LE PROBLEME INVERSE EN ELECTROMAGNETISME

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Phase de comparaison calcul-mesure

Dans le cas qui nous intéresse, même en prenant en compte les incertitudes de mesure et de calcul, nous observons des différences lors de la comparaison des résultats des tests électromagnétiques expérimentaux et numériques.
Nous souhaitons expliquer ces différences résiduelles. Compte tenu de la qualité de fabrication considérée, le support de la distribution spatiale de propriétés matériaux est supposé parfaitement maitrisé. C’est-à-dire que l’écart géométrique entre la maquette numérique et l’objet fabriqué est négligeable par rapport à l’écart de propriétés matériaux. De plus, cet écart local de propriétés matériaux entre les objets numérique et réel n’est que de quelques pourcents. C’est ce faible écart que nous souhaitons quantifier à partir des résultats des tests électromagnétiques numérique et expérimentaux.

HYPOTHESES ET DONNEES INITIALES

Le contexte et l’existant conduisent à des hypothèses dans la réalisation de l’objectif.

1) Tout d’abord, « la physique » d’intérêt est l’électromagnétisme : les propriétés d’intérêt sont les propriétés électromagnétiques des matériaux et les sollicitations testées sont aussi de nature électromagnétique.
2) L’intérêt, les moyens de simulations et ceux de mesures au CEA CESTA imposent de considérer le problème dans le domaine fréquentiel (domaine de Fourier), dans la bande de fréquence SHF2.
3) Les objets sont conçus axisymétriques, c’est-à-dire que la distribution de propriétés matériaux du cas de référence est axisymétrique.
4) Les matériaux d’intérêts sont potentiellement magnétiques et diélectriques, dispersifs en fréquence et anisotropes. Cela signifie que leur réponse à un champ électromagnétique dépend de la direction de propagation et de la fréquence de ce champ.
5) Le comportement des matériaux est en plus considéré passif, linéaire vis-à-vis de l’onde électromagnétique et non chiraux. Cela signifie que les relations de constitution des matériaux lient linéairement leurs propriétés électromagnétiques au champ appliqué et que leurs réponses électrique et magnétique ne sont pas couplées.
6) La distance entre l’objet et les antennes d’émission et de réception et la taille de l’objet sont telles que l’on considère le problème inverse à partir d’observations en champ proche.
7) Les erreurs de discrétisation sont considérées négligeables. C’est-à-dire que le test numérique discrétisé est considéré identique au test numérique continu (par opposition à discret).

DU PROBLEME INVERSE AUX MODELES PERTURBATIFS

Il est important de rappeler que l’objectif consiste à déterminer la distribution spatiale de chaque propriété électromagnétique considérée. Le nombre d’inconnues est alors potentiellement conséquent : pour une seule propriété matériaux, il faut déterminer sa valeur en chaque point de l’objet. D’un point de vue numérique, si la fonction de base sur chaque maille est constante, il y a une inconnue par maille. C’est potentiellement un problème inverse de très grande dimension et constitue l’une des difficultés majeures du problème considéré.
Nous souhaitons alors profiter au maximum des particularités de notre problème3 pour compenser cet inconvénient.

Les hypothèses 10) et 11) (cf. §III p. 29) incitent naturellement à simplifier le problème inverse considéré. La solution du problème inverse est cherchée comme des variations locales de propriétés matériaux autour d’un cas de référence. Le support de la distribution solution du problème est connu : c’est celui de la référence.
Les zones de prélèvement du champ électrique sont extérieures à l’objet et à toutes interfaces matérielles. Cela signifie que le champ électromagnétique en ces points est continu.
Cette considération conduit à considérer le caractère dérivable du champ aux points de mesure. De plus, l’objet fabriqué doit rester intègre au test : le cadre de ces travaux est un contrôle non destructif pour l’objet. Ainsi, le test électromagnétique expérimental constitue une source de données pauvre : seules quelques quantités (les champs électromagnétiques dans notre cas) peuvent être mesurées et uniquement en certains points (impossible de mesurer le champ électromagnétique au cœur des matériaux).

Au contraire, le test numérique constitue une source de données très riche : il est potentiellement possible d’évaluer n’importe quelle quantité (champs, courants, potentiels etc…) en tous points du domaine de test (en tout point du maillage). Ainsi, le test électromagnétique numérique constitue une excellente référence à partir de laquelle l’impact de toute variation peut être observé ; à partir de laquelle le test électromagnétique expérimental peut être comparé.

DES PROPRIETES MATERIAUX A LA CONDITION D’IMPEDANCE : MODELES D’INTERACTION ONDE/MATIERE

Comme nous le verrons, les équations de Maxwell macroscopiques expriment la propagation d’une onde électromagnétique dans un milieu. Elles constituent un modèle de propagation. Pour expliquer comment une onde se propage dans un matériau, il faut y ajouter un modèle d’interaction onde-matière.

Dans le cadre qui nous intéresse, les propriétés électromagnétiques intrinsèques des matériaux peuvent se résumer à leur perméabilité magnétique et leur permittivité diélectrique. Ce sont des quantités macroscopiques volumiques qui expriment la capacité de réaction macroscopique d’un matériau à une sollicitation électromagnétique. Les relations constitutives du matériau expriment cette réaction : elles constituent un modèle d’interaction onde-matière volumique. Ainsi, après discrétisation, il est possible d’évaluer numériquement la propagation d’une onde électromagnétique à travers tout type de distribution volumique de matériaux. Un tel modèle présente l’avantage d’être très général : parmi les matériaux connus, très peu ne peuvent être modélisés par un tel modèle. Même un simple modèle linéaire suffit à représenter les interactions ondes-matière de la majorité des matériaux utilisés. Par contre, puisqu’il s’agit d’un modèle volumique, la résolution numérique nécessite une discrétisation tridimensionnelle dont la taille des mailles est en particulier proportionnelle à la longueur d’onde5. Ainsi, pour un objet de grandes dimensions par rapport à la longueur d’onde, la résolution du problème ainsi modélisé peu devenir très coûteuse en calcul.

Lorsque la puissance de calcul n’est pas suffisante, on cherche naturellement à simplifier ce modèle. L’élément coûteux d’un modèle linéaire volumique est en priorité la dimension du système et donc le caractère volumique. On cherche alors un modèle d’interaction onde-matière de dimension inférieure. Le concept d’impédance surfacique est initialement introduit par Rytov [1] et Léontovich dans les années 1940 pour traiter le problème de la diffraction par un objet diélectrique à fort indice. Leur analyse est basée sur un développement asymptotique où le paramètre considéré faible est l’inverse de l’indice du matériau. Un tel modèle réduit l’interaction onde-matière dans tout le volume de matériau à une condition équivalente à la surface du matériau
4 De façon générale, la résolution maitrisée d’un problème inverse nécessite une connaissance fine du problème direct, du modèle utilisé et des hypothèses faites (Figure 14). La propagation interne au matériau n’est alors plus évaluée réduisant drastiquement le domaine maillé et donc le nombre d’inconnues.

Cette approche est globale et ne requiert en particulier aucune hypothèse sur la nature du champ électromagnétique. Cependant, ce modèle est complexe : avant même le calcul de propagation de l’onde, il nécessite l’évaluation d’une intégrale sur toute la surface de l’objet pour estimer l’impédance surfacique en un point de l’objet. Il reste encore trop coûteux en calcul pour les ressources disponibles à l’époque et aujourd’hui, le faible gain de temps ne justifie pas de privilégier ce modèle au modèle volumique. On trouve de nombreux travaux sur le sujet regroupés sous ce qu’on appelle « les impédances d’ordres élevés ».

En ne considérant que les termes d’ordre faible, le modèle se simplifie. En particulier, Léontovich [2] propose un modèle d’ordre zéro portant aujourd’hui son nom où l’impédance en chaque point de la surface ne dépend que des quantités sous la surface en ce point. L’évaluation de l’impédance surfacique est réduite au calcul d’une expression vectorielle sans intégrale. C’est ce qu’on appelle un modèle local. Cette simplification introduit de nombreuses hypothèses mais présente l’avantage de réduire considérablement le problème et de rendre la résolution bien moins coûteuse. Aujourd’hui, le modèle d’impédance surfacique de Léontovich dispose d’une notoriété excellente dans le monde industriel. Sa simplicité lui permet en particulier d’évaluer à moindre coût et avec une précision suffisante, la signature radar de grands objets (avions, éoliennes, immeubles etc…). C’est en plus un excellent complément d’un modèle volumique. En effet, la résolution des équations de Maxwell avec un modèle d’interaction onde-matière volumique est d’autant plus coûteuse que la fréquence augmente. Par contre, à matériaux donnés, la précision du modèle d’impédance surfacique de Léontovich est d’autant meilleure que la fréquence augmente.

Ainsi, nous jugeons que les deux types de modèles d’interaction onde-matière sont pertinents dans le cadre de notre travail. Nous proposons alors d’étudier le problème perturbatif précédemment décrit dans le cadre du modèle d’interaction onde-matière volumique et du modèle en impédance de Léontovich.
Lorsque le modèle considéré est de type volumique, nous cherchons donc à établir un modèle de sensibilité du champ électromagnétique aux points de mesures à des variations de permittivité diélectrique et de perméabilité magnétique.

LE PROBLEME INVERSE EN ELECTROMAGNETISME

Généralités

J.B. Keller décrit deux problèmes inverses comme des problèmes dont la formulation de l’un met l’autre en cause. Cette définition comporte une part d’arbitraire. Une définition plus pratique est qu’un problème inverse consiste à déterminer des causes connaissant des effets. Ce problème est l’inverse de celui appelé problème direct, consistant à déduire les effets à partir des causes connues. Cette seconde définition décrit à quel point nous sommes plus habitués à étudier des problèmes directs. En effet, depuis Newton la notion de causalité est ancrée dans notre subconscient scientifique : nous avons appris à poser, puis résoudre des problèmes pour lesquels les causes sont données, et l’on cherche les effets.

Cette définition exprime aussi que la résolution des problèmes inverses pose des difficultés particulières. Nous avons tous appris que « les mêmes causes produisent les mêmes effets », autrement dit, qu’il est raisonnable d’exiger que le problème direct soit bien posé. Il est par contre facile d’imaginer que les mêmes effets puissent provenir de causes différentes. Cette idée contient en germe la principale difficulté de l’étude des problèmes inverses : à observations limitées7, ils peuvent avoir plusieurs solutions.

Ainsi, le problème inverse nous est plus complexe que le problème direct : Non seulement il ne nous est pas habituel et intuitif mais il hérite en plus de la complexité du problème direct à laquelle s’ajoute le caractère mal posé. C’est ce caractère que Hadamard introduit dès 1923. Il définit un problème bien posé comme un problème dont :

– une solution existe,
– la solution est unique,
– la solution dépend de façon continue des données.
Depuis Hadamard, la littérature sur le problème inverse est considérable. « Chaque physique » cherche à retrouver les causes des observations faites9.
En électromagnétisme, la littérature sur le sujet est aussi très vaste. De manière générale, les travaux existants gravitent autour de trois grands domaines d’applications :
– l’imagerie médicale
– l’exploration des sols en géophysique
– la caractérisation de matériaux
Dans chacun de ces domaines d’application, les méthodes peuvent être classées en fonction de leurs caractéristiques. La couleur rouge souligne le problème qui concerne nos travaux.
– L’objectif du problème inverse.
O Faut-il déterminer :
la géométrie ?
les propriétés radioélectriques des matériaux constitutifs ? une combinaison de ces éléments ?
O L’inconnue doit-elle être déterminée : sans précision : détection (méthode qualitative) ? avec précision (méthode quantitative) ?
– Les contraintes.
O Le problème est-il considéré dans le domaine fréquentiel (domaine de Fourier) ? dans le domaine temporel ?
O L’objet doit-il :
rester intègre : méthodes non destructives (CND) obligatoires ?
peu importe : méthodes destructives admissibles ?
– Les hypothèses.
O L’onde se propage-t-elle :
en ligne droite dans tout l’environnement entre la source et le récepteur ? pas forcément en ligne droite ?
O Les matériaux sont-ils : diélectriques, magnétiques ? isotropes, anisotropes ? constants ou dispersifs en fréquence ?
O Les points de mesures sont-ils considérés : en champ proche ? en champ lointain (cas particulier du précèdent) ?
– Les aspects mathématiques du problème.
O Le modèle du problème direct est-il : linéaire ? non-linéaire ?
O La résolution du problème inverse est-elle : itérative ? non itérative ?
La littérature sur le problème inverse en électromagnétisme étant considérable, la liste qui suit n’est pas exhaustive. Elle regroupe les travaux que nous jugeons les plus pertinents. Nous commençons par résumer la littérature sur les problèmes dont l’inversion peut être abordée par simple transformée inverse de type Fourier ou Radon. Ensuite l’état de l’art sur les problèmes inverses en géométrie est introduit avant d’approfondir la littérature traitant du problème inverse en matériaux. Nous finissons par un état de l’art concernant les approximations utilisées dans toutes les approches précédemment évoquées pour linéariser les formulations intrinsèquement non linéaires.

L’inversion directe : les modèles de propagation rectiligne

La longueur d’onde de l’onde incidente par rapport aux tailles caractéristiques de l’objet permet de séparer les problèmes en différentes catégories. En effet, plus la longueur d’onde est faible par rapport aux caractéristiques (géométriques et matériaux) de l’objet et plus le phénomène de diffraction devient minoritaire rendant l’hypothèse d’une propagation rectiligne de plus en plus juste. On peut alors interpréter les résultats de mesures comme une ombre due à l’atténuation des matériaux traversés. Sous cette hypothèse, le problème inverse peut être traité directement, faisant appel aux modèles de Radon [8], Wolf [9] et Fourier [10]. Ainsi, l’utilisation de rayons X en imagerie médicale devient naturelle. L’ensemble de ces techniques est regroupé dans les techniques dites de tomographies [11]. Dans le cas qui nous intéresse, les objets considérés sont de l’ordre de quelques dizaines de centimètres et la bande de fréquence est la bande SHF. Les techniques de tomographie ne sont donc pas adaptées.

Le problème inverse en géométrie

Depuis le début des années 1980, les travaux de Colton et Kress sur le problème de diffraction inverse posent les bases théoriques. Dans leur ouvrage de référence [12], la nature non linéaire et mal posée du problème inverse de diffraction est mise en évidence. En particulier, l’existence et l’unicité de la solution du problème inverse sont traitées pour les équations d’Helmoltz et de Maxwell. Les problèmes inverses sont classés en deux grands types : le problème inverse en géométrie (« inverse obstacle problem ») et le problème inverse en matériau (« inverse medium problem »). Ils considèrent principalement le problème inverse en géométrie défini comme la recherche, à partir de connaissances (partielles) du champ lointain, de la position spatiale d’une frontière dont la condition d’interaction onde-matière homogène est connue.

Ils introduisent la méthode « dual space method » qui consiste à décomposer le champ lointain en éléments orthogonaux puis à résoudre un problème aux valeurs propres. Ils démontrent en particulier qu’à connaissance parfaite du champ lointain, il existe une solution unique. Le problème inverse en matériau est succinctement abordé en utilisant une variation de la méthode « dual space method ».

Le problème est posé avec l’objectif de retrouver les indices de matériaux diélectriques à partir de mesures du champ lointain. En particulier, ils prouvent qu’il n’existe pas d’indice de réfraction comme solution unique lorsqu’il est déterminé à partir du champ.

De nombreux autres travaux viennent compléter cette approche théorique. Concernant l’unicité de la solution dans différents contextes, nous renvoyons aux travaux de Colton, Coyle et Monk [14], Cakoni et Colton [15] et Colton et Päivärinta [16]. Depuis les travaux de Kirsh et Kress [17], qui utilisent une idée originale de Isakov [18], nous savons que le champ lointain diffracté provenant d’une seule direction d’incidence suffit à déterminer de manière unique la forme de la géométrie quelles que soient les conditions à la frontière.

De ces premiers travaux théoriques naissent une multitude de méthodes qualitatives se concentrant sur le problème inverse en géométrie à partir de mesures en champ lointain. Les plus connus sont la « linear sampling method » [19] et la « factorization method » dont une excellente revue est proposée par Lechleiter [20]. Cette dernière méthode repose sur de solides bases théoriques de la décomposition de l’opérateur de champ lointain afin d’en calculer un noyau11. Toutes ces formulations sont intrinsèquement non linéaires. La résolution du problème inverse ainsi considéré fait alors appel à des techniques d’optimisation. Certains de ces travaux utilisent des approximations pour en simplifier la résolution. Nous avons choisi de séparer cet aspect dans une partie spécifique (cf. § 6.Approximations : Linéarisations).

La recherche du support de la distribution spatiale de propriétés matériaux (la géométrie) est un sujet largement exploré dans la littérature. Il est par contre intéressant de remarquer que ces approches reposent sur des caractéristiques de l’opérateur de champ lointain diffracté par des objets constitués généralement de matériaux non magnétiques. Puisque nous souhaitons en particulier profiter de la spécificité des mesures en champ proche, les méthodes existantes pour le problème inverse en géométrie ne sont pas adaptables au problème que nous considérons.

Le problème inverse en matériaux

En revanche, sur le sujet qui nous intéresse, c’est-à-dire le problème inverse en matériaux, la littérature est plus éparse. Nous la classons en deux catégories : le contrôle non destructif et le contrôle destructif.

Les techniques destructives pour l’objet sont caractéristiques de la caractérisation de matériaux dite en propagation guidée. On retrouve les techniques coaxiales, de cavité [21], d’interférométrie à un cornet ou de sondes à terminaison coaxiale ouverte (Mosig [22]). Dans tous les cas, un échantillon de géométrie travaillée est inséré dans un instrument où une mesure de réflexion, de transmission ou de fréquence de résonnance permet alors de remonter aux caractéristiques radioélectriques homogénéisées de l’échantillon. Dans le cadre de nos travaux, ces méthodes ne sont pas adaptées puisque destructives et homogénéisantes. Pour le lecteur intéressé, un excellent résumé de ces méthodes est proposé par Quéffelec.

De façon générale, les moyens de déterminer les propriétés électromagnétiques des matériaux par méthodes non destructives sont répartis dans la littérature autour de deux thématiques distinctes : la caractérisation de matériau et le problème inverse en matériau. Dans la pratique, ces deux thématiques sont très liées puisqu’elles partagent le même objectif. La distinction faite semble surtout concerner l’approche du problème.

En général, le problème inverse en matériau est posé à partir d’observations subies d’une géométrie subie. Les « pires » observations sont alors généralement considérées : l’objet est mesuré en champ lointain – l’intégrale de rayonnement « moyennant » la réponse locale. Le problème est alors très général conduisant à des problématiques considérées sous un aspect mathématique (on comprend que retrouver des quantités locales d’une observation globale soit un problème particulièrement mal posé). En caractérisation de matériaux, on cherche à résoudre un problème inverse simple et donc à travailler à l’établissement d’un système de mesures adéquat par des observations choisies d’une géométrie choisie. Cela conduit généralement à des moyens de mesures spécifiques d’une réponse locale.

Lorsque les méthodes de caractérisation sont dites en espace libre et les matériaux considérés inhomogènes, la distinction avec ce qui est appelé « le problème inverse en matériaux » devient réellement fine. Les observations sont généralement à une distance suffisante pour « moyenner » la réponse locale de l’objet. Et même lorsque la géométrie est choisie comme la plus simple possible, elle comporte nécessairement une réponse non-choisie (par exemple la diffraction par les bords d’une plaque plane alors qu’on cherche à mesurer le coefficient de réflexion).
En « caractérisation des matériaux » :

Les méthodes de caractérisation non destructives sont généralement celles dites en espace libre. La méthode requiert en général des géométries de test particulières. En effet, la majorité de ces méthodes est basée sur l’acquisition des coefficients de réflexion et de transmission planaires [23]
[24]. Les matériaux testés sont donc sous forme de plaques planes. Pour ces méthodes, les effets de diffraction et les réflexions multiples sont les principales causes ou sources d’erreurs. Il existe différentes façons de réduire ces erreurs. Par exemple, Ghodgaonkar [25] propose de minimiser les réflexions par une combinaison de lentilles et d’antennes. D’une façon différente, Sagnard [26] propose d’utiliser un échantillon suffisamment large et suffisamment loin de la source. Dans notre cas, la géométrie de l’objet n’est pas plane et ces techniques ne sont alors pas utilisables et difficilement adaptables.

Quelques travaux se rapprochent d’avantage de notre problématique où la mesure est réalisée sans contact et le problème est globalement abordé comme un problème inverse plus que comme un problème de caractérisation. Dans ce cadre, les travaux de Eyraud [27] sont à noter. La méthode proposée combine des mesures en champ lointain avec une modélisation statistique des incertitudes de mesure pour déterminer la permittivité complexe isotrope. Faget [28] qui utilise une méthode nommé RECY développée par Dieudonné [29] [30], détermine la perméabilité magnétique de bandes de matériaux à partir de mesures en champ proche. Bien que l’application soit réduite à un cas bidimensionnel et à une configuration spécifique (les bandes de matériaux sont collées sur un cylindre métallique et on ne détermine que la perméabilité supposée isotrope), la formulation originelle est assez générale (tridimensionnelle et magnéto-diélectrique) rendant cette approche intéressante. Nous verrons plus tard que cette formulation est généralisée par une autre méthode : la VPRT.

Le problème inverse en matériaux est intrinsèquement non linéaire. La résolution du problème inverse ainsi considéré fait alors appel à des techniques d’optimisation. Certains de ces travaux utilisent des approximations pour en simplifier la résolution. Nous avons choisi de séparer cet aspect dans une partie spécifique (cf § 6.Approximations : Linéarisations).
En « problème inverse en matériaux » :
Parmi les travaux s’inscrivant dans la thématique du problème inverse en matériaux, deux grandes familles peuvent être distinguées : la détermination des caractéristiques électromagnétiques volumiques des matériaux, c’est-à-dire la perméabilité magnétique et la permittivité diélectrique, et la détermination des caractéristiques surfaciques, l’impédance.
Caractéristiques volumiques :
En utilisant les fondamentaux précédemment évoqués, Kirsch introduit la « transmission eigenvalues method » reposant elle aussi sur une décomposition judicieuse de l’opérateur de champ lointain. En 2010, Cakoni, Gintides et Haddar montrent les capacités de cette méthode à déterminer la permittivité diélectrique anisotrope homogène. Dans notre cas, la mesure est réalisée en champ proche et les matériaux sont considérés inhomogènes et magnétiques. Cette technique prometteuse n’est alors pas adaptée.

Table des matières

INTRODUCTION
PARTIE I : CONTEXTE
A. CONTEXTE « ENTREPRISE »
I. Objectifs initiaux/Contexte
II. Résumé du contexte avant hypothèses
III. Hypothèses et données initiales
IV. Résumé du contexte après hypothèses
V. Du problème inverse aux modèles perturbatifs
VI. Des propriétés matériaux à la condition d’impédance : modèles d’interaction onde/matière
VII. Conclusion
B. CONTEXTE BIBLIOGRAPHIQUE
I. Le problème inverse en électromagnétisme
II. Modèles électromagnétiques perturbatifs en matériaux
III. Conclusion
C. CONCLUSION
I. Contribution de la thèse
II. Démarche
III. Déroulement-Plan du document
PARTIE II : MODELISATION
D. MODELE DE SENSIBILITE VOLUMIQUE
I. Le problème direct : propagation électromagnétique en milieu magnéto-diélectrique inhomogèn
II. Sensibilité du problème direct : extension de la « Volumetric Perturbative Reciprocal Theory »
III. Conclusion
E. MODELE DE SENSIBILITE SURFACIQUE
I. Le problème direct : le rayonnement des courants électromagnétiques surfaciques
II. Sensibilité du problème direct : sensibilité du champ électrique rétrodiffusé à l’impédance de sur
Leontovich
III. Conclusion
PARTIE III : DOMAINE DE VALIDITE
F. MOTIVATION
G. MODELE DE SENSIBILITE VOLUMIQUE (VPRT)
I. Modèle exact
II. Premier ordre
III. Second ordre
IV. Cas monostatique
V. Distribution axisymétrique
VI. Propriétés matériaux orthotropes et isotropes
VII. étude numérique de l’erreur sur un exemple axisymétrique
VIII. Conclusion partielle
H. MODELE DE SENSIBILITE SURFACIQUE
I. Hypothèse « petites perturbations »
II. Influence du modèle en impédance de Léontovich
III. Influence du modèle d’optique physique
IV. Modèle hybride
V. Modèle champ lointain
VI. Modèle « Born en impédance »
VII. Conclusion partielle
PARTIE IV : APPLICATION
I. UN EXEMPLE D’APPLICATION AU PROBLEME INVERSE EN MATERIAUX
I. Présentation du cas de référence
II. Démarche
III. Evaluation de la sensibilité
IV. Présentation de la mesure simulée
V. Résolution du problème inverse linéaire axisymétrique
VI. Conclusion
CONCLUSION GENERALE : RESUME, CRITIQUES ET PERSPECTIVES
Résumé des conclusions partielles
Critiques et Perspectives
BIBLIOGRAPHIE

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