Soutenance mémoire
Houle irrégulière
En réalité, la houle est rarement définie par une seule période, une seule hauteur et une seule direction. Les tests réalisés durant ce travail ont été tous menés en canal de longueur limitée. Par conséquent, le caractère multidirectionnel de ce phénomène ne sera pas traité. Il existe deux approches d’analyse pour caractériser une houle irrégulière :
– Une analyse statistique dans le domaine temporel qui consiste à caractériser et effectuer un traitement des différentes vagues présentes dans un champ de houles donné.
– Une analyse spectrale qui consiste à décomposer la surface libre en une superposition d’ondes monochromatiques et en déduire par la suite la répartition fréquentielle de l’énergie.
En ce qui concerne l’analyse spectrale, l’objectif consiste à effectuer une transformation du domaine temporel vers le domaine fréquentiel. Pour cela, la technique de la transformée de Fourier rapide (FFT) est fréquemment utilisée. Une houle spectrale dans le domaine fréquentiel est caractérisée principalement par le terme densité spectrale (S(f)) qui représente la répartition de l’énergie de la vague en fonction de la fréquence. Plusieurs formulations mathématiques de spectres ont été élaborées dans le but de reproduire au mieux les états de mer réels.
Spectre de Pierson-Moskowitz
Le spectre de Pierson-Moskowitz a été souvent utilisé pour d’écrire l’état de mer formée principalement en eau peu profonde. Il a été proposé par Pierson-Moskowitz (1964) après l’analyse d’un nombre important d’enregistrements effectués en Atlantique Nord. Ce spectre est parmi les plus simples à utiliser pour mieux décrire la distribution de l’énergie des vagues.
Il peut être décrit par la formulation suivante :
Vague solitaire
John Scott Russel (1845) a été le premier à décrire ce phénomène non linéaire, appelé par la suite vague solitaire. Cette vague résulte d’un équilibre entre la non-linéarité et la dispersion (Sandee and Hutter (1991)). Russel (1845) était en train d’observer un bateau entrainé par deux chevaux le long du canal de l’Union à Hermiston (USA) (Figure 1.4). Quand le bateau s’est soudainement arrêté, John Scott a remarqué la présence d’une vague se propageant à une grande vitesse sans changement de forme. Elle était tellement stable qu’il a pu la poursuivre à cheval sur plusieurs kilomètres. Dans l’objectif de comprendre le phénomène, il a construit un canal et essayé de reproduire ce qu’il a aperçu. Cette découverte fut une réalisation scientifique remarquable à cette époque.
Méthodes numériques
En plus des solutions analytiques, il existe dans la littérature des méthodes d’approximation pour le calcul des ondes solitaires. Une approximation asymptotique à l’ordre 9 a été par exemple proposée pour la première fois par Fenton (1972). Cependant, ces approximations d’ordre élevé sont valides seulement pour une non-linéarité faible. Pour faire face à cette problématique, plusieurs approches numériques ont été proposées dans les travaux de Fenton and Rienecker (1982) et Okamoto and Sh̄ oji (2002). Nous pouvons aussi évoquer la méthode des équations intégrales de frontière appliquée pour le calcul des ondes solitaires (Hunter and Vanden Broeck (1983) ; Maklakov (2002)). L’algorithme de Tanaka (1986) représente également l’une des méthodes les plus utilisées. La figure 1.6 de Chen et al. (2015) montre une comparaison graphique entre les profils d’ondes solitaires issus des expériences et ceux issus des modèles de Green-Naghdi (1976) et Tanaka (1986). Dans le même contexte, nous citons les travaux de Clamond et Dutykh (2013) qui ont proposé une méthode numérique basée sur les itérations de Petviashvili permettant de faire un calcul exact des ondes solitaires solution des équations d’Euler (Clamond and Dutykh (2013)).
Déferlement des vagues
Cas des vagues régulières
D’une façon générale, le déferlement est défini comme étant la déformation rapide du profil d’onde. C’est le moment où le front de l’onde devient vertical. Concrètement, le déferlement se produit pour deux raisons : soit la cambrure de la houle (Γ=H/λ) devient trop importante, soit c’est la non-linéarité (ε = A/h0) qui dépasse un certain seuil. En eau peu profonde, la profondeur est le facteur dominant pour le déferlement. Selon la pente de la plage, la cambrure et la non-linéarité des vagues incidentes, il existe trois types de déferlement (Figure 1.7). Battjes (1974) a défini un paramètre de déferlement dans le cas des vagues régulières ξm qui permet d’estimer à quel type correspond le déferlement (Equation 1.15). Ce paramètre est une forme modifiée du nombre d’Iribarren proposé antérieurement par Iribarren et Nogales (1949).
Cas des vagues solitaires
Concernant l’onde solitaire, McCowan (1891) était le premier à établir une formule empirique qui prédit la hauteur de déferlement Ab sur un fond plat connaissant la hauteur de l’eau h0. La figure 1.8 illustre les différents paramètres caractéristiques du déferlement de l’onde solitaire. Soixante-trois ans plus tard, Ippen et Kulin (1954) ont travaillé sur les ondes solitaires se propageant sur 3 plages de différentes pentes. Ils ont trouvé que le rapport Ab/hb est constant et égal à 1,2 (=0,78 dans la théorie de McCowan) sur un fond de pente très douce (β=1/43) indépendamment de l’onde solitaire incidente. Selon Ippen et Kulin (1954), ceci n’invalide pas la théorie de McCowan (1891), puisque la moindre valeur de pente peut impacter considérablement la théorie. Concernant les pentes les plus raides, Kulin et al. (1954) ont montré que ce ratio (Ab/hb) augmente avec l’augmentation de la pente et avec la diminution de la hauteur initiale de l’onde solitaire au large (A0). En 1997, Grilli a réussi à trouver une formule plus générale, basée sur des études expérimentales précédentes, qui permet de déduire l’amplitude Ab et la profondeur locale de déferlement hb d’une onde solitaire soit déferlante soit non déferlante (Equations 1.20, 1.21 et 1.22). Ce travail a été effectué pour une large gamme d’amplitudes d’ondes solitaires et de pentes. Grilli et al. (1997) ont introduit un critère (équation 1.19)) qui permet de prédire si l’onde solitaire est déferlante ou pas. Selon le paramètre s0 (Equation 1.19), on distingue 3 types de déferlement de l’onde solitaire :
Focalisation dispersive
Définition
A la différence de la vague solitaire, la surface réelle de la mer peut être décrite comme la superposition de nombreux paquets d’ondes se propageant dans différentes directions avec différentes vitesses. La focalisation dispersive est la focalisation spatio-temporelle d’un train d’ondes modulé en fréquence (New wave theory : Tromans et al. (1991) ; Taylor and Williams (2004)). Ce phénomène est également connu pour avoir joué un rôle important dans la formation des vagues extrêmes (Baldock et al. (1996), Nepf et al. (1998) ; Porubov et al. (2005), Kharif et al. (2003), etc.). La focalisation d’un train d’ondes est due principalement à la dispersion (Figure 1.12). Les ondes longues se propagent à une vitesse plus importante que les ondes courtes situées initialement devant. Par conséquent des vagues d’amplitudes importantes se forment et se produisent en un point qu’on appelle le point de focalisation, xb (Touboul et al. (2006) ; Merkoune et al. (2013)). En se basant sur la théorie linéaire, l’élévation de surface libre pour un train d’ondes peut s’écrire comme suit :
Evolution spatiale des paramètres de formes
On appelle paramètres de forme les deux moments d’ordre supérieur à deux de l’élévation de surface libre. Il s’agit de deux paramètres caractéristiques qui permettent d’analyser plus finement la forme de la distribution correspondant au train d’ondes. D’une part, le moment d’ordre trois, appelé aussi paramètre d’asymétrie (Skewness ; λ3), mesure l’asymétrie verticale de l’élévation de surface libre. D’aut re part, le moment d’ordre quatre, appelé aussi paramètre d’aplatissement (Kurtosis ; λ4), mesure l’étroitesse de l’enveloppe extérieure de l’élévation de surface libre. Ce paramètre permet de savoir si, et jusqu’à quel point, la distribution est étroite (Hair et al. (2014)). Son accroissement peut indiquer l’apparition des vagues extrêmes (Mori et al. (2011)). Les formules (1.41) et (1.42) sont utilisées pour estimer ces deux paramètres :
Spectres d’ordre supérieur
Dans les parties précédentes, ce sont les deux approches spectrale et stochastiques qui sont utilisées pour caractériser les variations spatiales de l’énergie et des paramètres de formes. Ces deux approches ne sont pas suffisantes dans la caractérisation des interactions non-linéaires entre les composantes fréquentielles. Dans cette partie nous présentons l’approche bispectrale par ondelettes. A la différence de l’approche spectrale qui transforme le signal en une somme de sinus simple, l’approche bispectrale par ondelettes consiste à transformer le signal temporel en une somme d’ondelettes mère. Parmi les ondelettes mères les plus citées et utilisées dans la littérature, nous citons celle de Morlet (Equation 1.43), Paul (Equation 1.44) et Dog (Equation 1.45) (Figure 1.35).
Runup des vagues focalisées
Dans le cas général, les composantes subharmoniques (faibles fréquences) qui sont présentes dans un spectre donné peuvent correspondre en partie aux ondes liées et aux ondes parasites liées au mode de génération (Siriam et al. (2015) et Borthwick et al. (2006)). En effet, les ondes subharmoniques se propageant devant le train d’onde (sous forme d’une petite bosse), engendrent une pénétration amplifiée du bore dans le rivage. Par conséquent, le runup augmente (Whittaker et al. (2017) et Orszaghova et al. (2014)).
La figure 1.39.a et 1.39.b de Orszaghova et al. (2014) représente le résultat d’une simulation numérique de l’évolution spatio-temporelle d’un train d’ondes en utilisant une génération du premier et du second ordre. Leur modèle numérique est basé sur les équations de Boussinesq pour les trains d’ondes non-déferlants et sur les équations de Saint Venant (NLSW) pour les trains d’ondes déferlants. Nous pouvons observer une légère différence entre les deux figures. D’une part, la crête centrale qui commence à t = 40 s, et celle de gauche sont légèrement plus importantes dans le cas d’une génération du premier ordre. D’autre part, le creux de gauche est plus important dans le cas d’une génération du second ordre.
Les figures 1.39.c, 1.39.d, montre le résultat d’un filtre passe bas (< 0,5 Hz) effectué pour isoler les composantes basses fréquences du même train d’onde. L’utilisation d’une génération du second ordre modifie considérablement le signal correspondant aux composantes basses fréquences. Dans la génération du premier ordre, la longue vague parasite de fréquence f < 0,5 Hz se propage à une vitesse plus importante que celle du train d’ondes principal. Whittaker et al. (2017), étaient parmi les premiers à tenter de réaliser expérimentalement une génération du second ordre dans le but d’étudier le runup correspondant aux trains d’ondes.
Comme dans Orszaghova et al. (2014), ils se sont basés sur la formulation théorique de Schäffer (1996) pour effectuer une correction partielle du signal généré. Cette correction consiste à ajouter des termes correctifs au signal d’entrée. Ces termes correspondent à des vagues régulières de fréquences f < 0,5Hz mais de phase Ф = π. En l’ajoutant à ces termes correctifs, les composantes basses fréquences parasites tendent vers 0. La figure 1.40 montre la différence frappante entre le runup fourni par les deux types de générations (avec et sans correction). Une génération du premier ordre engendrera sans aucun doute un runup surestimé. Whittaker et al. (2017) a mentionné aussi que les corrections effectuées dans leur travail ne sont pas suffisantes pour supprimer totalement les composantes subharmoniques parasites.
Sondes résistives
Les profils de surface libre des vagues générées dans le canal à houle sont enregistrés par le biais de sondes résistives composées chacune de deux tiges en cuivre de 50 cm de longueur (Figure 2.4). Pour maintenir la précision de mesure, les deux tiges sont frottées au début de chaque expérience avec une feuille abrasive (à grains super fin) pour enlever les incrustations de calcaire provenant de l’eau qui, avec le temps, peuvent fausser les résultats.Les sondes sont montées chacune sur un support horizontal placé le long du canal (Figure 2.4).
Le fonctionnement d’une sonde à surface libre repose sur le principe de la variation de la résistance de la couche d’eau immergée (en mV). Au début de chaque expérience, un étalonnage de sonde est prérequis. Il est effectué avant de commencer les acquisitions (une fois par jour).
Cette opération a pour finalité de déterminer la relation linéaire qui lie la tension en mV qui s’affiche lors de l’acquisition et le déplacement vertical de la surface libre (en mètre).
L’étalonnage consiste en trois relevés statiques de la surface libre correspondant à trois différents niveaux d’immersion des sondes. La corrélation trouvée sera appliquée aux données recueillis en faisant une approximation linéaire.
La variation du niveau d’eau h0 = 0,3 m est contrôlée le long des tests réalisés et limitée à ±1,5 mm. Cinq minutes est le temps requis entre deux tests successifs pour avoir une eau calme. Dans le but de réduire l’effet de la réflexion, les mesures sont effectuées avant le retour des composantes réfléchies par la plage vers le point de mesure. Nous avons réalisé plusieurs fois le même type d’essais afin de s’assurer de la bonne répétabilité des tests (± 3% de différence). Les données expérimentales recueillies ont été échantillonnées avec une fréquence d’échantillonnage fe = 50 Hz.
Dispositif de visualisation et traitement d’image
Dispositif de visualisation
Les enregistrements vidéo ont été utilisés comme outil afin de capturer et suivre certains phénomènes d’écoulement complexes tel que le déferlement. Une caméra rapide (100 images/seconde), AVT Pike IEEE 1394.b modèle F-0.32 (Figure 2.5), est placée à 1,5 m du canal et en face des parois vitrées pour visualiser le point et la hauteur à laquelle la vague déferle. Elle offre un champ de vision de 640 x 480 pixels. Au cours des essais de répétabilité nous avons détecté un déplacement de la zone de déferlement qui était inférieur à ±1,5cm.
Il est important de signaler que les intensités de chaque pixel des images acquises sont contenues dans des matrices. Les pixels sont convertis en unité de longueur à partir de la visée d’un bloc en plastique servant pour étalonner, placé juste en face de la caméra et collé sur les parois latérales du canal. L’épaisseur, la largeur et la longueur de ce bloc sont respectivement : 1,5 cm, 5 cm et 13,5 cm. La résolution spatiale est de l’ordre de 0,46 mm/pixel. Le film de déferlement est enregistré et ensuite séquencé en intervalles de temps réguliers. Ces séquences sont ensuite utilisées pour la reconstruction morphologique de la vague au voisinage du déferlement. Dans notre étude, chaque séquence vidéo contient 1000 images (i.e. 10 s d’acquisition).
Diagramme spatio-temporel (DST)
Pour tous les trains d’ondes générées, les élévations de la surface libre ont été enregistrées à différents endroits le long du canal avec deux sondes résistives (Figure 2.15). En effet, la sonde 1 est fixée en x = 4 m et utilisée comme une référence temporelle. La sonde 2 est déplacée de 0,2 m après chaque test jusqu’à la dernière acquisition située en x = 14 m. En d’autres termes, chaque test est répété 50 fois et l’élévation de surface libre est décrite sur une distance de 10 m (50 × 0,2 =10 m). Le générateur de vague est arrêté pendant 5 minutes entre deux tests successifs afin d’avoir une surface d’eau calme avant chaque enregistrement. La durée de chaque signal temporel est ∆T = 35 s avec un pas de temps ∆t = 0.02 s.
Paramètres caractéristiques d’un train d’ondes
Les caractéristiques d’un train d’ondes incluant la non-linéarité locale S0, la fréquence caractéristique fs et le nombre d’onde caractéristique ks, sont décrites ci-dessous. La nonlinéarité locale est déterminée à partir de l’élévation de la surface libre obtenue par la sonde résistive située à 4 m du générateur car nous considérons que le train d’ondes est bien formé à partir de cette abscisse. Dans cette partie nous reprenons les équations 1.39, 1.40 et 1.35 pour donner plus de détails pratiques sur la manière avec laquelle S0, fs et ks sont calculés.
Spectrogrammes
Dans notre étude, on définit les spectrogrammes comme étant des graphes représentant l’évolution spatiale de la forme du spectre et de sa densité entre x = 4 m à x = 14 m. La figure 2.22 illustre un spectrogramme d’un train d’onde gaussien (fp = 0,66 Hz). Ce spectrogramme montre que les densités spectrales significatives se situent principalement dans la gamme des fréquences de contrôle (entre 0,91 = 0,6/0,66 et 1,36 = 0,9/0,66). Les lignes en pointillés indiquent les limites des régions spectrales. L’intensité de la densité spectrale adimensionnée (/E01) est indiquée par la barre de couleur.
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Table des matières
Introduction générale
1. Les tsunamis
2. Les vagues scélérates
3. Houles tempétueuses
4. Contexte scientifique
1. Etude bibliographique
1. 1. Caractéristiques des vagues
1. 2. Houle de Stokes
1. 3. Houle irrégulière
1. 3. 2. Spectre de Pierson-Moskowitz
1. 3. 3. Spectre de JONSWAP
1. 4. Vague solitaire
1. 4. 1. Modèles théoriques d’ondes solitaires
1. 4. 2. Déferlement des vagues
1. 4. 3. Runup des vagues solitaires
1. 5. Focalisation dispersive
1. 5. 1. Définition
1. 5. 2. Méthodes de génération CWA et CWS
1. 5. 3. Autres méthodes de génération
1. 6. Analyse et caractérisation des trains de vagues irréguliers
1. 6. 1. Variation spatiale des paramètres caractéristiques d’un train d’ondes
1. 6. 2. Dissipation de l’énergie sur le fond plat
1. 6. 3. Variation spatiale de l’énergie spectrale et transferts d’énergie
1. 6. 4. Evolution spatiale des paramètres de formes
1. 6. 5. Spectres d’ordre supérieur
1. 6. 6. Runup des vagues focalisées
1. 7. Modélisation numérique
1. 7. 1. Revue bibliographique
1. 7. 2. Choix du modèle numérique
1. 7. 3. Éléments principaux du modèle numérique (mPeregrine)
I. 8. Synthèse
2. Matériel et méthodes
2. 1. Introduction
2. 2. Dispositif expérimental et matériel de mesure
2. 2. 1. Canal à houle
2. 2. 2. Sondes résistives
2. 2. 3. Dispositif de visualisation et traitement d’image
2. 3. Transformation de Fourier rapide
2. 4. Transformation en ondelettes
2. 4. 1. Définition
2. 4. 2. Bicohérence
2. 5. Diagramme spatio-temporel (DST)
2. 6. Paramètres caractéristiques de l’onde solitaire
2. 7. Paramètres caractéristiques d’un train d’ondes
2. 7. 1. Paramètre local d’un train d’ondes
2. 7. 2. Fréquence caractéristique
2. 8. Partitionnement en régions fréquentielles
2. 9. Spectrogrammes
2. 10. Synthèse
3. Ondes solitaires
3. 1. Introduction
3. 2. Génération de l’onde solitaire
3. 2. 1. Forme de l’onde solitaire
3. 3. Le shoaling de l’onde solitaire
3. 4. Le processus de déferlement des vagues solitaires
3. 5. Le processus du runup des vagues solitaires
3. 5. 1. Résultats expérimentaux et comparaison avec des formulations théoriques
3. 5. 2. Résultats de la simulation numérique
3. 6. Synthèse
4. Trains d’ondes gaussiens
4. 1. Introduction
4. 2. Génération des trains d’ondes gaussiens
4. 3. Variation spatiale de la fréquence de pic
4. 4. Variation spatiale de la fréquence caractéristique
4. 5. Variation spatiale de l’énergie et transferts énergétiques
4. 5. 1. Partitionnement fréquentiel des régions spectrales
4. 5. 2. Variation spatiale de l’énergie spectrale dans les différentes régions
4. 6. Variation spatiale des paramètres de forme
4. 7. Variation spatiale des interactions non-linéaires entre les composantes fréquentielles
4. 8. Résultats de la simulation numérique et discussion
4. 8. 1. Introduction
4. 8. 2. Variation spatiale de la fréquence de pic
4. 8. 3. Variation spatiale de l’énergie spectrale et transferts énergétiques
4. 8. 4. Variation spatiale des paramètres de forme
4. 9. Synthèse
5. Trains d’ondes non-gaussiens
5. 1. Introduction
5. 2. Génération des trains d’ondes non-Gaussiens
5. 3. Variation spatiale de la fréquence de pic (fp)
5. 4. Variation spatiale de la fréquence caractéristique (fs)
5. 5. Variation spatiale de l’énergie sur le fond plat
5. 6. Variation spatiale de l’énergie spectrale et transferts d’énergie
5. 6. 1. Partitionnement fréquentiel des régions spectrales
5. 6. 2. Variation spatiale de l’énergie spectrale dans les différentes régions
5. 7. Evolution spatiale des paramètres de forme
5. 8. Evolution spatiale de la bicohérence
5. 8. 1. Cas d’un train d’ondes de JONSWAP de faible S0
5. 8. 1. Cas d’un train d’ondes de JONSWAP de forte S0
5. 8. 1. Cas d’un train d’onde de Pierson-Moskowitz
5. 9. Résultats de la simulation numérique et discussions
5. 9. 1. Variation spatiale de la fréquence de pic
5. 9. 2. Variation spatiale de l’énergie spectrale et transferts énergétiques
5. 9. 3. Variation spatiale des paramètres de forme
5. 10. Synthèse
6. Conclusions et perspectives
Références
Liste des figures
Liste des tableaux
Annexes
A. Physical Modelling Of Extreme Waves: Gaussian Wave Groups And Solitary Waves In The Nearshore Zone
B. Experimental and numerical study of the propagation of focused wave groups in the nearshore zone
