Le sous-différentiel au sens de Clarke 

Le sous-différentiel au sens de Clarke 

 Introduction

En mathématiques, et plus précisément en analyse convexe, le sousdifférentiel est un concept permettant de décrire la variation locale d’une fonction convexe non nécessairement différentiable dans un sens classique ; celui au quel on attache aujourd’hui le nom de Fréchet. Au lieu d’être la pente de l’application linéaire tangente (c’est à dire la dérivée) au point considéré, qui n’existe pas nécessairement, le sous différentiel d’une fonction convexe est l’ensemble des pentes de tous les minorants affines de la fonction , qui sont exactes en ce point ,c’est à dire qui en ce point la même valeur que la fonction convexe qu’elle minorent.On sait que la notion de dérivée est fondamentale en analyse car elle permet d’approcher localement des fonctions par des modèles linéaires, plus simples à étudier. Ces modèles fournissent des renseignements sur les fonctions qu’ils approchent, si bien que de nombreuses questions d’analyse passent par l’étude des fonctions linéarisées (stabilité, inversibilité locale, etc).

On rencontre beaucoup de fonctions convexes qui ne sont pas différentiables au sens classique, en particulier lorsque celles-ci résultent de constructions qui n’ont rien pour assurer la différentiabilité des fonctions qu’elles produisent. Il en est ainsi de la fonction duale (en) associée à un problème d’optimisation sous contraintes, pour en citer un exemple emblématique. Pour ces fonctions convexes non lisses, le sous-différentiel joue donc un rôle similaire à celui de la dérivée des fonctions plus régulières. La notion de sous-différentiel connaît diverses extensions aux fonctions non nécessairement convexes, par exemple aux fonctions localement lipschitziennes qu’on va traiter dans le deuxième chapitre . Dans la suite, nous nous intéressons essentiellement à la classe des fonctions convexes. Ces hypothèses requièrent un outil spécial :

le sousdifférentiel d’analyse convexe, noté @f(x).Les fonctions convexes apparaissent abondamment dans l’ingénierie et permettent de modéliser de nombreux phénomènes non linéaires (équations de la physique, traitement du signal, théorie des jeux et de l’économie, statistiques…). Elles ont des propriétés remarquables qui permettent d’analyser plus facilement leurs propriétés et aussi de les minimiser efficacement. De nom-  breux problèmes non convexes irrésolvables peuvent être approchés par des problèmes convexes qui eux sont presque systématiquement minimisés en des temps rapides. Mes remerciements s’adressent à l’auteur Aude Rondepierre du cours Introduction à l’optimisation convexe non différentiable.

 Ensemble convexe

Définition

 Les trois premiers dessins sont des exemples d’ensembles convexes en 2 dimensions, Les autres sont des exemples d’ensembles non convexes (notez qu’il existe des segments dont les extrémités appartiennent à l’ensemble, qui ne sont pas entièrement contenus dans les ensembles).

 Exemples

d’enveloppes convexes. A gauche : enveloppe convexe d’un ensemble discret. A droite : enveloppe convexe d’un ensemble continu. La définition de la convexité permet d’obtenir un lemme souvent utile (notamment en probabilités)  L’épigraphe de la fonction est la zone grisée au-dessus du graphe de la fonction (en noir).

 Le Sous différentiel au sens de l’analyse

convexe

 Introduction

L’analyse convexe est un des piliers des mathématiques appliquées. Elle intervient dans la modélisation et la résolution numérique de problèmes dans pratiquement tous les secteurs où la modélisation mathématique est pertinente : en ingénierie, en statistiques, en physique, en économie, en finance, dans les sciences de l’information, pour la simulation numérique et des données. L’objectif de cette partie est de fournir les fondements de l’analyse convexe, ses implications en générale et précisément dans l’optimisation en relation avec le calcul sous différentiel  Hyperplans tangents d’une fonction convexe (2D) et d’une fonction concave (3D). Notez que l’hyperplan tangent est un minorant pour la fonction convexe et un majorant pour la fonction concave.

Interprétation géométrique

L’interprétation géométrique du sous-différentiel est la suivante. Il est formé par toutes les directions des hyperplans qui passent par le point (x; f(x)) et restent « sous » le graphe de la fonction f. Ces hyperplans sont appelés hyperplans support ou hyperplans d’appui au graphe de f en x.

 Opération sur les fonctions convexes

Définition

 Une fonction convexe est dite fermée ou semi-continueinférieurement (s.c.i.) si son épigraphe est une ensemble fermé.

Transformé de Fenchel ou conjugué convexe

La fonction conjuguée, aussi appelée transformée de Fenchel ou transformée de Legendre- Fenchel est utilisée pour :
– convexifier une fonction (en calculant la bi-conjuguée, i.e. la conjuguée de la conjuguée).
– calculer le sous-différentiel d’une fonction convexe.
– calculer des problèmes dits “duaux”, en optimisation. Ces problèmes apportent souvent beaucoup d’information sur les problème “primaux”, i.e. ceux que l’on souhaite résoudre.
– passer de la mécanique lagrangienne à la mécanique hamiltonienne,Elle a été introduite par Mandelbrojt en 1939 puis précisée et améliorée par Fenchel en 1949. Cette transformée généralise la transformation de Legendre (1787).L’application f ! f est appelée transformation de Lengendre-Fenchel. La fonction f est appelée conjuguée convexe, transformée de Fenchel ou transformée de Legendre- Fenchel de f.

 Le sous-différentiel au sens de Clarke

 Introduction

Le sous-différentiel de Clarke, dont il est principalement question ci-dessous, est une notion décrivant le comportement local d’une fonction en un point. Si la fonction est dérivable en ce point (il faut un peu plus que cela en réalité), ce sous-différentiel se confond avec la dérivée. Sinon c’est un ensemble d’approximations linéaires censées décrire toutes les possibilités de variation infinitésimale de la fonction. Ce sous différentiel est donc sujet à des variations brusques qui apparaissent lorsqu’on quitte un point de non-différentiabilité.

Définitions et propriétés basiques

Une fonction localement Lipschitzienne en x présente, ainsi, un taux d’accroissement qui est borné dans un voisinage de x. D’autre part, une fonction localement Lipschitzienne en x n’est pas forcement différentiable en x.

 La dérivée directionnelle généralisée

contrairement au cas convexe, l’hypothèse que la fonction f : Rn ! R est localement Lipschitzienne en x 2 Rn n’est pas suffisante pour l’existence des dérivées directionnelles de f. C’est pourquoi on doit généraliser le concept de dérivée directionnelle.

Remarque

 Rarement qu’on calcul les dérivés à partir des différences de quotients , donc le calcul des gradients généralisés va être effectué à l’aide des règles de calcul .

 Règles de calcul du sous-différentiel de Clarke

En général, les règles de calcul du sous-différentiel de Clarke ne comprennent que des inclusions. On peut, toutefois, obtenir des égalités sous une condition suffisante plus forte que la continuité Lipschitzienne locale .

Conclusion 
Dans ce travail on a défini les notions du sous différentiel au sens de l’analyse convexe et le sous différentiel au sens de Clarke, et leurs applications à l’optimisation, ainsi que les différentes propriétés et règles de calcul. il y a d’autres classes de fonction auxquelles on peut définir le sous différentiel avec un nouveau titre de propriété et règles de calcul.

Table des matières

1 Introduction
2 Éléments d’analyse convexe
2.1 Domaine d’une fonction
2.2 Ensemble convexe
2.3 Fonction convexe
2.4 Combinaison convexe
2.5 Enveloppe convexe
2.6 Inégalité de Jensen
2.7 Epigraphe d’une fonction
3 Le Sous différentiel au sens de l’analyse convexe
3.1 Introduction
3.2 Gradient
3.3 Sous-gradient et sous différentiel
3.4 Opération sur les fonctions convexes 
3.5 Application à l’optimisation
3.6 Règle de calcul du sous différentiel
3.7 Transformé de Fenchel ou conjugué convexe
4 Le sous-différentiel au sens de Clarke 
4.1 Introduction
4.2 Définitions et propriétés basiques
4.3 La dérivée directionnelle généralisée
4.4 Sous-différentiel de Clarke :Propriétés
4.5 Règles de calcul du sous-différentiel de Clarke
5 Conclusion 

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