Le rapport du lycee malagasy avec le savoir fonction et le sens de ce concept pour les eleves

Le présent mémoire est une réplication de la thèse de Doctorat de Nadia Amra intitulée « La transposition didactique du concept de fonction. Comparaison entre les systèmes d’enseignement français et palestinien. » La thèse-mère a été soutenue le 15 janvier 2004 devant la commission d’examen dirigée par Michèle Artigue à l’Université Paris 7- Denis Diderot. Notion théorique ayant des visées pratiques, la transposition didactique analyse l’écart entre le savoir savant et le savoir à enseigner d’une part, et entre le savoir à enseigner et le savoir enseigné d’autre part. L’approfondissement de cette notion sur la base d’une approche plus pratique pousse l’auteure à inscrire sa recherche dans le cadre plus général de l’anthropologie didactique.

La fonction fait partie intégrante des programmes des mathématiques dans les deux systèmes éducatif français et palestinien. Ayant des expériences d’enseignement dans les deux pays, l’auteure de la thèse-mère a remarqué la différence entre l’enseignement français et palestinien sur le concept de fonction. Pour l’introduction du concept de fonction, l’enseignement palestinien commence par une présentation directe de la fonction d’après la définition ensembliste. L’approche française se caractérise par une position centrale du concept de variation d’un point de vue intuitif vers un point de vue plus formel. La fonction est également un objet social et culturel. Elle est l’un des concepts mathématiques les plus utilisés en dehors des mathématiques. Elle est présente en sciences physiques, en géographie et dans les diverses branches de la science sociale. Sa présence dans la vie quotidienne de chaque individu est perceptible. Dans l’expérience de tous les jours, la notion de fonction apparait de façon implicite. On dira plutôt que tel phénomène est lié à tel autre ou dépend de tel autre.

STRUCTURE, PROBLEMATIQUE ET CADRES THEORIQUES

Structure de la thèse-mère

La thèse-mère comprend trois parties. La première partie est consacrée aux fondements théoriques de la recherche et à l’analyse historique du concept de fonction. Elle traite également la problématique et la méthode d’analyse des programmes et des manuels scolaires. La deuxième concerne la détermination du rapport institutionnel aux fonctions dans les deux institutions à travers l’analyse des programmes et manuels. Enfin, la partie expérimentale de la recherche qui traite les résultats d’un questionnaire proposé à des élèves français et palestiniens termine la thèse. Les résultats de cette analyse décrivent le rapport personnel de l’élève à l’objet fonction.

Historique du concept de fonction

Comme toutes notions mathématiques, la notion de fonction s’est évoluée au fil de siècle. Elle n’est pas brusquement apparue un jour dans la forme que nous lui connaissons. Pour faciliter la présentation, l’évolution du concept fonction est présentée par grandes périodes.

Les fonctions dans l’antiquité 

Chez les Babyloniens (2000 ans av. JC), l’étude de fonction est liée à l’astronomie. Les fonctions exprimées sous forme de table ont été créées dans un but pratique. Pour étudier le mouvement de certaines planètes, les Babyloniens ont utilisé des tables sexagésimales des carrés et racines carrées ou des cubes et racines cubiques. (Noguès, N., 1993).

Les fonctions chez les Grecs 

A l’époque de Pythagore (fin du VIe – début du Ve siècle avant J.-C), l’étude des coniques est apparue. Selon René de Cotret, S. (1988), ces courbes de troisième et quatrième degré étaient définies au moyen de construction géométrique. La fonction est utilisée implicitement comme outil pour la résolution de certains problèmes spécifiques. Mais on a remarqué que l’étude du concept fonction est absente pendant plusieurs siècles. C’est vers la fin du 14eme siècle en Europe qu’apparait une notion de fonction avec l’étude des phénomènes naturels comme la vitesse, la lumière et la densité. Représentées d’une façon qualitative, les fonctions sont décrites soit verbalement, soit par un graphe. L’absence de quantitatif dans ces représentations retarde l’évolution du concept.

Les fonctions selon Descartes (1596–1650)

En 1630, selon René de Cotret, S. (1988), Descartes a apporté une certaine révolution dans ce domaine. S’inspirant de l’algèbre symbolique de Viète (1591). Descartes introduit, grâce aux équations, l’idée de dépendance entre deux variables x et y. Une nouvelle façon de représenter les fonctions est apparue. Il s’agit de définir une fonction par le moyen de formules et d’équations. La définition d’une fonction par une description verbale, par un graphe ou encore une table est complétée par une définition analytique. Mais il faut noter que la notion de fonction reste attachée à l’étude des courbes dans un contexte général de géométrie analytique. Il n’y a toujours pas de terme général pour représenter l’idée de la dépendance entre des variables, ni la définition claire de la notion de fonction.

Les fonctions selon Bernoulli, Euler et Dirichlet

La première définition mathématique est introduite en 1718 par Bernoulli qui présente la fonction comme une expression analytique : «On appelle fonction d’une grandeur variable une quantité composée de quelque manière que ce soit de cette grandeur variable et de constantes » (Cité par Amra, 2004, p.17) Mais l’évolution fondamentale du concept de fonction est amenée par Euler en1748. La présentation de la fonction est basée comme, avec Bernoulli sur l’expression analytique. Cependant, Euler définit également le concept de constante et de variable. Il a conçu une classification des fonctions en fonction implicite, explicite et paramétrique. Restée essentiellement analytique, l’étude de fonction d’Euler distingue les vraies fonctions (ou fonction continue selon Euler) données par une seule expression analytique sur tout le domaine de la variable des autres fonctions discontinues dont l’expression analytique varie sur le domaine de la variable.

En 1755, Euler a aperçu l’existence de fonction qui ne peut pas être classée ni comme continue ni comme discontinue. Ce type de fonction ne peut pas être exprimé de façon analytique. Une nouvelle définition de la fonction sur la base d’une correspondance arbitraire entre des paires d’éléments est apparue. Selon Euler (1755) « Si certaines quantités dépendent d’autres quantités de telle manière que si les autres changent, ces quantités changent aussi, alors on a l’habitude de nommer ces quantités fonctions de ces dernières. (…) Si par conséquent, x désigne une quantité variable, alors toutes les autres quantités qui dépendent de x de n’importe qu’elle manière ou qui sont déterminés par x, sont appelées fonctions de x. » (Cité par Amra, 2004, p.19) .

Cette définition générale de la fonction a été utilisée par Fourrier, Lobatchevski et Dirichlet à partir de 1834. C’est le mathématicien Hankel qui a proposé en 1870 une définition affranchie du concept de continuité. Cette définition est appelée la définition de Dirichlet de la fonction. Selon Hankel (1870), « On dit que y est fonction de x si à chaque valeur de x d’un intervalle correspond une valeur bien définie de y sans que cela exige pour autant que y soit définie sur tout intervalle par une expression analytique de x. » (Cité par Amra, 2004, p.20).

Définition de Bourbaki 

Au 20eme siècle, les mathématiciens donnent une définition de la fonction sur la base de la théorie des ensembles. Bourbaki (1939) a proposé une définition de la fonction en tant qu’ensemble des couples ordonnés. Elle permet de lier logiquement les différentes branches de mathématiques où intervient ce concept, l’analyse classique, la géométrie (avec les projections et les transformations dans le plan) et l’algèbre dans l’étude des structures algébriques (groupe, espace vectoriel).

Table des matières

INTRODUCTION
PREMIERE PARTIE : PRESENTATION DE LA THESE MERE
Chapitre 1. STRUCTURE, PROBLEMATIQUE ET CADRES THEORIQUES
1. Structure de la thèse-mère
2. Problématique, questions de recherche et hypothèses
3. Historique du concept de fonction
3.1. Les fonctions dans l’antiquité
3.2. Les fonctions chez les Grecs
3.3. Les fonctions selon Descartes (1596–1650)
3.4. Les fonctions selon Bernoulli, Euler et Dirichlet
3.5. Définition de Bourbaki
4. Analyse du savoir fonction : objet mathématique et objet culturel
4.1. Fonction outil : de l’antiquité à 1600
4.2. Fonction expression analytique : 1600- 1755
4.3. Fonction moderne : 1755 à nos jours
5. Cadres théoriques
5.1. Transposition didactique et théorie anthropologique du didactique
5.2. Praxéologie mathématique
5.3. Perspective écologique
5.4. Sémiotique et les registres de représentation
5.5. Statut outil/objet (Douady, 1986)
Chapitre 2. METHODOLOGIE
1. Grille d’analyse
2. Cadres et registres
2.1. Cadre numérique
2.2. Cadre algébrique
2.3. Cadre fonctionnel
2.4. Cadre géométrique
2.5. Registres liés à l’enseignement de la fonction
Chapitre 3. SYNTHESE DES RESULTATS DE LA THESE –MERE
1. Caractéristiques des enseignements du concept fonction
2. Résultats du questionnaire élève
3. Réflexion
DEUXIEME PARTIE : LE RAPPORT DU LYCEE MALAGASY AVEC LE SAVOIR FONCTION ET LE SENS DE CE CONCEPT POUR LES ELEVES
Chapitre 4. PROBLEMATIQUE, HYPOTHESES ET METHODOLOGIE DE LA REPLICATION
1. Problématique
2. Hypothèses
3. Méthodologie
Chapitre 5. ANALYSE DES PROGRAMMES ET MANUELS
1. Analyse des programmes scolaires
1.1. Présentation des programmes de mathématiques des lycées malagasy
1.2. Objectifs pédagogiques
1.3. Instructions officielles
1.4. Objectifs des programmes des mathématiques au lycée
1.4.1. Objectifs des Mathématiques en classe de 2nde
1.4.2. Objectifs des mathématiques en premières scientifiques
1.4.3. Objectifs des Mathématiques en Terminales scientifiques
2. Analyse des objets d’enseignement
2.1. Classe de seconde
2.2. Classes de premières scientifiques
2.3. Classes terminales scientifiques
3. Analyse des manuels scolaires
3.1. Choix de manuels
3.1.1. Classe de seconde
3.1.2. Classe de première
3.1.3. Classe de terminale
3.2. Plan d’étude
3.3. Analyse du manuel de la classe de seconde
3.3.1. Organigramme du cours
3.3.2. Description et analyse du cours
3.3.3. Analyse des exercices
3.4. Analyse du manuel de la classe de première
3.4.1. Organigramme du cours
3.4.2. Analyse et description du cours
3.5. Analyse du manuel pour la classe de terminale
3.5.1. Organigramme du cours
3.5.2. Description du cours
3.5.3. Analyse des exercices
Chapitre 6 -QUESTIONNAIRE ELEVE
1. Population concernée par le test
2. Analyse à priori du questionnaire
3. Grille d’analyse des réponses
4. Présentation globale des résultats du test
4.1. Test sur la reconnaissance d’une fonction
4.2. Test sur les différents points du programme
5. Analyse des résultats du test
5.1. Analyse des résultats du test sur la reconnaissance d’une fonction
5.2. Analyse des résultats du test sur les différents points du programme
CONCLUSION GENERALE
BIBLIOGRAPHIE
ANNEXES

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