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En mathématiques, et plus précisément en analyse convexe, le sousdifférentiel est un concept permettant de décrire la variation locale d’une fonction convexe non nécessairement différentiable dans un sens classique ; celui au quel on attache aujourd’hui le nom de Fréchet. Au lieu d’être la pente de l’application linéaire tangente (c’est à dire la dérivée) au point considéré, qui n’existe pas nécessairement, le sousdifférentiel d’une fonction convexe est l’ensemble des pentes de tous les minorants affines de la fonction , qui sont exactes en ce point ,c’est à dire qui en ce point la même valeur que la fonction convexe qu’elle minorent. On sait que la notion de dérivée est fondamentale en analyse car elle permet d’approcher localement des fonctions par des modèles linéaires, plus simples à étudier. Ces modèles fournissent des renseignements sur les fonctions qu’ils approchent, si bien que de nombreuses questions d’analyse passent par l’étude des fonctions linéarisées (stabilité, inversibilité locale, etc). On rencontre beaucoup de fonctions convexes qui ne sont pas différentiables au sens classique, en particulier lorsque celles-ci résultent de constructions qui n’ont rien pour assurer la différentiabilité des fonctions qu’elles produisent. Il en est ainsi de la fonction duale (en) associée à un problème d’optimisation sous contraintes, pour en citer un exemple emblématique. Pour ces fonctions convexes non lisses, le sous-différentiel joue donc un rôle similaire à celui de la dérivée des fonctions plus régulières. La notion de sous-différentiel connaît diverses extensions aux fonctions non nécessairement convexes, par exemple aux fonctions localement lipschitziennes qu’on va traiter dans le deuxième chapitre . Dans la suite, nous nous intéressons essentiellement à la classe des fonctions convexes. Ces hypothèses requièrent un outil spécial : le sousdifférentiel d’analyse convexe, noté ∂f(x).Les fonctions convexes apparaissent abondamment dans l’ingénierie et permettent de modéliser de nombreux phénomènes non linéaires (équations de la physique, traitement du signal, théorie des jeux et de l’économie, statistiques…). Elles ont des propriétés remarquables qui permettent d’analyser plus facilement leurs propriétés et aussi de les minimiser efficacement. De nombreux problèmes non convexes irrésolvables peuvent être approchés par des problèmes convexes qui eux sont presque systématiquement minimisés en des temps rapides.
Le Sous différentiel au sens de l’analyse convexe
L’analyse convexe est un des piliers des mathématiques appliquées. Elle intervient dans la modélisation et la résolution numérique de problèmes dans pratiquement tous les secteurs où la modélisation mathématique est pertinente : en ingénierie, en statistiques, en physique, en économie, en finance, dans les sciences de l’information, pour la simulation numérique et des données. L’objectif de cette partie est de fournir les fondements de l’analyse convexe, ses implications en générale et précisément dans l’optimisation en relation avec le calcul sous différentiel .
Sous-gradient et sous différentiel
Définition 3.2. Soit f une fonction convexe. Un vecteur η ∈ Rn est appelé sous gradient de f au point x0 ∈ dom(f) si :
∀x ∈ dom(f) f(x) − f(x0) ≥ < η, x − x0 >
L’ensemble de tous les sous-gradients en x0 est appelé sous-différentiel de f. Il est noté ∂f(x0).
Interprétation géométrique
L’interprétation géométrique du sous-différentiel est la suivante. Il est formé par toutes les directions des hyperplans qui passent par le point (x, f(x)) et restent « sous » le graphe de la fonction f. Ces hyperplans sont appelés hyperplans support ou hyperplans d’appui au graphe de f en x.
Exemple 3.3.1. soit f : x ∈ R → |x|. Calculons les sous-gradients de f en tout point x de R .
Opération sur les fonctions convexes
Définition 3.3. Une fonction convexe est dite fermée ou semi-continue inférieurement (s.c.i.) si son épigraphe est une ensemble fermé.
Soient f1etf2 deux fonctions convexes s.c.i. et β > 0. Les fonctions suivantes sont convexes s.c.i. :
1 f = βf1.
2 f = (f1 + f2) avec dom(f) = dom(f1) ∩ dom(f2.)
3 f = max{f1, f2} avec dom(f) = dom(f1) ∩ dom(f2).
Théorème 3.2. Soit φ, une fonction convexe s.c.i sur Rm Soit A : Rn → Rm un opérateur linéaire et b ∈ Rm. Alors la fonction
x → f(x) = φ(Ax + b) est convexe s.c.i. et
dom(f) = {x ∈ Rn , Ax + b ∈ dom(φ)}.
Transformé de Fenchel ou conjugué convexe
La fonction conjuguée, aussi appelée transformée de Fenchel ou transformée de Legendre- Fenchel est utilisée pour :
– convexifier une fonction (en calculant la bi-conjuguée, i.e. la conjuguée de la conjuguée).
– calculer le sous-différentiel d’une fonction convexe.
– calculer des problèmes dits “duaux”, en optimisation. Ces problèmes apportent souvent beaucoup d’information sur les problème “primaux”, i.e. ceux que l’on souhaite résoudre.
– passer de la mécanique lagrangienne à la mécanique hamiltonienne,…
Elle a été introduite par Mandelbrojt en 1939 puis précisée et améliorée par Fenchel en 1949. Cette transformée généralise la transformation de Legendre (1787).
La motivation pour introduire cette transformation est la suivante. On peut définir la convexifiée fermée d’une fonction comme l’enveloppe supérieure de toutes les minorantes affines de f. Parmi toutes les minorantes affines x →< s, x > +α, on ne peut garder que celle qui est la plus haute, c’est-à-dire qui a le plus grand α. Il faut donc déterminer le plus grand α tel que x ∈ Rn:
< s, x > +α ≤ f(x).
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Table des matières
1 Introduction
2 Éléments d’analyse convexe
2.1 Domaine d’une fonction
2.2 Ensemble convexe
2.3 Fonction convexe
2.4 Combinaison convexe
2.5 Enveloppe convexe
2.6 Inégalité de Jensen
2.7 Epigraphe d’une fonction
3 Le Sous différentiel au sens de l’analyse convexe
3.1 Introduction
3.2 Gradient
3.3 Sous-gradient et sous différentiel
3.4 Opération sur les fonctions convexes
3.5 Application à l’optimisation
3.6 Règle de calcul du sous différentiel
3.7 Transformé de Fenchel ou conjugué convexe
4 Le sous-différentiel au sens de Clarke
4.1 Introduction
4.2 Définitions et propriétés basiques
4.3 La dérivée directionnelle généralisée
4.4 Sous-différentiel de Clarke :Propriétés
4.5 Règles de calcul du sous-différentiel de Clarke
5 Conclusion
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