Le calcul vectoriel en classe de seconde

L’enquête PISA 2015 de l’OCDE a récemment pointé du doigt les carences des élèves français en mathématiques. Seuls 8 % des élèves possèdent « suffisamment de connaissances et de compétences scientifiques pour les appliquer de manière créative et autonome dans un large éventail de situations, y compris des situations qui ne leur sont pas familières ».

Introduire des notions auxquels les élèves ne sont pas familiers est donc une tâche extrêmement ardue pour l’enseignant et d’autant plus difficile que la notion est abstraite.

L’introduction de la notion de vecteurs dans le plan en classe de seconde ne semble pas échapper à ce constat. Aux dires de nos collègues expérimentés, ce chapitre est l’un des plus difficile de la classe de seconde et le moins facilement compris des élèves : ces derniers paraissent comprendre plus ou moins aisément la notion de translation, cependant la notion de calcul vectoriel et l’utilisation de la relation de Chasles est souvent mal comprise, appliquée avec beaucoup de difficulté et rarement à bon escient. En effet une bonne compréhension de ce chapitre nécessite des qualités d’abstraction aux élèves.

Fiche de lecture

Titre : « Les vecteurs à l’issue de la seconde. Une analyse des manuels et de quelques difficultés d’élèves », issu de Petit x, n° 53, pp. 49-68.
Auteur : Marilena BITTAR
Editeur : IREM de Grenoble, Grenoble, 2000
Format : A4, ISSN : 0759-9188

Présentation de l’auteur

Marilena BITTAR est docteur en sciences de l’éducation, spécialisée dans la didactique des mathématiques, professeur à l’Université de Mato Grosso do Sul (Brésil). Elle a collaboré a plusieurs articles avec des chercheurs de l’université Joseph Fourier (Grenoble). Le présent article est issu d’une recherche de Mme BITTAR menée au sein du laboratoire Leibniz (CNRS / université Joseph Fourier). La base de données Publimath recense deux autres articles publiés par Mme BITTAR, qui portent sur l’enseignement des vecteurs dans le secondaire et l’apport des calculatrices symboliques ou des logiciels. Les recherches récentes de Mme BITTAR ont d’ailleurs pour thème, de manière générale, l’intérêt des logiciels et de la technologie dans l’enseignement des mathématiques.

Présentation générale de l’article

L’article analyse dans une première partie les savoirs à enseigner sur les vecteurs dans le secondaire, notamment au travers des manuels scolaires, de la quatrième à la seconde, en détaillant particulièrement le niveau de seconde. On notera en effet, et c’est une des leçons intéressantes de cet article au regard de la situation actuelle, que les vecteurs étaient introduits auprès des élèves dès la quatrième, jusqu’au début des années 2000. Dans sa seconde partie, l’article cherche à identifier les difficultés que cet enseignement peut engendrer chez les élèves.

Analyse de la seconde partie

Afin d’étudier les difficultés des élèves, l’auteur tente de mesurer la disponibilité (au sens d’un outil disponible pour la résolution d’un problème) et l’efficacité (au sens de la réussite dans la résolution d’un problème) de l’outil vectoriel. Un exercice est ainsi soumis à des élèves d’une classe de première S. Ce problème est classique et peut être résolu avec différentes méthodes. L’énoncé du problème est écrit avec l’objectif d’éviter les automatismes créés par l’enseignement du calcul vectoriel : plutôt que de demander de montrer que trois points A, E et C sont alignés (ce qui devrait inciter les élèves à utiliser la notion de colinéarité de vecteurs), il est demandé de prouver que E appartient au segment [AC].

L’expérience montre qu’environ la moitié des élèves pensent d’eux-mêmes à l’outil vectoriel pour résoudre le problème qui leur est soumis. Sur ces copies, environ un quart réussit à démontrer le résultat demandé, les autres commettant des erreurs ou ne parvenant pas à aboutir à la conclusion. Cette expérience est une illustration d’une difficulté majeure des élèves dans leurs débuts avec le calcul vectoriel, sur laquelle nous reviendrons dans ce mémoire : l’absence de stratégie de résolution. Les élèves connaissent ainsi la relation de Chasles mais ne savent souvent pas l’utiliser à bon escient (n’ayant, en particulier, pas de notion de décomposition dans une base vectorielle).

Conclusion
L’article conclut à une disponibilité plutôt correcte du calcul vectoriel parmi les élèves testés. Mais à un constat plus inquiétant en matière d’efficacité. Les vecteurs sont vus comme un outil par les élèves, mais ils n’en maîtrisent pas l’efficacité : ces derniers savent effectuer des substitution avec la relation de Chasles, mais leur réussite à montrer le résultat recherché est d’une certaine manière dûe au hasard (celui qui réussit est celui qui a eu la chance de faire les bonnes substitutions). Cette difficulté n’a rien perdu de son actualité dans l’enseignement des vecteurs en seconde en 2017. Elle a été au cœur de notre réflexion d’enseignant cette année et constitue un des principaux sujets de ce mémoire.

Pistes pour améliorer la compréhension du calcul vectoriel

Plusieurs leçons peuvent être tirées de notre expérience de l’enseignement des vecteurs en seconde et des réflexions qui précèdent.

Tout d’abord, il est important de faire acquérir aux élèves une approche très méthodologique des exercices portant sur les vecteurs. Les questions qu’ils doivent se poser sont : est-ce un exercice de technique pure (calcul vectoriel, relation de Chasles… ) dans lequel il est demandé de prouver une égalité par exemple, y a-t-il des hypothèses de l’énoncé à traduire vectoriellement (milieu d’un segment, parallélogramme), est-ce une application des vecteurs (recherche des coordonnées d’un quatrième point pour constituer un parallélogramme, preuve du parallélisme de droites, preuve d’un alignement de points… ). L’essentiel est de posséder une stratégie pour ne pas « tourner en rond ». L’analyse de l’énoncé est essentielle, encore plus ici que dans d’autres parties du cours.

Il est important de retarder autant que possible l’introduction des coordonnées afin que les vecteurs soient bien perçus dans leur cadre géométrique et en tant qu’éléments d’un groupe (existence de l’addition, d’un opposé, d’un vecteur nul) avant d’être vus numériquement comme un couple de réels (coordonnées).

Les énoncés des exercices (qui ne soient pas juste des exercices d’entraînement mais des exercices d’approfondissement) doivent être pensés pour illustrer auprès des élèves la puissance du calcul vectoriel. A ce sujet, le thème des barycentres offre bien sûr plusieurs exercices intéressants. Mais il faut se souvenir que cette notion n’est pas du tout au programme et donc prévoir un énoncé progressif (qui commence notamment par montrer l’existence du barycentre). Nous pensons donc qu’il serait utile de prévoir un ou deux « beaux » DM récapitulatifs, qui permettraient d’obtenir un résultat important. BITTAR propose comme illustration de cet objectif une démonstration élégante du théorème des milieux grâce aux vecteurs. Nous pouvons suggérer deux exemples de tels DM récapitulatifs : la démonstration de l’existence de la droite d’Euler d’une part et, d’autre part, trois méthodes pour résoudre le problème posé dans la seconde partie de l’article BITTAR, qui, si elles n’utilisent pas uniquement la puissance du calcul vectoriel pour arriver au résultat (et pour cause : trois méthodes seraient proposées avec des outils différents), permettent de faire le point sur de nombreux aspects de la géométrie de seconde (repères, coordonnées, longueur d’un segment, équations de droite, vecteurs, … ).

La séquence sur les vecteurs est probablement la plus longue et la plus difficile de l’année de seconde. De surcroît, l’introduction de cette séquence, avec la définition de la translation basée sur un algorithme qui semble compliqué aux élèves et qui est ensuite peu exploité (A tout point C du plan, on associe, par translation qui transforme A en B, l’unique point D tel que [AD] et [BC] ont même milieu), est difficile. Cette séquence demande donc une pédagogie poussée ainsi qu’une structuration très claire, afin que les élèves se repèrent dans les nombreuses définitions et méthodes qu’ils doivent acquérir pour utiliser avec succès l’outil vectoriel.

La lecture de l’article de M. BITTAR a révélé que, jusqu’au début des années 2000, les vecteurs et le calcul vectoriel étaient introduits sur trois ans, de la classe de quatrième (où les notions de direction-sens-longueur étaient présentées, qui ont totalement disparu aujourd’hui dans le programme de seconde), à celle de seconde. La translation était présentée également dès la quatrième. L’ensemble est aujourd’hui introduit en seconde. Cette absence de progressivité est certainement une des causes des difficultés à l’apprentissage des vecteurs, en seconde, aujourd’hui. On peut à ce titre espérer que la réapparition de la translation dans les programmes du collège, à la faveur de la réforme intervenue à la rentrée 2016, améliore la situation au lycée à partir de la rentrée 2017.

Quoi qu’il en soit, nous avons eu en tout cas le plaisir de constater que les efforts de méthodologie que nous avons conduits ont permis aux élèves de faire des progrès et d’échapper un peu au syndrome bien connu dans les vecteurs et la relation de Chasles de « tourner en rond ». Malheureusement, cette première année d’enseignement ne nous a pas permis d’éviter tous les pièges. Nous espérons pouvoir, dès l’an prochain, en divisant en deux parties l’enseignement des vecteurs et en présentant aux élèves des applications illustrant la puissance du calcul vectoriel, tout en étant très attentifs à la clarté et à la progressivité des énoncés, améliorer la compréhension et l’adhésion des élèves pour cet outil vectoriel qu’ils découvrent en seconde et dont nous ne saurions trop souligner l’importance.

Table des matières

Introduction
1. Fiche de lecture
a) Présentation de l’auteur
b) Présentation générale de l’article
c) Analyse de la seconde partie
d) Conclusion
2. Programme sur les vecteurs
a) Programme actuel
b) Remarques sur le programme
3. Les difficultés classiques des élèves
a) Erreur d’application directe de la relation de Chasles
b) Utilisation à bon escient de la relation de Chasles
c) Entraînement au calcul vectoriel
d) Calcul vectoriel dans les problèmes ouverts
e) Résumé des difficultés rencontrées
4. Les exercices de calcul vectoriel
a) Analyse critique d’un exercice
b) Modification de l’énoncé
5. Pistes pour améliorer la compréhension du calcul vectoriel
Conclusion
Annexe – Extraits de manuels
Bibliographie

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