Le modèle numérique de propagation d’ondes de flexion dans une plaque orthotrope encastrée

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Remarques sur la cavité à retournement temporel

Le fonctionnement de la cavité à retournement temporel ne prend pas en compte les sources qui ont donné naissance au champ. En effet, si aucune précaution n’est prise au niveau de la source lors de la phase de réémission du retournement temporel, la conservation de l’énergie impose l’existence d’une onde divergente à la suite de l’onde convergente sur la source initiale.
Ces deux ondes se superposent et interfèrent, impliquant une largeur de tache focale (dans le cas d’une cavité à retournement temporel) égale à 2 , où λ est la longueur d’onde. Ce phénomène est classiquement interpreté comme une limite de diffraction, formant des taches de diffraction en focalisation ou imagerie par retournement temporel à résolution limitée.
Une autre interprétation consiste à considérer la structure du champ reçu par la cavité à retournement temporel. Celle-ci se trouvant à une distance généralement plus grande que la longueur d’onde émise par la source étudiée, seules les ondes propagatives sont reçues sur la surface de contrôle S. Les ondes évanescentes, non propagatives et dont l’amplitude diminue avec la distance parcourue depuis la source initiale, ne sont pas mesurées par la cavité. C’est la non-reconstition de ces ondes évanescentes qui constitue la limite de résolution des techniques de retournement temporel.
En ce qui concerne la reconstitution du champ retourné temporellement, l’onde divergente créée brise la symétrie du processus de retournement temporel. En effet, un retournement tem- porel « parfait » consiste en une onde strictement convergente qui est bien la scène duale de la scène aller. Plusieurs solutions ont récemment été proposées pour améliorer cette résolution.
Parmi elles, on peut citer le retournement temporel en champ proche, qui, sous certaines condi- tions, permet de réaliser une focalisation (ou une imagerie) à super-résolution [21]. Une autre méthode, avec mesure en champ lointain cette fois-ci, permet d’atteindre la super-résolution en milieu très inhomogène, grâce à la présence de diffuseurs à proximité de la source. Ces diffuseurs permettent de convertir lors de la phase de propagation initiale une partie des ondes évanescentes en ondes propagatives, puis lors de la rétropropagation, ces ondes propagatives converties sont transformées, au voisinage de la source, en ondes évanescentes [22]. Cette méthode permet de dépasser la limite de diffraction précédemment énoncée. Pour finir, la méthode de puits à retour- nement temporel, outil essentiel de cette thèse de doctorat, permet également d’atteindre des limites de résolution bien inférieures à une demi-longueur d’onde [20] [23]. L’étude du compor- tement de l’onde au voisinage de la source ainsi que la réalisation d’un retournement temporel « parfait » grâce au puits acoustique sont présentées à la section 1.5.

Le miroir à retournement temporel

Liens avec la cavité à retournement temporel

La cavité à retournement temporel a été étudiée précédemment afin d’introduire la théorie sous-jacente de notre expérience. Mais, d’un point de vue pratique, il est impossible d’utiliser une cavité à retournement temporel. En effet, si l’on désire créer une cavité sphérique de 1 mètre de rayon fonctionnant avec un signal à bande limitée à 5 kHz, il faudrait disposer les transducteurs tous les 3.45 cm, ce qui correspond à plus de 2600 transducteurs sur la surface de la cavité [8], selon le principe d’échantillonnage spatial. D’un point de vue purement expérimental, ce type de dispositif n’est pas utilisable.
Malgré tout, il est possible de réaliser un miroir à retournement temporel, qui consiste en une réduction de la surface de contrôle. La cavité pavée de transducteurs est alors remplacée par une surface non fermée, usuellement plane, ou pré-focalisée suivant les applications désirées. Cette configuration ne permettra pas de recréer le champ aussi précisément que la cavité à retourne- ment temporel. Cependant, l’onde recréée focalisera effectivement sur les sources acoustiques de manière précise et efficace. En effet, dans un milieu faiblement hétérogène, la largeur de la tache focale est donnée dans l’approximation de Fresnel par ·F.
D où F est la distance entre le miroir et la source initiale, et D est la dimension du miroir [24]. Dans un milieu réverbérant, les multiples réflexions permettent d’augmenter l’ouverture apparente du miroir en créant des capteurs et des actionneurs virtuels [25] [26].

Étude physique du signal retourné temporellement

Le retournement temporel d’une onde provenant d’une source ponctuelle isotrope située en O permet d’obtenir, avant le « collapse », une onde parfaitement isotrope convergente. Lors du « collapse », alors qu’une partie de l’onde continue à converger, l’autre partie commence à di- verger. L’interférence de ces deux ondes crée – dans un domaine de l’espace dont la dimension est liée à la durée de l’impulsion sonore – un champ qui se concentre de façon transitoire sous la forme d’un pic principal entouré d’oscillations. La largeur caractéristique de cette tache focale est au mieux de 2 . Une fois que toute l’onde est passée par O, il ne reste qu’une onde divergente qui s’éloigne de la source.

Focalisation par la méthode du puits acoustique

La source émettant le signal f(−t) durant l’expérience de puits acoustique se comporte en fait comme une « source d’antibruit » [20] : elle génère en effet une onde en opposition de phase avec l’onde divergente déjà existante par l’émission du miroir à retournement temporel. Le puits acoustique peut être vu comme une adaptation d’impédance active entre le milieu et le point source. En effet, en excitant la source en −→rs par le signal f(−t), l’onde convergente arrive sur un point dont la pression est en phase avec elle, assurant un coefficient de transmission du milieu dans le point excitateur égal à 1. Ainsi, toute l’énergie est concentrée au point focal et pompée par le puits acoustique. Par ailleurs, la présence de cette singularité d’espace grâce à la présence de la « source d’antibruit » recrée la présence d’ondes évanescentes.
Afin d’analyser les capacités de résolution du puits acoustique, plaçons nous dans le cas particulier et idéal de la propagation acoustique dans un espace homogène, isotrope, et tridimen- sionnel pour évaluer la focalisation par la méthode du puits acoustique. Dans ces conditions, en vertu de l’équation (1.15), le champ dans l’espace en présence de la « source d’antibruit » (supposée ici ponctuelle) lors de l’expérience de puits acoustique s’exprime : ψpuits(−→r ; t) = G(−→r ,−→rs ;−t) ∗ f(−t) = Re  A˜ 0 · e−i(!t+k·R) 4πR !(1.16).

Évaluation non-destructive

Les techniques de retournement temporel ont également été largement utilisées dans le do- maine de l’évaluation non-destructive ultrasonore, pour la détection de défauts ou d’inclusions dans les structures [35] [36]. Plus récemment, la technique d’optimisation du gradient topolo- gique [37], basée sur le retournement temporel, a fait l’objet d’un brevet par la société Airbus pour la détection de défauts dans les structures aéronautiques. Ces techniques héritent du pro- cessus de retournement temporel en l’adaptant de manière à réaliser une imagerie ultrasonore de la structure de manière non-destructive, à partir de la modélisation d’un milieu idéal, qui est comparé aux mesures dans le milieu réel. De cette comparaison, basée sur la corrélation avec le signal rétro-propagé, est extraite une imagerie des défauts dans la structure dont la résolution correspond à la résolution maximale imposée par le phénomène de diffraction lors du processus de retournement temporel.
Les techniques de retournement temporel pour l’évaluation non-destructive ont également été utilisées comme outil de focalisation dans le domaine de l’imagerie médicale, pour la localisation de tumeurs malignes par élastographie de cisaillement ultrarapide [38].

Communication dans les milieux complexes et imagerie sous-marine

Au-delà de ces applications, le retournement temporel est utilisé pour la communication dans les milieux complexes, notamment pour les communications sous-marines dans le domaine ul- trasonore [39] [40]. Des essais ont également été réalisés pour la communication dans le domaine audible [8]. Dans le domaine de l’acoustique sous-marine, les méthodes de retournement temporel se révèlent être un excellent moyen de faire de l’imagerie adaptative, notamment dans les fonds sous-marins où la célérité des ondes acoustiques peut varier d’un facteur 2 sur de courtes dis- tances. Des expériences probantes ont d’ailleurs déjà été réalisées à plusieurs reprises, notamment par l’équipe de Kuperman [41].

Méthodes acousto-séismiques

Les techniques récentes de détection de séismes ou de mines enfouies utilisent également le principe du retournement temporel, en tant que technique de focalisation et d’imagerie à haute résolution [42] [43] pour la détection et l’analyse de phénomènes géophysiques.

Techniques de formation de voies et holographie en champ proche

Dans cette partie, le but est de présenter un aperçu des principes et des limites de résolution de deux méthodes intensivement utilisées dans le domaine de la recherche et de l’industrie dans le domaine audible : la technique de formation de voies et la technique d’holographie en champ proche. Ces deux techniques nécessitent des dispositifs de mesure similaires aux techniques de retournement temporel à haute résolution proposées dans ce manuscrit. Le beamforming permet d’obtenir une imagerie dans une direction (à résolution limitée), tandis que l’holographie en champ proche permet de reconstituer, à haute résolution, les sources vibratoires et acoustiques sur une surface. Il apparaît alors indispensable de présenter succintement leurs principes, ainsi que leurs limites afin de les comparer aux techniques développées dans le cadre de cette thèse de doctorat.

Techniques d’imagerie et de focalisation par formation de voies

Le principe de fonctionnement du beamforming étant identique en émission pour la focali- sation et en réception pour l’imagerie, la méthode sera décrite pour une situation d’imagerie de sources par beamforming.
Le principe commun à toutes les techniques de formation de voies est le suivant : le front d’onde émis par une source est reçu par une assemblée de capteurs, tout comme pour les tech- niques de retournement temporel. Ici, plutôt que de réaliser du filtrage adapté spatio-temporel, les signaux collectés sur les capteurs de l’antenne de mesure sont associés à des poids relatifs et à des retards de manière à « pointer » dans une direction de l’espace. Dans le cas du beamforming dans le domaine de Fourier, la méthode utilisée consiste en l’application de filtres spécifiques à chacune des transformées de Fourier des signaux reçus sur chacune des voies de l’antenne.
Une réalisation simpliste et primaire du beamforming consiste uniquement en une ligne à retard analogique. Les poids relatifs et les retards associés aux voies permettent alors de déterminer une carte des champs de pression, en faisant varier ces poids et retards pour imager de manière précise le champ en une direction donnée [45].
Le beamforming, sous toutes ses formes, a l’avantage de réaliser une cartographie de sources de manière rapide en faisant varier la direction privilégiée de mesure grâce aux filtres appliqués aux transformées de Fourier des signaux mesurés sur l’antenne. Cette méthode est applicable sur une large gamme de fréquences, tant pour les signaux stationnaires qu’instationnaires. Par ailleurs, il est possible d’imager de grandes surfaces grâce au traitement par beamforming des signaux reçus par une antenne située en champ lointain. Cependant, la résolution RBF de ces méthodes est dépendante de la longueur d’onde : RBF ≃ 1.22 λL D , où L est la distance entre la source à imager et l’antenne de mesure, D la dimension caractéristique de l’antenne, et λ la longueur d’onde d’étude de la source [45] [46]. Par conséquent, à basse fréquence, les méthodes de beamforming (adaptatives ou non) possèdent une dégradation importante de leur résolution, ce qui empêche l’utilisation de celles-ci pour la cartographie de sources à basse fréquence. Pour finir, les approches de type beamforming fournissent des cartographies de sources non calibrées et dépourvues d’échelle [45] [44].

Le cas des sources non discriminées par retournement classique

Problématique

Comme nous l’avons vu dans dans le chapitre précédent ainsi que dans ce chapitre, la dé- tection de sources très proches les unes des autres pour une application à basse fréquence peut poser problème. En effet, même si la technique présentée dans le cadre de ce manuscrit est une méthode d’imagerie à haute résolution, elle est avant tout basée sur une étape de localisation (à résolution limitée) par rétropropagation numérique par retournement temporel. Cette méthode étant limitée par les effets de diffraction, la localisation de deux sources proches l’une de l’autre peut échouer à basse fréquence, si la contribution de la somme des lobes secondaires spatiaux excède celle des lobes principaux.
L’expérience numérique suivante est réalisée : trois sources forment un triangle isocèle de base de longueur 10 cm et d’angle au sommet de 64 degrés. Ces trois sources émettent simultanément un signal acoustique correspondant à 1.5 cycles de sinusoïde, respectivement à 400 Hz, 500 Hz, et 650 Hz multipliées par une fenêtre de Blackman (ces signaux sont représentés sur la figure 4.15). La figure 4.16 représente le résultat de localisation des trois sources ponctuelles, par une étape de rétropropagation numérique par retournement temporel, grâce à un miroir bidimensionnel à 88 capteurs, séparés par une distance inter-capteurs de 10.5 cm.
L’analyse de la figure 4.16 démontre ici les limites en résolution de la technique de locali- sation de sources à basse fréquence par retournement temporel. Dans ce cas très défavorable, l’énergie acoustique au temps du « collapse » ne permet en aucun cas de discriminer la position des 3 sources. Par conséquent, l’étape de puits à retournement temporel est apparemment mise en défaut, si l’on cherche à localiser le centre des sources par analyse de la pression acoustique (ou de l’énergie, comme présenté ici) à l’instant du « collapse ». En effet, les taches focales des différentes sources, limitées en résolution par effets de diffraction, se superposent.

Une solution : l’utilisation de la méthode MUSIC

La solution proposée ici permet de s’affranchir de cette limite apparente à la méthode de reconstruction de sources à haute résolution par puits à retournement temporel, tout en permet- tant un traitement des données de mesure n’introduisant pas une perte de temps significative en termes de temps de calcul. Cette solution s’appuie sur la décomposition de l’espace des données  basse fréquence par rétropropagation numérique par retournement temporel. La position des trois sources est indiquée par des croix récoltées en deux sous-espaces orthogonaux (au sens du produit scalaire hermitien), l’espace bruit et l’espace signal. Plusieurs méthodes de localisation de sources ont été développées sur ce principe, notamment la méthode MUSIC [74] [99] [75], ou la méthode ESPRIT [83]. Le but de cette sous-section est de démontrer que l’utilisation de l’une de ces techniques, combinée avec la technique d’imagerie par puits à retournement temporel, permet de s’affranchir de la limite précitée. Pour cela, nous utilisons les mêmes données que dans la sous-section précédente, où la détection de maximum de la reconstruction de sources par retournement temporel échoue.
Le principe de la méthode MUSIC est applicable pour la localisation de sources étendues et de sources ponctuelles, en champ lointain comme en champ proche. L’avantage de cette méthode est qu’elle ne nécessite pas plus d’information mesurée que celle obtenue lors de la première étape du processus d’imagerie à retournement temporel (la mesure sur le miroir). La méthode MUSIC permet la construction d’un pseudo-spectre spatial qui donne accès, à haute résolution, aux positions des sources émettrices à partir de la mesure sur une antenne. Cette méthode re- quiert la connaissance du milieu de propagation, ainsi que la connaissance de la position des points de mesure de l’antenne, tout comme nous en avons besoin dans le processus de puits à retournement temporel.
Considérons la matrice A des signaux temporels mesurés sur l’antenne, suite à l’émission des sources. Cette matrice possède une dimension (M, T), où M est le nombre de capteurs de l’antenne, et T est le nombre d’échantillons temporels mesurés. À partir de cette matrice A de mesure, on détermine numériquement sa transformée de Fourier, A˜. La matrice A˜ est de dimension (M, NFFT 2 ), où NFFT est le nombre de points fréquentiels de calcul de la transformée de Fourier rapide. Ce calcul fournit d’ores et déjà une information sur le contenu fréquentiel et les phases relatives des signaux mélangés correspondant à l’émission des sources reçues par les points de mesure du miroir.

Application de la méthode d’imagerie à haute résolution à la mesure de sources sur une guitare

Dans cette section, nous nous proposons d’appliquer la méthode d’imagerie par puits numé- rique à retournement temporel à l’imagerie de sources sur une guitare classique d’étude (Yamaha CG180S, 1985). La table de cette guitare est en épicéa, et la touche est en ébène. Les éclisses et le dos sont en palissandre laminé. Le but ici n’est pas de réaliser une étude complète de l’acous- tique de la guitare, mais d’appliquer la méthode en situation moins académique que les cas précédemment présentés, sur une structure acoustique complexe à basse fréquence, afin d’éva- luer ses capacités d’imagerie en situation de mesure réelle. Il est d’ailleurs tout à fait intéressant de noter que ce type d’expérience représente l’une des toutes premières applications historiques sur une structure complexe de l’holographie en champ proche [100].

Imagerie du résonateur de Helmholtz

Une corde vibrante ne rayonne que très peu d’énergie acoustique. C’est pourquoi la guitare est constituée d’un corps rigide et d’une cavité d’air. Cet instrument de musique peut être consi- déré comme un système d’oscillateurs couplés [101] : les cordes excitent le chevalet, qui excite la table d’harmonie supérieure. La vibration de la table d’harmonie est alors transmise à la cavité d’air contenue dans le corps de la guitare, et à la table d’harmonie inférieure. À basse fréquence, la résonance de Helmholtz (le premier mode de cavité) et les premiers modes de plaques agissent essentiellement pour renforcer la transmission d’énergie acoustique dans la partie la plus grave du spectre de jeu [101] [102]. La fréquence de résonance la plus basse correspond au mouve- ment en opposition de phase des deux tables d’harmonie, ce qui provoque une oscillation de l’air contenu dans la cavité, avec une respiration oscillatoire par la rosace de l’instrument. Ce mode de résonance est le mode qui nous intéresse ici. Sa fréquence de résonance correspond à une fréquence de 105 Hz environ, suivant les instruments de musique étudiés. Il a été démontré que cette résonance, la plus grave de la guitare, correspond à un rayonnement quasi-monopolaire, centré sur la rosace de la guitare [101]. On appelle classiquement cette résonance la résonance de Helmholtz de la guitare, qui permet de renforcer la puissance de l’instrument à basse fréquence. Le but de l’expérience présentée ici est d’imager la source acoustique prédominante de l’ins- trument à basse fréquence. Par conséquent, afin d’optimiser l’énergie transmise à la fréquence du mode de Helmholtz, les résultats présentés correspondent à l’imagerie des sources acoustiques lorsque la seconde corde la plus grave de l’instrument (la corde de LA) est pincée. En effet, la fréquence fondamentale de vibration de cette corde correspond pour cette expérience à une fréquence 109.8 Hz, qui est une fréquence extrêmement proche de la fréquence du mode de réso- nance de Helmholtz de la guitare. Par ailleurs, afin d’optimiser la transmission d’énergie dans le plan perpendiculaire à la table d’harmonie, ce qui correspond au mécanisme optimal d’excitation du mode (0,0) de la table, la corde est pincée légèrement sous la rosace, de manière orthogonale à la table (il est à noter que cette technique est peu orthodoxe pour les guitaristes confirmés, mais permet ici d’optimiser l’énergie transmise au mode (0,0) de la table).

Table des matières

Chapitre 1 Retournement temporel, formations de voies, et holographie acoustique
1.1 Introduction
1.2 Bases du retournement temporel
1.3 Cavité à retournement temporel
1.3.1 La phase d’enregistrement
1.3.2 La phase de réémission
1.3.3 Remarques sur la cavité à retournement temporel
1.4 Le miroir à retournement temporel
1.4.1 Liens avec la cavité à retournement temporel
1.4.2 Étude physique du signal retourné temporellement
1.4.3 Analyse du phénomène par formalisme d’opérateurs
1.4.4 Focalisation par retournement temporel
1.5 Le puits à retournement temporel
1.5.1 Principe général
1.5.2 Focalisation par la méthode du puits acoustique
1.5.3 Avantages et limitations de cette technique
1.6 Vue d’ensemble des applications existantes du principe de retournement temporel
1.6.1 Lithotripsie
1.6.2 Thérapie et focalisation transcranienne
1.6.3 Évaluation non-destructive
1.6.4 Communication dans les milieux complexes et imagerie sous-marine
1.6.5 Méthodes acousto-séismiques
1.7 Techniques de formation de voies et holographie en champ proche
1.7.1 Techniques d’imagerie et de focalisation par formation de voies
1.7.2 Techniques d’holographie acoustique en champ proche
1.8 Bilan et Objectifs
Chapitre 2 Focalisation acoustique à haute résolution dans le domaine audible 
2.1 Introduction
2.2 Focalisation acoustique dans le domaine audible grâce à un puits à retournement temporel .
2.2.1 Abstract
2.2.2 Introduction
2.2.3 Time Reversal and Acoustic Sink Theory review
2.2.3.1 The Time Reversal Mirror : acoustic field structure
2.2.3.2 Time Reversal Acoustic Sink theory
2.2.3.3 Time reversal and audible range specificities
2.2.4 Experimental setup : material and methods
2.2.5 Results and discussion
2.2.5.1 Taking advantage of reverberation
2.2.5.2 TRM focusing in a reverberating room
2.2.5.3 High resolution subwavelength focusing in a reverberating roomusing TRAS .
2.2.6 Discussion – Applications
2.2.7 Conclusions
2.3 Discussion sur la résolution focale du puits à retournement temporel
2.4 Limites d’applicabilité de la méthode
2.5 Discussion sur le caractère réverbérant du milieu environnant
2.6 Bilan – Discussion : adaptation des techniques de puits à l’imagerie à haute résolution de sources actives sonores et vibratoires
Chapitre 3 Imagerie à haute résolution de sources vibratoires en milieu dispersif 
3.1 Introduction
3.2 Imagerie à haute résolution de sources actives vibratoires
3.2.1 Abstract
3.2.2 Introduction
3.2.3 Material and methods
3.2.3.1 Experimental setup
3.2.3.2 Time reversal simulated backpropagation
3.2.3.3 Numerical time-reversal sink : super-resolution imaging
3.2.4 Results and discussion
3.2.4.1 Validation of vibration simulation
3.2.4.2 High-resolution imaging using time-reversal sink : proof of principle 71
3.2.4.3 Active source imaging using TRS
3.2.5 Conclusions
3.3 Le modèle numérique de propagation d’ondes de flexion dans une plaque orthotrope encastrée
3.3.1 Le modèle physique des ondes de flexion dans une plaque
3.3.2 Discrétisation du système pour le code aux différences finies
3.3.3 Algorithme de simulation
3.4 Remarques sur le caractère dispersif et réverbérant du milieu
3.5 Étude de la robustesse de la technique d’imagerie
3.5.1 Robustesse en cas d’erreur de modélisation du milieu
3.5.1.1 Influence de la connaissance du module d’Young
3.5.1.2 L’influence de l’atténuation
3.5.2 Le cas des sources non discriminées par l’étape de retournement temporel
3.6 Bilan .
Chapitre 4 Imagerie à haute résolution de sources acoustiques en champ libre 
4.1 Introduction
4.2 Imagerie à haute résolution de sources actives acoustique en champ libre
4.2.1 Abstract
4.2.2 Introduction
4.2.3 Material and methods
4.2.3.1 Experimental setup
4.2.3.2 Time reversal simulated backpropagation
4.2.3.3 Numerical time-reversal sink : super-resolution imaging
4.2.4 Results and discussion
4.2.4.1 High-resolution imaging of acoustic sources in deep water channelusing numerical TRS : proof of principle
4.2.4.2 Experimental imaging of sound sources in an anechoïc room using a numerical TRS
4.2.5 Conclusions
4.3 Pourquoi développer une méthode en champ libre ?
4.4 Le modèle numérique de propagation acoustique en champ libre en milieu stratifié
4.4.1 Modèle physique
4.4.2 Schéma numérique d’ordre élevé en temps et en espace : discrétisation
4.4.3 Conditions aux limites absorbantes d’ordre élevé
4.4.3.1 Equations de faces
4.4.3.2 Détermination des conditions d’arêtes
4.4.3.3 Détermination des conditions de coins
4.4.3.4 Remarques sur les ordres d’approximation à proximité des limites du cube de calcul
4.4.4 Condition de stabilité de l’algorithme, isotropie et dispersion numérique
4.5 Le cas des sources non discriminées par retournement classique
4.5.1 Problématique
4.5.2 Une solution : l’utilisation de la méthode MUSIC
4.6 Application de la méthode d’imagerie à haute résolution à la mesure de sources sur une guitare
4.6.1 Protocole expérimental
4.6.2 Imagerie du résonateur de Helmholtz
4.6.3 Localisation des sources à la surface de la guitare, rayonnant au delà de 1000 Hz .
4.7 Bilan .
Chapitre 5 Conclusions et Perspectives 
Bibliographie

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