Le corpus pseudo-héronien

Les Metrica de Héron d’Alexandrie

Les Metrica, dont l’authenticité est assurée, sont construites en trois livres. Elles marquent « la volonté d’articuler différentes approches, en particulier la démarche démonstrative de la « grande géométrie » grecque (Euclide, Archimède, Apollonius…) et ladémarche calculatoire ou algorithmique, à peu près universelle en mathématiques. » Le premier livre s’intéresse au mesurage des surfaces, le second traite exclusivement des volumes. Enfin le troisième, sur lequel nous reviendrons, étudie le découpage de figures planes et solides. Après une longue préface dans laquelle Héron décrit ses motivations, et le plan de son travail, le Livre I des Metrica propose trente-neuf problèmes. Ils sont tous structurés de la même manière : énoncé, procédure de résolution et démonstration. Le premier problème donne l’aire d’un rectangle, appelé « domaine oblong » et d’un carré. Suivent les problèmes relatifs, dans l’ordre, aux triangles, aux trapèzes, aux losanges et parallélogrammes, aux polygones réguliers, aux figures et solides circulaires.

Les triangles. De manière générale, l’aire d’un triangle est calculée à l’aide de la hauteur et de la base par complétion pour obtenir un rectangle double du triangle donné. Sont exposées les procédures pour calculer la hauteur d’un triangle, qu’il soit isocèle, acutangle ou obtusangle, ainsi que les projections des côtés sur la base.

Les quadrilatères. Comme nous l’avons vu, Héron traite le rectangle dans le premier problème comme base pour les autres problèmes. Il peut en effet être considéré comme la figure fondamentale pour déterminer l’aire des autres figures, le carré étant l’unité de surface. Après les triangles, sont exposés les trapèzes. Leur aire est déterminée par le produit de la demi-somme des bases par la hauteur. Ceci est démontré par la transformation du trapèze de bases b et B et de hauteur h, qu’il soit rectangle, isocèle, acutangle ou obtusangle, en un rectangle de dimensions 2 b + B et h. Les procédures pour déterminer la hauteur d’un trapèze sont aussi données en se ramenant au cas d’un triangle en retranchant b de B. Les problèmes suivants proposent l’aire de plusieurs autres quadrilatères (losange, parallélogramme ou quadrilatère ayant un angle droit et aucun côté parallèle) en les divisant, notamment par la diagonale, en figures simples dont on sait calculer l’aire d’après les problèmes précédents.

Les polygones réguliers. Dans cette partie, Héron traite de tous les polygones réguliers du triangle équilatéral au dodécagone de manière systématique, seul le carré n’est pas évoqué à cet endroit.

Les figures circulaires. Héron débute avec une référence à La mesure du cercle d’Archimède pour établir le rapport entre circonférence et diamètre d’un cercle. Cela lui permet ensuite de répondre aux problèmes portant sur le cercle de diamètre d, de circonférence p, et d’aire A.Enfin, le livre I s’achève sur l’étude de l’ellipse, la parabole, sur les surfaces du cylindre droit, du cône de révolution, de la sphère et d’un segment de sphère en s’appuyant explicitement sur plusieurs travaux d’Archimède : La mesure du cercle, Sur les conoïdes, De la méthode, Sur la sphère et le cylindre. Dans le livre II, Héron développe le mesurage des solides et complète ainsi les travaux de la fin du livre I. Dans un premier temps, il mesure le parallélépipède rectangle par le produit de la base par la hauteur. Il généralise alors ce résultat à tous les solides sans pointe. Puis, il s’intéresse aux solides qui ne sont pas nécessairement droits comme le cône, le cylindre scalène, le solide parallélépipédique ; la démarche consiste à les ramener aux solides droits correspondants.

Ensuite, plusieurs problèmes traitent de la pyramide entière ou tronquée de base quelconque pour continuer sur différents troncs de solides (cône, prisme à base triangulaire). Se succèdent alors, avec une référence à La sphère et le cylindre d’Archimède, les problèmes sur la sphère et les segments de sphère.  D’autres types de figures cylindriques et sphériques sont mentionnées : une baignoire, une voûte, une coupole et le tore qui se trouve, par exemple, au pied d’une colonne. Héron propose enfin la mesure des cinq solides de Platon, et des solides irréguliers avec l’utilisation de la poussée d’Archimède ou de l’« enrobage » pour une comparaison avec un solide droit.

Le corpus pseudo-héronien

Notre propos est ici une présentation succincte du contenu géométrique du corpus et nous ne nous attacherons pas à discuter spécifiquement des traditions manuscrites, de leur histoire, de leurs liens éventuels ou de l’authenticité de leur attribution Geometrica est un recueil de problèmes de mesurage, compilé par J.L. Heiberg, consacrés exclusivement aux figures planes à partir de matériaux provenant de divers traités byzantins. Les problèmes sont énoncés et résolus sans démonstration. De plus, nombre d’entre eux font apparaître des unités métrologiques. Enfin, une pratique, probablement issue des arpenteurs, intervient quasi-systématiquement pour déterminer l’aire des figures les moins usuelles : la triangulation et plus généralement le découpage en figures dont on sait calculer l’aire. Néanmoins, cela ne suffit pas à conférer aux Geometrica un caractère pratique et utilitaire. En effet, la nature des problèmes et, en particulier, la multiplication des exemples numériques fractionnaires dénotent plutôt une compilation de problèmes pour mathématiciens aussi bien géomètres qu’arithméticiens.

Après une préface et une introduction sur les mesures, la compilation commence naturellement avec le carré et le rectangle. Ensuite, sont traités les triangles en débutant par les triangles rectangles, puis les triangles équilatéraux et isocèles, et enfin les triangles scalènes. Les procédures de calcul des projections, et des hauteurs sont les mêmes. Les Geometrica proposent davantage de problèmes où les données numériques sont modifiées et qui amènent notamment à de ombreux calculs fractionnaires154. La méthode dite « de Héron » du calcul de l’aire d’un triangle à partir de la seule connaissance de ses côtés est utilisée à deux occasions : pour le triangle canonique  et pour le triangle rectangle .Des problèmes sur les quadrilatères sont ensuite proposés : losanges, rectangles, parallélogrammes, trapèzes. Les mêmes procédures que dans les Metrica sont appliquées ici, seuls les exemples numériques peuvent être différents.

Les pratiques de découpage dans les mathématiques grecques

Dans cette partie, nous ne considérons pas le découpage comme étape du calcul de l’aire d’une figure plane ou d’un volume d’un solide, ce que nous avons déjà présenté dans la  partie précédente. Intéressons-nous donc aux deux témoins majeurs de la problématique générale du découpage des figures : Euclide et Héron.

1) Sur les divisions d’Euclide. Comme cela a été dit dans notre introduction générale, le contenu de cet ouvrage nous est connu par deux sources essentielles: le témoignage de Proclus (5e s.) dans son Commentaire au Livre I des Eléments d’Euclide, et la version arabe partielle d’as-Sijzī. Reprenons d’abord les deux affirmations de Proclus à propos du livre d’Euclide. D’abord, à propos de l’œuvre du mathématicien grec, il dit : « Il existe encore de cet homme beaucoup d’autres ouvrages mathématiques, pleins d’une étonnante exactitude et d’une savante spéculation tels que ses Optiques, ses Catoptriques, ses Eléments de musique et, en outre, son livre Sur les Divisions . » À partir de cette citation, l’ouvrage Sur les Divisions est décrit comme un texte composé sur le même modèle hypothético-déductif que les autres œuvres euclidiennes. Proclus revient ensuite sur cet ouvrage pour nous donner indirectement une information quant à son contenu lorsqu’il tente de définir le « concept de la figure ». Il précise : « (…) le concept de la figure se complète par celui d’une totalité qui se décompose en parties non similaires ; et c’est pourquoi Euclide attribue aussi le concept de totalité à chacune des formes, et que chacune des figures est découpée en diverses espèces. En effet, le cercle et chacune des figures rectilignes sont divisibles en figures conceptuellement dissimilaires ; et c’est ce dont l’Auteur des Eléments s’est occupé lui-même dans Les divisions lorsqu’il a divisé les figures données en figures tant similaires que dissimilaires. » Ainsi, diviser un triangle en triangles produirait une division en « figures similaires ».Mais, diviser ce même triangle en un quadrilatère et un triangle serait une division en « figures dissimilaires ». Nous apprenons donc davantage ici sur le contenu du texte d’Euclide aujourd’hui perdu dans sa version grecque.

Par ailleurs, il est à noter que Proclus ne mentionne pas les figures solides. Son silence laisserait entendre qu’Euclide ne se serait intéressé qu’aux figures planes.Venons-en à l’épitomé rédigé au 10e siècle par as-Sijzī, qui se rapporte explicitement au Kitāb Uqlīdis fī al-qismat [Livre d’Euclide sur les divisions]191. Il correspond, dans une certaine mesure, à la description de Proclus. Cette contribution serait une traduction arabe partielle du texte grec Sur les divisions. Le géomètre persan donne les énoncés de trente-cinq propositions dont quatre seulement sont démontrées, les autres ayant été jugées faciles par as-Sijzī. À partir des affirmations de Proclus et de la contribution d’as-Sijzī, plusieurs éléments sur le traité euclidien peuvent être avancés. Les problèmes consistent à diviser une figure donnée par une ou plusieurs transversales soumises à des contraintes pour que les aires partielles répondent à un rapport donné. Ces problèmes sont formellement proches de ceux rencontrés dans la tradition babylonienne pour les triangles et les trapèzes. Mais leur résolution est différente de celles des scribes mésopotamiens.

En effet, la méthode euclidienne est géométrique, vraisemblablement fondée sur les Eléments et la manipulation des rapports de grandeurs, alors que les procédures babyloniennes sont exclusivement guidées par une approche numérique.Cette dernière remarque nous amène à signaler que l’existence même de Sur les divisions montre que la tradition grecque dite savante, avec Euclide comme représentant, ne se préoccupe pas uniquement de problématiques spéculatives. En effet, il faut noter que cet ouvrage part de préoccupations géométriques pratiques (voire calculatoires) pour en donner un traitement savant dans un cadre classique. Héron d’Alexandrie a montré dans les deux premiers livres de ses Metrica qu’il s’intéressait particulièrement aux questions de mesurage. Il n’est donc pas surprenant qu’il se soit aussi intéressé au problème du découpage des figures.

2) La division des figures dans le Livre III des Metrica. Après avoir traité du mesurage de figures planes et solides dans les deux premiers livres des Metrica, Héron expose dix-huit problèmes de division des figures planes (triangles, quadrilatères, polygones, cercle) et cinq problèmes de divisions de solides (sphère, pyramides, troncs de pyramide et de cône) qui se retrouvent globalement à la fin du livre.Dans sa courte préface, Héron explique en quoi la division des terrains fait l’écho d’une question plus large sur le juste partage et le mérite. C’est pourquoi il désire répondre aux divers problèmes de divisions à l’aide de la géométrie qui, selon lui, est la seule discipline capable de formuler des solutions à l’aide de démonstrations irréfutables : « Si, cependant, on voulait diviser les domaines selon un rapport donné, de sorte que, pour ainsi dire, pas un seul grain de millet de la répartition proportionnelle ne dépasse, ni ne manque du rapport donné, il faudrait faire usage de la seule géométrie (…)» Pour atteindre le but fixé dans sa préface, Héron propose une construction de la (ou des) transversale(s) qu’il démontre.

Il s’appuie implicitement sur des propositions des livres I, V et VI des Eléments d’Euclide en particulier et sur Les Données. Il est amené à distinguer deux groupes de problèmes. Les neuf premiers sont « numériques », c’est-à-dire qu’il est possible de les traiter à l’aide de nombres. Héron ne s’en prive pas et le traitement numérique est utilisé pour la synthèse mathématique du problème. L’analyse est, quant à elle, menée à l’aide d’un raisonnement géométrique sur les grandeurs et les rapports. Le second groupe de problèmes (les quatorze derniers) est exclusivement géométrique.Aucun d’entre eux n’est exprimé numériquement, aucune grandeur n’est donnée.

Les problèmes proposés sont majoritairement des divisions en deux parties selon un rapport donné. La transversale est alors le plus souvent définie avec la donnée du point par lequel elle doit passer. Ce point peut être soit un sommet, soit situé sur un côté ou à l’extérieur de la figure. En outre, la contrainte sur la transversale peut être le parallélisme par rapport à un des côtés de la figure. Un seul problème propose de diviser un cercle à l’aide d’un autre cercle, et non pas une droite, afin que les deux parties soient dans un rapport donné, à savoir celui de 3 à 5. Seuls deux problèmes résolvent la division en trois parties égales. Dans le cas d’un cercle, il est demandé de construire deux transversales sans contrainte supplémentaire. Pour un triangle, Héron propose de le diviser en trois triangles égaux à l’aide de trois droites concourantes à l’intérieur du triangle.

Les arpenteurs romains ou agrimensores.

Le terme agrimensores qui désigne littéralement les « mesureurs de champs » porte en lui une signification bien plus importante. Il rend compte d’une importante technicité et d’une fine théorisation qui, semble-t-il, ne trouve pas d’équivalent dans l’antiquité.L’activité professionnelle des agrimensores est liée aux applications pratiques des instructions juridiques. En effet, les arpenteurs romains sont non seulement chargés de mesurer et de délimiter la terre avec logique et précision, mais ils endossent aussi un rôle d’arbitre et d’expert lors de litiges liés au bornage et aux limites des champs. Enfin, pour certains d’entre eux, ils enseignent aussi les connaissances et les techniques liées à la mesure de la terre. Leur travail devient indispensable au fur et à mesure que l’Empire romain se développe, et naturellement leurs fonctions dans la vie sociale s’accroissent. Concernant le rapport à la loi, mentionnons simplement que l’arpenteur n’a a priori à dominer que deux domaines du droit romain : le recueil des lois sur la classification des terres, et celui sur le bornage et les litiges inhérents.

Les lois sur l’héritage ou sur les procédures de restitution, par exemple, se rattachent indirectement aux deux domaines précédents. Attachons-nous précisément à la mesure de la terre en nous dégageant dorénavant de toutes considérations juridiques qui ne seraient pas directement liées à notre sujet. En ce qui concerne l’arpentage de la terre, la tâche est multiple et peut être décomposée en trois étapes. Après avoir mesuré la terre en question, l’agrimensor doit « découper » la terre pour enfin la borner en traçant effectivement ses limites.

Les textes « gromatiques » latins ou le Corpus agrimensorum

Les sources qui nous renseignent sur l’arpentage romain sont peu nombreuses et réunies sous ce que l’on appelle le Corpus Agrimensorum. Recueil de textes entiers ou fragmentaires d’auteurs divers, ce groupe hétéroclite traite néanmoins du même sujet : l’arpentage des terres de l’empire romain. Constitué au fil des siècles, il est difficile à dater. Néanmoins, les textes les plus importants semblent avoir été rédigés à partir de la fin du 1er siècle de notre ère. Les derniers ajouts auraient été composés aux alentours du 5e siècle. Ces textes ne sont pas novateurs et ainsi, ils ne peuvent pas être considérés dans l’optique d’une quelconque production de savoirs. Il s’agit plutôt de synthèses de pratiques et d’acquis anciens. Ils se présentent sous la forme de manuels d’enseignement avec de nombreuses illustrations qui, pour la plupart, sont assez bien conservées et où s’unissent art gromatique et géométrie mathématique. L’art gromatique, d’une part, est caractéristique des techniques d’arpentage romain avec l’utilisation d’instruments et notamment la groma essentiellement conçue pour tracer des alignements et prendre des angles droits. La géométrie, d’autre part, que nous qualifions de scientifique pour marquer un degré de théorisation dépassant la « simple » technicité des instruments est présente implicitement et même explicitement dans certains manuels que nous présenterons par la suite. Nous pouvons ainsi donner une description partielle de la formation intellectuelle des arpenteurs.

Le découpage dans les traités gromatiques

Dans le Corpus agrimensorum, le découpage des terres occupe une place importante. Nous devons alors préciser le sens dans lequel nous devons entendre cette pratique dans l’Empire romain. Le découpage tel que les agrimensores le traitent est caractéristique d’une pratique exclusivement liée à l’établissement des cadastres.Il est principalement lié à deux missions de l’arpenteur romain : la première est le mesurage des terres de formes irrégulières, et la seconde est la division de la terre par centuriation. C’est probablement à partir des seuls traités gromatiques de Frontin et de Marcus Junius Nipsus que nous avons pu décrire la manière de mesurer la superficie des terres dont les limites sont des courbes irrégulières. D’abord, ces terres sont découpées en une figure inscrite régulière facile à mesurer – idéalement le rectangle – la plus grande possible en laissant sur les bords de petites surfaces irrégulières à leur tour. Des perpendiculaires aux côtés de la figure centrale seront tracées à partir de chaque angle de la frontière irrégulière. Les petites surfaces restantes seront ainsi découpées en une succession de petits triangles rectangles et de trapèzes dont les surfaces viendront s’ajouter à celle de la figure centrale. Aucun traitement mathématique de mesurage de longueur ou de surface n’accompagne, dans les documents que nous avons, ces découpages.

La centuriation, exposée en détail dans le traité d’Hygin le Gromatique, dérive étymologiquement des centuries – petits carrés de base – qui recouvrent les terres de l’empire. Cette pratique implique donc un découpage orthonormé des territoires à partir du tracé de deux perpendiculaires et de parallèles à ces dernières. Là encore, aucune géométrie mathématique n’est effectivement présente dans les textes gromatiques auxquels nous avons eu accès.

Table des matières

Première Partie : Introduction et exposé historique
INTRODUCTION
HISTORIQUE DES PROBLEMES DE MESURAGE ET DE DECOUPAGE
CHAPITRE 1. Les problèmes de mesurage et de découpage dans la tradition mathématique mésopotamienne : forme et contenu Sigles des collections des tablettes utilisées
A) Les pratiques de mesurage dans les mathématiques mésopotamiennes
1) Le calcul d’aires
a) Le triangle
b) Le carré
c) Le rectangle
d) Le trapèze
e) Le cercle et ses portions
2) Le calcul de volumes
a) Les prismes droits
b) Le cylindre
c) Les pyramides et cônes tronqués
B) Le découpage des figures planes dans les mathématiques mésopotamiennes
1) Le découpage des triangles
a) Les bases des « calculs » de découpage
b) Découper un triangle en deux parties parallèlement à un côté
c) Découper un triangle en trois parties parallèlement à un côté
d) Découpage d’un triangle en trois triangles
2) Le découpage des trapèzes
a) Découper un trapèze en deux trapèzes de même aire parallèlement à ses bases
b) Découper un trapèze en deux parties, dans un rapport donné, parallèlement à ses bases
c) Découpage d’un trapèze en n (n > 2) parties
C) Conclusion
CHAPITRE 2. Le mesurage et le découpage dans les mathématiques grecques 
A) Le mesurage des figures planes et solides dans les mathématiques grecques
1) Les Metrica de Héron d’Alexandrie
2) Le corpus pseudo-héronien
3) Les opuscules géométriques de Didyme et de Diophane et autres témoignages anonymes
a) Le traité de planimétrie et de stéréométrie de Diophane
b) Le métrage des divers bois de Didyme
c) Plusieurs témoignages fragmentaires anonymes
B) Les pratiques de découpage dans les mathématiques grecques
1) Sur les divisions d’Euclide
2) La division des figures dans le Livre III des Metrica
CHAPITRE 3. La géométrie dans la littérature latine de l’Antiquité tardive
A) Une source éventuelle : le De re rustica de Columelle
B) L’héritage romain : les agrimensores et leur corpus
1) Les arpenteurs romains ou agrimensores
2) Les textes « gromatiques » latins ou le Corpus agrimensorum
3) Le découpage dans les traités gromatiques
4) Le mesurage dans les traités gromatiques
a) Deux traités de Marcus Junius Nipsus
b) Le Podismus
c) Le De iugeribus metiundis
d) La contribution de Balbus
C) Lien avec l’Europe de l’Antiquité tardive
CHAPITRE 4. Le mesurage et le découpage dans les mathématiques arabes d’Orient 
A) Le mesurage
1) Les problèmes de mesurage comme champ d’application de l’algèbre
a) al-Khwrizm (780-850) et ses commentateurs
b) Ab Kmil (ca.850-930)
c) Al-Karaj (m. 1023)
2) La géométrie du mesurage : tradition du savoir-faire
a) Thbit Ibn Qurra (836-901)
b) Ab Kmil (ca.850-930)
c) Ab l-Waf’ al-Bzajn (940-998)
d) Ibn al-Haythm (m. 1041)
e) Ibn hir al-Baghdd (11e s.)
f) Le Q Ab Bakr (11e -12e s. ?)
g) Amad Ibn Thabt (13e s.)
h) Deux témoins tardifs du mesurage en Orient musulman
B) Le découpage
1) Le découpage « savant » : Sur la division d’Euclide
2) Le découpage dans la tradition locale
a) Le témoignage de la jurisprudence musulmane
b) Thbit Ibn Qurra
c) Les problèmes traditionnels de découpage de terrains
3) Une tradition mixte du découpage
C) À qui s’adressent les traités de mesurage et de découpage en Orient musulman?
CHAPITRE 5. Le mesurage et le découpage dans les mathématiques de l’Occident musulman 
A) Les textes connus dans leur version originale
1) Les témoins arabes du mesurage et du découpage de l’Occident musulman
a) La Risla f-t-taksr d’Ibn ôAbdn
b) Le Talq al-afkr d’Ibn al-Ysamn
c) Le traité d’al-Murs
d) Le traité d’Ibn al-Jayyb
e) D’autres ouvrages
2) Les traités de mesurage rédigés en hébreu
a) le ibbur ha-Mešiah we-ha-Tišboret d’Abraham Bar iyya
b) le Sefer ha-Middot attribué à Abraham Ibn Ezra
3) Un représentant de la tradition latine directe : le Liber Mahameleth
B) Les textes arabes et hébraïques connus dans leur version latine
CHAPITRE 6. Le mesurage et le découpage dans les géométries pratiques latines 
A) La « géométrie pratique » en Europe
1) Le schéma de Hughes de Saint-Victor
2) Le De divisione philosophiae de Dominicus Gundissalvo
3) L’apport du Geometrie due sunt partes principales… : les géométries pratiques « artificielle » et « non artificielle »
4) La préface d’un commentaire aux Eléments d’Euclide du 13e siècle
B) Le corpus latin des 13e et 14e siècles
1) La Practica geometriae de Fibonacci (13e s.)
2) Le Liber Philotegni de Jordanus de Nemore (13e s.)
3) Le De arte mensurandi de Jean de Murs (14e s.)
C) Quelques hypothèses sur la circulation éventuelle de la tradition arabe vers la tradition latine.
CONCLUSION GENERALE
Deuxième Partie : Analyses mathématiques
A) Le Livre sur le mesurage d’Ab Bakr
B) Le Livre de Saôd Ab ôUthmn
C) Le Livre de ôAbd ar-Ramn
D) Le Livre sur les divisions des figures de Muammad al-Baghdd
Résumé Anglais

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