Le calcul mental au CP

Le concept de nombre

En partant de ce qui a été dit précédemment, le nombre semble être, comme le définit Nolwenn Guedin (2013) en psychologie cognitive, « un outil universel que toutes les civilisations ont été contraintes de mettre en place pour résoudre des situations de la vie quotidienne ». Dans le même ordre d’idées, Charnay (2018) l’associe à « un outil conceptuel efficace pour exprimer des quantités d’objets et communiquer à leur sujet ». Aujourd’hui, les mathématiciens s’accordent pour désigner les différents types de nombres par cinq grands ensembles inclus les uns dans les autres : ℕ (ensemble des nombres entiers naturels), ℤ (ensemble des nombres entiers relatifs), ⅅ (ensemble des nombres décimaux), ℚ (ensemble des nombres rationnels), ℝ (ensemble des nombres réels). À simple titre d’illustration, 19 est à la fois un entier naturel, un entier relatif, un décimal, un rationnel et un réel.
Ainsi, à partir de cet instant, lorsque nous utilisons le mot « nombre », nous faisons allusion aux nombres entiers naturels c’est-à-dire « les nombres les plus utilisés dans la vie courante qui permettent de dénombrer des collections d’objets, d’exprimer des quantités ou des rangs dans des listes ordonnées » (Charnay 2013).
Toutefois, définir le concept de nombre n’est pas aisé. En effet, beaucoup d’auteurs abordent des thématiques relatives à son acquisition, sa caractérisation ou sa conceptualisation…sans pour autant le définir. D’après le dictionnaire Larousse, il s’agit d’une « notion fondamentale des mathématiques dérivant du besoin de dénombrer, de classer des objets ou de mesurer des grandeurs, mais qui ne peut faire l’objet d’une définition stricte ». Pour certains chercheurs, comme la pédagogue Stella Baruck (2003), le nombre, « objet appartenant à un ensemble de nombres », n’est ni un numéro, ni une quantité mais une idée qui permet de se représenter une quantité sans pour autant, la désigner, l’exprimer ou la représenter.

Le concept de calcul mental

Somme toute, maintes définitions ont été avancées, au travers de cette variété d’expressions, pour expliquer ce concept au regard des objectifs principaux qui peuvent être assignés à l’enseignement du «calcul mental» : développer des habiletés calculatoires et des connaissances numériques, des capacités dans la résolution de problèmes et des compétences relatives au calcul approché. Nous pensons particulièrement aux travaux de la commission permanente des IREM pour l’école élémentaire où la définition de ce que l’on entend par « calcul mental », « faire du calcul mental » ou encore à quoi il ne peut être réduit ou se limiter reste relativement complexe et morcelé. Dans ce paragraphe, nous tenterons d’appréhender d’autres approches de chercheurs mais surtout celle de Jean-François Chesné pour l’étendue de ses travaux qui semble être en adéquation avec notre thème de recherche.
Dans un premier temps, Chesné (2014) définit le calcul mental comme suit : « nous entendons par calcul mental l’ensemble des activités qui consistent à effectuer des opérations avec des nombres, essentiellement sans aide matérielle externe » (p.192). Par la suite, persuadé que le calcul mental ne se limite pas à l’exécution stricte et rapide des procédures opératoires sur les nombres dans le but de les automatiser, il étend sa définition du calcul mental « à un travail explicite sur les désignations des nombres (écrites, orales, symboliques chiffrées ou non) et un travail participant, tout ou partie, à la résolution de problèmes mettant en jeu des données numériques » (p.192). Fort de cette aperception, également soutenue, entre autre, par Butlen et Pézard (2002), Butlen et Masselot (2010) et la commission permanente des IREM pour l’école élémentaire (2012), le chercheur s’inscrit dans la lignée des chercheurs anglo-saxons et leur emprunte le concept de « number sense ». Ce concept n’est pas, à proprement parler, associé au calcul mental. Néanmoins, il en appelle à la « la compréhension générale des nombres et des opérations, ainsi qu’à la capacité d’utiliser cette compréhension générale des nombres et des opérations pour porter des jugements mathématiques et élaborer des stratégies utiles et efficaces » (Reys R., Reys B., McIntosch, Emmanuelson, Jonhson et Yang, 1999). Plus particulièrement, Chesné s’approprie la notion d’«inclination» qu’il interprète comme « la tendance et l’envie de recourir au calcul mental, associées à la disponibilité de connaissances sur les nombres et les opérations ». L’idée-force sous-jacente étant que plus l’on est « à l’aise » avec les nombres, mieux on peut leur donner du sens et en tirer parti (Turkel et Newman, 1988).

Calcul mental et connaissance des nombres

Au regard du constat préoccupant avancé supra concernant la baisse des performances des élèves en calcul aujourd’hui en fin du cycle de l’école élémentaire, de nombreux pédagogues, chercheurs, didacticiens, voire responsables du système éducatif confirment cette situation potentiellement problématique. En effet, les évaluations des compétences mathématiques réalisées par la DEPP durant plusieurs années scolaires sont sans équivoques et la note de recommandation du Conseil National d’Evaluation du Système Scolaire (CNESCO) sur les premiers apprentissages des nombres et des opérations à l’école primaire fournit des chiffres relativement alarmistes sur ce constat : « seuls 58% des élèves maîtrisent les compétences attendues en fin de CM2. Plus de 40% des élèves n’ont pas acquis les connaissances de base relatives au calcul mental et aux opérations sur les grands nombres et les décimaux » (CNESCO, 2015).
Selon Brissiaud (2013), parmi les facteurs pouvant expliquer cette baisse avérée, il y a particulièrement la manière d’enseigner les nombres. Autrement dit, l’auteur préconise que «l’accès
au nombre requiert à la fois que l’enfant apprenne à compter97 et qu’il utilise des collections témoins organisées (configurations de doigts ou constellations), analogiquement « l’accès au calcul requiert à la fois l’amélioration des procédures de comptage et l’usage de collections-témoins organisées ». Plus précisément, il distingue deux processus d’apprentissage du nombre, passant soit par un comptage-numérotage, soit par un comptage-dénombrement, dont les effets pédagogiques sont très différents selon qu’on enseigne l’une ou l’autre de ces deux formes de comptage. De manière précise, il faut comprendre que la première fait obstacle au progrès vers le calcul et la deuxième le favorise. Par conséquent, l’apprentissage de la représentation numérique des quantités par comptage de un à un (ou par accumulation d’unités100) mobilise le langage. C’est pourquoi que l’enfant qui apprend la comptine numérique (chaîne numérique verbale) apprend ainsi à compter, en mettant en correspondance terme à terme, les mots nombres de la comptine avec les objets d’une collection , et ceci dès l’âge de 4 ans.

Calcul mental et élèves en difficulté

Nous avons vu supra qu’une pratique régulière du calcul mental contribue, chez les élèves, à l’enrichissement des conceptions numériques et de leur domaine de disponibilité, à leur familiarisation accrue avec les décompositions de nombres, le sens et les propriétés des opérations ce qui leur permet d’optimiser, de diversifier et d’étendre les procédures de calcul dont ils disposent. De plus, l’aisance calculatoire que leur confère cet entraînement augmente leurs performances en résolution mentale et écrite de problèmes « plutôt familiers ». En effet, une plus grande habileté en calcul accélère le processus de reconnaissance de l’opération arithmétique à effectuer en réduisant l’espace en mémoire affecté au traitement opératoire au bénéfice du stockage des données et de la représentation du problème, en favorisant le développement des capacités d’adaptation (prise d’initiative, essais, habitude au changement rapide de stratégie ou de point de vue) et en assurant une meilleure maîtrise des techniques de calcul.
Cependant, les effets d’un entraînement régulier en calcul mental ne deviennent sensibles que si les élèves arrivent à dépasser une logique contradictoire, entre adaptabilité et automatisme, propre à ce type de calcul que Butlen, Charles-Pézard et Masselot (2015) nomment le paradoxe de l’automatisme. D’après ces chercheurs, l’une des caractéristiques importantes des élèves qui ne réussissant pas en calcul mental est de recourir systématiquement aux procédures de calcul automatisées, tel que l’algorithme écrit simulé mentalement, au désavantage d’autres procédures moins coûteuses plus adaptées aux propriétés des nombres et des opérations en jeu. Nonobstant, pour choisir rapidement la stratégie la plus adaptée au calcul du moment, l’élève doit à la fois disposer d’une palette de décompositions des nombres entiers ainsi que de procédures riches et accessibles.
En clair, Butlen et Masselot (2010) expriment cette contradiction ainsi : pour échapper à l’automatisme «en général» (« comportement se caractérisant par une mobilisation quasi systématique de l’élève d’un seul type de procédure quelles que soient les nombres numériques du calcul à effectuer »), les élèves doivent posséder des automatismes « particuliers » (« recours à un
ensemble de faits numériques et de procédures automatisées installées en mémoire et ayant fait l’objet d’un enseignement ou d’une pratique préalable »). À vrai dire, les recherches de Butlen et Pézard (2003) et Butlen (2007) ont montré que des apprentissages spécifiques peuvent, dans un premier temps, « mettre en place des automatismes élémentaires visant à étendre le domaine des décompositions additives ou multiplicatives susceptibles d’être convoquées par les élèves et d’accroître leur disponibilité», puis, dans un deuxième temps, « en fonction des nombres et des opérations en jeu, apprendre à choisir les décompositions mobilisables dans les calculs parmi toutes celles qui sont possibles » (Butlen, 2007).

Des références à la didactique professionnelle et à la psychologie ergonomique

Pour les mathématiques, Aline Robert et Janine Rogalski (2002, 2005) rajoutent la référence à la didactique professionnelle et à la psychologie ergonomique, et rapportent, ainsi, « les pratiques observées à l’exercice de leur métier par les enseignants, en tenant compte explicitement de leur inscription professionnelle et personnelle qui peut avoir des incidences sur la classe et les activités des élèves » (Robert et Vivier, 2013, p.118). Plus concrètement, les auteures considèrent que « les choix de contenus mathématiques sont certes impliqués par la nature même des mathématiques mais aussi par des impératifs de gestion de la classe concernée, par des considérations liées aux programmes, au temps long, à ses propres représentations et connaissances » (ibid.). En conséquence, notre quatrième parti pris est donc de tenir compte du fait que l’enseignant exerce un métier singulier soumis à des contraintes en partie indépendantes des enjeux didactiques.
Cependant, cette approche ergonomique oblige Robert et Rogalski à renoncer, dans leurs analyses, au lien exclusif entre pratiques en classe et apprentissages visés pour s’immerger également dans le monde professionnel. Conséquemment, en admettant la complexité des pratiques enseignantes et leur cohérence (De Montmollin, 1984), elles élaborent, pour les étudier, une démarche théorique imbriquant des analyses didactiques des activités mathématiques des élèves et des analyses ergonomiques inspirées de l’analyse de l’exercice du métier (Robert et Rogalski, 2002, 2005 ; Masselot et Robert, 2007 ; Robert, 2008) : la « double approche ». Par la suite, d’autres chercheurs, tel que Pastré (2005) la complète par des éléments ergonomiques suggérées par les schémas de développement des activités de travail. Dans cet effort de compréhension de la complexité des pratiques enseignantes, Aline Robert et Janine Rogalski procèdent à l’analyse des séances en classe du professeur et des activités qu’il y développe en prenant comme observables les activités des élèves et la manière dont il les organise « avec une lecture orientée vers la reconstitution de ses divers choix ».

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Table des matières

INTRODUCTION GÉNÉRALE
1- Définition du sujet
2- Historique du contexte actuel
3- Les problèmes auxquels répond notre thèse
4- La méthodologie pour répondre au problème
5- L’annonce de la structure du développement
PREMIERE PARTIE – ORIENTATION ET AXE DE LA RECHERCHE
CHAPITRE 1 : SITUATION DANS LE CHAMP D’ÉTUDE
1. Orientation de la recherche en Sciences de l’éducation
1.1 Une approche suggérée
1.2 Notre posture dans le champ d’étude
2. La question des acquis des élèves dans le domaine des nombres et du calcul à l’école primaire
2.1 Les acquis des élèves dans le domaine des nombres
2.2 Les acquis des élèves dans le domaine du calcul
2.3 Bilan sur les acquis des élèves dans le domaine des nombres et du calcul à l’école primaire
3. État des lieux de la recherche sur l’enseignement-apprentissage du calcul mental
3.1 Les recherches centrées sur les apprentissages des élèves
3.2 Les recherches centrées sur les pratiques enseignants
CHAPITRE 2 : PRATIQUES PRÉCONISÉES EN CALCUL MENTAL
1. Le constat des approches pédagogiques
2. Les dispositifs d’accompagnement du système éducatif
DEUXIÈME PARTIE – QUESTION CENTRALE ET CADRE THÉORIQUE
CHAPITRE 3 : QUESTIONS DE RECHERCHE ET HYPOTHÈSES
1. Les fondements de notre question de recherche
2. De la question centrale aux hypothèses
2.1. La question de recherche
2.2. Formulation des hypothèses
CHAPITRE 4 : ANALYSE DES CONCEPTS
1. Le concept de nombre
1.1. Origine
1.2. Définition
1.3. Conceptualisation
2. Le concept de calcul mental
2.1. Origine
2.2. Caractérisation
2.3. Définition
3. Calcul mental et connaissance des nombres
4. Calcul mental et résolution de problèmes
5. Calcul mental et élèves en difficulté
CHAPITRE 5 : NOS PARTIS PRIS THÉORIQUES
1. La Théorie de l’Activité finalisée : un cadre unificateur pour l’articulation
des pratiques enseignantes et des apprentissages des élèves
2. Emprunts et articulations des théories de Piaget et de Vygotski : conceptualisation
médiations et zone proximale de développement
3. Des références à la didactique professionnelle et à la psychologie ergonomique
TROISIÈME PARTIE – LES PRATIQUES ORDINAIRES DES ENSEIGNANTS AU CP : INVESTIGATIONS ET ANALYSE DES DONNÉES
CHAPITRE 6 : L’ENSEIGNEMENT ET L’APPRENTISSAGE DU CALCUL MENTAL DE SOMMES AVEC LE FRANCHISSEMENT DE LA DIZAINE AU CP
1. De la maternelle au cours préparatoire : Apprendre à quantifier
1.1. Quelles priorités pour les problèmes numériques en GS et en début de CP ?
1.1.1 Exprimer, mémoriser, comparer les quantités et communiquer à leur sujet
1.1.2 Anticiper le résultat d’actions portant sur des quantités
1.1.3 Exprimer, mémoriser, comparer des rangs et communiquer à leur sujet
1.2. Quelles techniques et quelles propriétés doivent être maîtrisées par les élèves
en GS et en début de CP ?
1.2.1 Quantifier
1.2.2 Maîtriser la comptine numérique
1.3. Quelles priorités pour la représentation des nombres en GS et au début du CP ?
1.4. Les obstacles à une « première rencontre réussie » avec les nombres à l’école maternelle
1.5. Conséquences pour l’enseignement et l’apprentissage du calcul au CP
2. Du comptage au calcul mental des additions
2.1. Les composantes du progrès vers le calcul mental
2.1.1 L’amélioration des pratiques de comptage
2.1.2 L’emploi des collections-témoins organisées
2.1.3 La mémorisation du répertoire additif
2.1.4 L’enseignement de l’égalité numérique
2.2. Deux conceptions de l’accès au calcul mental dans le paysage français
2.2.1. Une première conception : du comptage au calcul numérique
2.2.2. Une deuxième conception : du « calcul sur les objets » au calcul numérique
2.3. Conséquences pour l’enseignement du calcul mental de sommes au CP
3. Les obstacles à l’apprentissage du calcul mental de l’addition au CP et les conséquences sur son enseignement
3.1. Difficultés liées à la conceptualisation du nombre et conséquences pour l’enseignement du calcul mental
3.2. Difficultés liées au comptage et conséquences pour l’enseignement
3.3. Difficultés liées à l’emploi du symbolisme arithmétique et conséquences pour l’enseignement
3.4. Difficultés liées à la mémorisation des tables d’addition et conséquences pour l’enseignement
4. Bilan intermédiaire sur l’étude de la notion
5. Les projets d’enseignement possibles : Une étude comparative des manuels
5.1. Méthodologie d’analyse des manuels
5.2. Le panel
5.3. La programmation du calcul mental dans les manuels du CP : le cas de l’addition
5.3.1. Méthodologie d’analyse de la programmation
a) Les indicateurs
b) La méthode utilisée pour comparer les programmations des manuels
5.3.2. L’organisation globale des manuels en ce qui concerne l’enseignement du calcul mental de l’addition
a) Litchi Mathématiques
b) Cap maths
c) Pour comprendre les maths
d) Euromaths
e) J’apprends les maths avec Tchou
5.3.3. Comparaison de la programmation des manuels
a) Le sens de l’addition et les écritures additives
b) La suite des nombres jusqu’à 99 et la numération
c) L’apprentissage du calcul mental de sommes et la mémorisation du répertoire additif
5.4. Les scénarios proposés dans les manuels pour enseigner
les additions mentales de nombres inférieurs à 10 avec passage de la dizaine
5.4.1. Le scénario de Litchi
a) L’itinéraire cognitif et les contenus mathématiques
b) Démarche d’enseignement du calcul réfléchi
c) Stratégies globales d’enseignement
d) Structure, format et type de séances du scénario
e) Les activités proposées au cours du déroulement
f) La gestion des moments d’institutionnalisation
5.4.2. Le scénario du Cap maths
a) L’itinéraire cognitif et les contenus mathématiques
b) Démarche d’enseignement du calcul réfléchi
c) Stratégies globales d’enseignement
d) Structure, format et type de séances du scénario
e) Les activités proposées au cours du déroulement
f) La gestion des moments d’institutionnalisation
5.4.3. Le scénario de Pour comprendre les maths
a) L’itinéraire cognitif et les contenus mathématiques
b) Démarche d’enseignement du calcul réfléchi
c) Stratégies globales d’enseignement
d) Structure, format et type de séances du scénario
e) Les activités proposées au cours du déroulement
f) La gestion des moments d’institutionnalisation
5.4.4. Le scénario d’Euromaths
a) L’itinéraire cognitif et les contenus mathématiques
b) Démarche d’enseignement du calcul réfléchi
c) Stratégies globales d’enseignement
d) Structure, format et type de séances du scénario
e) Les activités proposées au cours du déroulement
f) La gestion des moments d’institutionnalisation
5.4.5. Le scénario de J’apprends les maths
a) L’itinéraire cognitif et les contenus mathématiques
b) Démarche d’enseignement du calcul réfléchi
c) Stratégies globales d’enseignement
d) Structure, format et type de séances du scénario
e) Les activités proposées au cours du déroulement
f) La gestion des moments d’institutionnalisation
5.4.6. Analyse comparative des projets d’enseignement proposés dans les manuels
CHAPITRE 7 : UNE ÉTUDE DE CAS DANS L’ACADEMIE DE GUADELOUPE
1. Méthodologie d’analyse des pratiques enseignantes
1.1. Délimiter le champ d’analyse et sélectionner les unités d’observation
1.1.1. Le champ d’analyse
a) Un contexte institutionnel propice à l’étude
b) Un sujet mathématique commun et des séquences complètes
c) Une ressource académique : La progression minimum du GAM
1.1.2. La sélection de l’échantillon
a) Première phase de sélection des classes : Année 1 (2013 – 2014)
b) Deuxième phase de sélection des classes : Année 2 (2014-2015)
1.1.3. Caractéristiques individuelles des enseignants de l’échantillon
1.2. Identifier les éléments pris en considération par les professeurs pour élaborer leur projet d’enseignement
1.2.1 Les représentations des professeurs du CP et le profil de leur classe
1.2.2 L’observation des séances dans les classes
1.2.3. Des entretiens à chaud
1.2.4. La reconstitution du projet d’enseignement
1.2.5 L’étude du projet d’enseignement reconstitué
1.3. Caractériser les pratiques privilégiées par les enseignants Pour venir en aide aux élèves en difficulté
1.3.1. Les pratiques à l’égard des élèves en difficulté
1.3.2. Le repérage des élèves en difficulté
1.3.3. L’observation des pratiques enseignantes à l’égard des élèves en difficulté
1.3.4 Présentation des grilles
2. Analyses et interprétations des résultats
2.1. Principaux éléments didactiques et pédagogiques pris en considération par les enseignants pour concevoir leur projet d’enseignement
2.1.1 Éléments pris en considération par Astride pour concevoir son projet d’enseignement
a) Redéfinition de la tâche prescrite
b) Stratégie d’enseignement
c) Les tâches possibles des élèves dans les activités proposées
d) Le rapport de l’enseignant au manuel dans son activité de préparation
2.1.2 Éléments pris en considération par Séverine pour concevoir son projet d’enseignement
a) Redéfinition de la tâche prescrite
b) Stratégie d’enseignement
c) Les tâches possibles des élèves dans les activités proposées
d) Le rapport de l’enseignant au manuel dans son activité de préparation
2.1.3 Éléments pris en considération par Béatrice pour concevoir son projet d’enseignement
a) Redéfinition de la tâche prescrite
b) Stratégie d’enseignement
c) Les tâches possibles des élèves dans les activités proposées
d) Le rapport de l’enseignant au manuel dans son activité de préparation
2.1.4 Éléments pris en considération par Sophie pour concevoir son projet d’enseignement
a) Redéfinition de la tâche prescrite
b) Stratégie d’enseignement
c) Les tâches possibles des élèves dans les activités proposées
d) Le rapport de l’enseignant au manuel dans son activité de préparation
2.1.5 Éléments pris en considération par José pour concevoir son projet d’enseignement
a) Redéfinition de la tâche prescrite
b) Stratégie d’enseignement
c) Les tâches possibles des élèves dans les activités proposées
d) Le rapport de l’enseignant au manuel dans son activité de préparation
2.1.6 Éléments pris en considération par Pascal pour concevoir son projet d’enseignement
a) Redéfinition de la tâche prescrite
b) Stratégie d’enseignement
c) Les tâches possibles des élèves dans les activités proposées
d) Le rapport de l’enseignant au manuel dans son activité de préparation
2.1.7 Analyse comparative des principaux éléments pris en considération
par les enseignants pour concevoir leur projet d’enseignement
2.1.8 Réponse à la première sous-question de recherche
2.2. Pratiques privilégiées par les enseignants pour venir en aide aux élèves
les plus fragiles en calcul mental
a) Premier axe : difficultés identiques rencontrées chez l’ensemble des élèves
quel que soit le profil de classe et réponses apportées par les enseignants
b) Deuxième axe : difficultés singulières rencontrées chez les élèves au regard des différents profils de classe et réponses apportées par les enseignants
c) Réponse à la deuxième sous-question de recherche
CHAPITRE 8 : RÉPONSE À LA QUESTION DE RECHERCHE
CONCLUSION
1- Rappel de la question centrale
2- La spécificité de notre démarche
a) L’étude comparative des manuels
b) Analyse des pratiques enseignantes
c) L’étude des projets d’enseignement
d) L’observation des séances
e) Entretien à chaud
f) Nature des contacts verbaux et du guidage
3- Réponse à la question centrale de la recherche
4- Limites de la recherche
5- Mise en perspective de la recherche

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