront automatiser, mais dont ils n’auraient pas intégré le pourquoi, et qu’ils ne pourront transférer plus tard dans d’autres situations. C’est ce phénomène que l’on retrouve dans les classes supérieures et qui est à l’origine de la baisse des résultats des élèves dans la discipline des mathématiques.
Ce constat souligne l’importance des enseignants de petite section, responsables de la première rencontre « scolaire » des élèves avec les nombres. Car l’échec scolaire en mathématiques peut trouver sa source dans une première rencontre non réussie, une sorte d’acte manqué que l’élève en construction ne pourra rattraper de manière efficace.
Notre travail consistait à montrer les conditions favorables à la création d’un contexte favorable à des premières rencontres avec les nombres réussies pour nos élèves. Un certain nombre de principes a été mis en avant. Les activités proposées, dont la liste n’est bien évidemment pas exhaustive, s’appuient sur ces principes. Si l’on considère les résultats obtenus, la tendance générale confirme l’intérêt de notre dé marche pédagogique pour la stabilisation du système numérique des trois premiers nombres chez les élèves de petite section.
Des limites sont tout de même à souligner :
 Une population limitée de vingt-sept élèves : il serait intéressant d’étendre nos propositions pédagogiques à un nombre d’élèves plus importants.
 Le contexte socio-culturel des écoles : pour valider nos résultats, une variation des milieux sociaux auxquels appartiennent nos élèves est à intégrer.
 Nous n’avons pas la garantie des acquisitions numériques futures pour les élèves concernés par notre étude. Un suivi sur un temps plus long permettrait de valider la démarche pédagogique.
L’acquisition du concept cardinal du nombre chez l’élève est un processus long et difficile qui ne s’arrête pas à la fin de la petite section. Les résultats obtenus valident la démarche pédagogique proposée. L’investissement et l’intérêt montrés par les élèves au cours des activités abondent en ce sens. Nous conseillons l’utilisation des activités et supports présentés pour favoriser une première rencontre réussie entre les élèves et les nombres.

Table des matières

INTRODUCTION 
PREMIERE PARTIE : ASPECTS THEORIQUES 
A. Du côté des textes officiels
1.Des conclusions de l’enquête PISA 2012
2.… aux nouveaux programmes de 2015
B. Vers une définition du nombre
C. Le concept de cardinalité à l’école maternelle
1.Des compétences numériques précoces
2.Le subitizing : un phénomène clé dans l’apprentissage des premiers nombres
3.Compter dès la petite section ?
4.Quelle approche du nombre en début de petite section ?
5.Pas de comptage, mais un dénombrement contrôlé
D. Contrôler les apprentissages des élèves : l’évaluation
1.Une évaluation au service des élèves
2.Les deux piliers de l’évaluation : évaluation formative et évaluation positive
3.Différencier
DEUXIEME PARTIE : CADRE METHODOLOGIQUE
A. Contexte
B. Une entrée dans le bain numérique
1.Des comptines
2.Le jeu de Lucky Luke
3.L’album des premiers nombres, de Rémi Brissiaud
C. Une situation d’apprentissage construite : « Les boîtes d’œufs » de Dominique Valentin
D. Evaluation
1.Les compétences du nombre cardinal en petite section
2.Analyse des résultats
CONCLUSION

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