L’avis d’une historienne des Mathématiques, Evelyne Barbin 

Difficultés et réticences

Difficultés et réticences

On peut voir des difficultés et des réticences dans l’utilisation de l’Histoire des Mathématiques en classe. Pour certains professeurs, l’Histoire des Mathématiques n’est pas fondamentale dans l’apprentissage d’une notion, c’est pourquoi elle n’est pas introduite dans leurs cours . D’autres professeurs sont conscients et considèrent que l’histoire de cette matière possède un réel potentiel quant à l’apprentissage d’une notion. Cependant, l’utilisation de l’Histoire des Mathématiques et notamment son introduction constituent une réelle difficulté. Plusieurs raisons peuvent expliquer ces difficultés (SIU).
La première difficulté se situe au niveau du domaine de travail. En effet, les Mathématiques font parties des sciences exactes, contrairement à l’Histoire qui fait partie du domaine des sciences humaines. On peut voir aussi de nombreuses réticences des professeurs de Mathématiques à introduire l’histoire de Mathématiques par peur du manque de temps. En effet, le temps de travail afin de traiter le programme est déjà suffisamment restreint. Pour certains professeurs, introduire l’histoire des Mathématiques est une charge de travail supplémentaire et pas forcément nécessaire. Une des raisons à l’origine de ces réticences et de ces difficultés est aussi le manque de formation des professeurs à propos de l’histoire des Mathématiques.

Un manque de formation

Afin d’illustrer ce manque de formation, nous avons distribué un questionnaire (cf. annexe 1).
Ce questionnaire est issu de l’article Former des enseignants à l’Histoire des Sciences : analyse et enjeux d’une pratique en Mathématiques . Nous avons interrogé trois classes de cinquièmes lors de notre troisième période de stage ainsi que des étudiants en M1 MEEF en Mathématiques. Nous allons tout d’abord analyser les réponses obtenues auprès des classes de cinquièmes.
Afin d’analyser les résultats nous avons réalisé des diagrammes en bâtons pour chaque question posée dans le questionnaire.
En analysant les résultats, nous pouvons constater que la majorité des élèves sont d’accord sur le fait que les Mathématiques sont utiles dans la vie de tous les jours. Les élèves sont aussi d’accord sur le fait que les Mathématiques sont une science qui ne cesse d’évoluer et que les mathématiciens découvrent encore aujourd’hui de nouvelles choses. En revanche, on peut voir une incohérence au niveau de l’origine des Mathématiques.
En effet, on peut voir sur le diagramme de la question Les mathématiques ont toujours existé que l’avis des élèves est réparti de façon équitable. Les élèves ne sont pas d’accord sur la naissance des Mathématiques. En revanche, en analysant, le diagramme de la question Les mathématiques ont été inventées il y a 100 ans ? on peut voir que la majorité des élèves sont d’accord sur le fait que les Mathématiques ont une histoire et que celle-ci remonte à plus de cent ans.
Nous avons voulu réaliser ce questionnaire auprès d’étudiants en Master MEEF Mathématiques afin de comparer les différences avec les réponses des élèves. Nous avons comme précédemment, réalisé des diagrammes en barres afin d’illustrer les réponses pour chacune des affirmations. Nous avons obtenu les résultats suivants.

Utilité et bénéfices

Théorie de Jankvist

Jankvist est un chercheur qui s’intéresse notamment à l’histoire des Mathématiques. Il a plus particulièrement essayé de catégoriser les différentes approches du comment et aussi du pourquoi utiliser l’histoire des Mathématiques en cours (A categorization of the “whys” and “hows” of using history in mathematics education. Educational Studies in Mathematics, 71(3), 235-261,2009). Le but de cette catégorisation est avant tout de rendre plus accessible l’utilisation de l’Histoire. Elle permet également de faciliter l’analyse des relations qui existent entre les différentes façons d’introduire l’Histoire et les raisons d’une telle introduction. Un autre but de cette catégorisation est d’éviter toute sorte de confusion lors de recherches sur le sujet. Il est question de cette catégorisation dans l’article “L’histoire dans l’enseignement des Mathématiques : sur la méthodologie de la recherche” de D. Guillemette(2011). On y retrouve trois grandes catégories de méthodes.
On peut retrouver dans un premier temps l’approche anecdotique. Cette approche consiste en l’introduction d’éléments isolés sur des faits mathématiques ou des anecdotes. On peut par exemple introduire une petite partie historique à la fin de chaque chapitre.
Une deuxième approche est l’approche par modules d’apprentissage. C’est un usage plus répandu et plus approfondi de l’histoire des Mathématiques. Cela peut passer par la proposition de situations problèmes ou encore de séquences plus ou moins longues sur une notion en particulier.
Enfin, la dernière approche est l’approche historique intégrée. Cette pratique est beaucoup plus poussée que les deux précédentes. On se base sur le développement historique d’un objet mathématique en lui-même pour élaborer une séquence entière. Cela doit se ressentir dans la pratique de l’enseignant mais aussi dans la façon de penser la séquence. On retrouve cela dans l’approche génétique de Toeplitz qui consiste à utiliser l’histoire des Mathématiques pour faire engager la classe en suscitant l’enthousiasme et l’intérêt des élèves.
En ce qui concerne les différentes raisons d’introduire l’histoire des Mathématiques, on peut retrouver deux catégories.
Dans un premier temps, l’histoire des Mathématiques peut être vue comme un outil dans l’apprentissage. En effet, elle peut être considérée comme un vecteur de motivation, permet l’humanisation des Mathématiques, représente un support cognitif pour les élèves ou encore être une approche didactique permettant l’accès à des problèmes enrichissants. Deuxièmement, l’histoire des Mathématiques en tant que telle apporte du sens à l’apprentissage des Mathématiques. Jankvist parle alors d’apprentissage de “l’esprit” des Mathématiques. L’Histoire est vue comme un objectif en soi.

Potentialité didactique

Il est notamment question de potentialité didactique dans un article que nous avons pu lire au cours de nos recherches documentaires (Barrier, Mathe & De Vittori, 2012). Dans cet article, des élèves se retrouvent dans une situation similaire à celle des mathématiciens indiens. Dans la tâche qui leur est proposée, ils ne disposent que d’une craie et d’une corde. La corde va notamment être utilisée à différentes fins mais aura avant tout pour but de se substituer au compas. Dans cette activité, les élèves doivent tracer un carré seulement avec les éléments qui sont à leur disposition. Pour cela, ils doivent suivre une série d’instructions.
Nous avons, au cours de notre formation à l’INSPE, pu tester cette activité par nous-même. Nous nous sommes de suite rendu compte que l’ensemble des étudiants s’est prêté au jeu et a été motivé par l’activité proposée. Cela n’a que renforcé notre point de vue sur la motivation des élèves par l’apport d’activité historique. De plus, cela nous a confortées dans l’envie de tester cette activité avec nos propres classes, si cela fonctionne auprès d’adultes des enfants devraient apprécier.
Dans cet article, il est dit que “La présence dans le milieu didactique d’instruments non-usuels, en l’occurrence issus de pratique historique rend envisageable l’émergence de connaissances géométriques reposant sur des propriétés qui, dans des contextes plus classiques, ont moins de chance d’être mobilisées par les élèves”. On a donc ce type de tâches qui peuvent conduire à la formulation et à l’institutionnalisation de certaines propriétés. Cela permet de constituer un lieu d’enrichissement du rapport des élèves aux objets géométriques en jeu. On peut retrouver les mêmes effets et bénéfices avec d’autres types de notions.
C’est dans ce genre de situations que l’on peut analyser l’effet de l’utilisation d’un instrument historique, dont la présence est justifiée auprès de l’élève par l’introduction d’un contexte social et historique. Certaines questions peuvent alors émaner de la part des élèves d’où la naissance d’une dimension épistémologique. “La contextualisation épistémologique et la qualité du travail mathématique vont de pair”. Il y a donc un réel potentiel didactique à l’existence de séances mettant en jeu des instruments non-usuels dans le cadre d’un contexte historique. L’enseignant doit avoir la capacité de faire interagir Mathématiques et épistémologie.

Analyse des manuels

Afin d’étudier la mise en œuvre des programmes scolaires, nous avons analysé les manuels scolaires afin de regarder si des exercices en rapport avec l’histoire des Mathématiques étaient présents au sein de ces derniers. Pour cela, nous avons analysé la collection Mission Indigo de 2017 pour le collège et la collection Math’x de 2014 à 2016 pour le lycée. Nous voulions en effet analyser une collection en particulier afin de regarder le niveau où l’on retrouve le plus d’exercices de ce type.
Enfin, nous nous sommes penchées sur plusieurs manuels de première scientifique. Cette analyse nous permettra de connaître l’évolution de la présence des exercices liés avec l’histoire des Mathématiques et les chapitres dans lesquels ils sont le plus présents.
Avant tout, il est important de différencier les exercices faisant simplement référence à l’Histoire et les exercices faisant référence à l’histoire de Mathématiques. Nous considérons, pour cette analyse, qu’un exercice lié à l’histoire des Mathématiques est un exercice pouvant expliquer l’origine d’une notion, la manière dont elle était utilisée à une certaine époque, des énigmes mathématiques d’une certaine période…

Perspective envisagée au terme de notre première année de Master

Présentation d’une possible expérimentation

Dans cette partie, nous allons donner un exemple d’expérimentation pouvant être réalisée avec les élèves. Pour envisager toutes les éventualités, nous donnerons un exemple de séance en collège et en lycée. Pour cela, nous avons lu plusieurs livres introduisant des tâches en lien avec l’histoire des Mathématiques. La dimension historique est alors présente au sein même de ces différentes tâches. Nous allons présenter deux tâches différentes que nous pourrons faire l’année prochaine dans nos classes. Dans un premier temps, nous présenterons une tâche en collège puis dans un deuxième temps au lycée.
Pour trouver une tâche en lien avec l’histoire des mathématiques, nous nous sommes intéressées au livre de Hocquenghem Marie Louise intitulé Histoire des mathématiques pour les collèges. Nous avons choisi une activité sur la multiplication d’entiers naturels en classe de 6e (cf. annexe 2). Le but de l’activité est de montrer aux élèves les anciennes méthodes de calcul afin d’effectuer le calcul d’un produit. Les élèves doivent dans cette tâche, expliquer les étapes afin de calculer à la manière du grand mathématicien arabe Al Khwarizmi. Une fois les différentes étapes comprises, c’est à eux de calculer le produit de deux nombres à l’aide de cette méthode en vérifiant leurs résultats avec la méthode que l’on apprend de nos jours. L’autre partie de la tâche consiste à faire de même avec la méthode du mathématicien arabe Al Kashi.

Analyse des activités proposées

Nous allons maintenant analyser les différentes tâches avec la typologie SaMaH. Dans un premier temps, nous pouvons retrouver quelques éléments historiques avec un texte introductif sur le mathématicien Al Huwarism et Al Kasi dans la deuxième partie de l’activité.
On retrouve ensuite des tâches mathématiques avec la vérification des résultats en posant les multiplications. On peut voir ensuite des tâches S. Ces tâches S permettent aux élèves de comprendre dans un premier temps les deux anciennes méthodes et dans un second temps de calculer le produit de deux nombres à l’aide de celles-ci.
On retrouve bien une activité avec une mise en contexte, et une dimension historique présente au sein même de celle-ci.

Les étapes de notre analyse

À travers nos expérimentations, nous souhaitons observer chez les élèves l’intérêt de l’apport historique dans la mise au travail lors d’une activité. Pour pouvoir répondre à notre problématique, nous devons faire une analyse fine de nos expérimentations afin d’en tirer une conclusion précise.
L’analyse de notre expérimentation se divisera en deux étapes.
La première étape consiste en une analyse a priori de l’activité proposée aux élèves. Nous nous intéressons plus particulièrement à l’intérêt que peut porter les élèves à l’activité. C’est pour cela que nous analyserons les différentes tâches des élèves. Pour ce faire nous utiliserons les critères d’adaptation d’Aline Robert. Ces critères nous permettent d’identifier et d’analyser les différentes tâches des élèves au cours du travail.
La deuxième étape de notre analyse consiste en une analyse a posteriori. À travers cette analyse a posteriori, nous allons analyser ce qui aurait pu être amélioré dans cette activité afin de rendre lesélèves plus investis. Nous allons aussi essayer de comprendre ce qu’il leur a posé problème.

Analyse a priori

Analyse globale

Cette séance se situe dans la séquence consacrée aux ensembles de nombres. Les premières séances de cette séquence ont permis d’introduire la notion d’ensemble de nombres. En effet, nous avions déjà étudié l’ensemble des entiers (naturels et relatifs) ainsi que les notions de multiples, diviseurs, et nombres premiers. Les nombres décimaux ont été introduits lors de la troisième séance avec une activité sur l’histoire de la virgule. Nous avions donc abordé la notion de nombre décimal mais aussi de nombre rationnel et irrationnel.
Pour cette séance « à la manière de », les élèves avaient pu aborder la notion d’irrationnalité de racine de deux. Cette séance sur racine de deux permet de faire un travail historique avec les élèves et de calculer une valeur approchée de racine de deux à la manière des babyloniens. Celle ci a donc pour but de travailler la notion de valeur approchée, mais aussi l’utilisation de la calculatrice.
En effet, les élèves doivent percevoir à travers cette activité, qu’il est possible de relier le calcul à la géométrie et ainsi d’utiliser une autre manière de trouver une valeur approchée qu’en utilisant la calculatrice. La deuxième chose à percevoir est l’histoire qui est présente autour du nombre racine de deux : ce nombre intrigue et pose des questions depuis de nombreux siècles.
Cette séance est une séance de groupe. Les élèves ont déjà eu l’habitude de travailler par groupe puisque nous avions déjà expérimenté ce dispositif précédemment. Ces séances de groupe ont pour but d’évaluer certaines compétences en mettant une note sur 4. Pour l’activité, les compétences évaluées seront les suivantes : chercher, raisonner, travailler en équipe, communiquer.
Le processus d’institutionnalisation ne sera pas présent pendant cette séance. En effet, après chaque séance de groupe, je récupère les traces écrites des élèves afin de faire un bilan et une correction des problèmes. C’est donc à l’aide des différentes traces écrite et erreurs des élèves que je ferai un bilan à la séance suivante.

Expérimentation Pauline Tison

J’ai décidé d’expérimenter sur ma classe de sixième que ce soit pour l’activité juxtaposant les mathématiques et l’histoire ou pour la seconde activité « à la manière de ». Comme définie dans nos modalités de travail, la première activité s’est déroulée sur le thème des nombres et plus précisément sur le chapitre des nombres décimaux, le premier chapitre vu au cours de l’année. Cette activité m’a permis à la fois d’évaluer quels étaient les acquis qui restaient chez les élèves et en même temps de (ré)introduire mon chapitre. Cela permettait également de redémarrer en douceur, d’amener la notion petit à petit et non pas de leur donner les résultats importants de but en blanc. L’activité, que l’on peut retrouver en annexe, aborde différents aspects des nombres décimaux.
Il est tout d’abord question du découpage en dixièmes et en centièmes. Les élèves découvrent quels problèmes se posaient à la base et donc impliquaient la nécessité des tels nombres. Par la suite, la notation fractionnaire est abordée ainsi que la décomposition sous la forme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1. J’ai donc pu balayer des points assez divers pour me faire une idée de ce qui pourrait poser problème.
Je n’ai pas distribué de support aux élèves, je me suis contentée de projeter le document au tableau. Cela permettait de gérer ce temps en classe entière et de faire participer plus ou moins chacun des élèves. Chaque élève pouvait alors apporter ces souvenirs. Il y avait quelques étapes où il leur était demandé de colorier ou bien de compléter des égalités et dans ce cas, je leur ai demandé soit de le faire au brouillon rapidement avant une mise en commun ou bien, je l’ai traité directement avec eux à l’oral.
Il était de toute façon envisagé de reprendre certaines parties de ce document pour constituer des points de cours ou bien pour remobiliser certains points. En effet, ce fût le cas notamment lorsque nous avons travaillé plus en détails l’écriture fractionnaire. Cette activité a servi de pilier, de point d’attache pour la suite.
Les notions mathématiques abordées ne demandaient pas de gros efforts de la part des élèves et si cela s’avérait plus compliqué, le nombre de répétitions et le côté illustré ont permis aux élèves les plus en difficultés de ne pas trop percevoir d’obstacles. Ici, l’histoire a amené un contexte propice à l’apprentissage. L’intérêt des élèves a été très vif, ils sont de suite rentrés dans « le jeu ». La compréhension a été très facile, aucun élève n’est resté de côté à ne pas comprendre ou ne pas vouloir participer à l’oral.
Une fois cette activité passée, les élèves m’ont sollicité pour que je réintègre de l’Histoire à d’autres reprises. Je leur ai dit qu’à différents moments au cours de l’année, il serait de nouveau question d’Histoire et ils étaient plus que ravis. Je pense donc qu’ils en sont plutôt satisfaits, d’autant plus que c’était nouveau pour eux de travailler de cette façon. Cela s’annonçait donc bien pour la seconde activité comportant une part plus importante d’Histoire.
Ma seconde activité, que vous pourrez retrouver en annexe, s’inscrivait dans le second chapitre de l’année : l’introduction à la géométrie. Ce chapitre est avant tout consacré à la révision et/ou l’apprentissage du vocabulaire courant en géométrie ainsi qu’à la manipulation des instruments de géométrie tels que la règle et le compas. Cette activité s’est faite à la fin du chapitre, car les élèves avaient besoin de connaître tout le vocabulaire et de maîtriser les principaux tracés. L’activité était donc conçue comme une sorte de bilan, un travail demandant plus de réflexion pour conclure le chapitre et réinvestir ce qui avait été vu. Ce réinvestissement allait aussi me permettre de vérifier que les principales connaissances vues au cours du chapitre étaient acquises pour, si besoin, faire de la remédiation par la suite.
L’activité était basée sur l’œuvre Les éléments d’Euclide du célèbre mathématicien éponyme. Cet ouvrage donnait toute la dimension historique à l’activité. En effet, les élèves devaient dans une première partie comprendre le vocabulaire employé à l’époque pour ensuite en déduire ce dont il était question. Il y avait donc là un travail de compréhension pouvant parfois s’apparenter à de la traduction.
La seconde partie était consacrée à l’application d’un programme de construction tel que l’avait donné Euclide à l’époque. Je voulais que les élèves fassent avec les méthodes employées à l’époque pour répondre à un problème qu’ils pouvaient se poser maintenant.

Analyse de l’activité à maxima et à minima

Après s’être intéressés à l’espace de contrainte, nous allons maintenant nous pencher sur l’activité à maxima et à minima des élèves. Pour cela, nous allons nous appuyer sur le travail effectif réalisé dans les différents groupes et dont ont rendu compte les productions ramassées.
En regardant de plus près leurs travaux, on peut facilement se rendre compte que la première partie de l’activité était plutôt accessible à l’ensemble des élèves. Même si certains n’ont pas de suite trouvé de quelle notion, il était question dans la définition, tous ont fini par se mettre d’accord sur une proposition comme le montre la production suivante.

Conclusions

Conclusion de Juliette Rotger

La problématique de notre mémoire est la suivante : Y a-t-il un réel effet de l’introduction de l’histoire des Mathématiques sur l’intérêt que portent les élèves à l’activité ? Avant de réaliser mon expérimentation et avec l’apport théorique que nous avions réalisé, ma réponse était claire : oui ! Cela a un impact positif sur la motivation des élèves. Cependant, en regardant et analysant mon expérimentation, ma réponse est actuellement plus nuancée. L’introduction de l’histoire des mathématiques, par petite touche, fonctionne très bien chez les lycéens. En revanche, les activités « à la manière de » ne permettent pas d’enrôler l’ensemble de la classe. Certains n’y ont pas vu de rapport direct avec le cours, et ont de suite fait preuve de découragement. L’activité que j’ai proposée, ne permettait pas aux élèves de mettre en application des éléments du cours mais simplement de découvrir une nouvelle notion : le nombre √?.
J’ai alors souhaité vérifier les constats faits sur les deux activités proposées en réalisant une troisième expérimentation. Les élèves ont pu travailler sur les probabilités avec le chevalier de Méré. L’histoire des mathématiques était présente en début d’activité avec la lecture des lettres de Pascal et de Fermat. La lecture de ces lettres permettait d’identifier le problème posé. Une fois ce problème établi, les élèves utilisaient les connaissances établies pendant le chapitre des probabilités afin de donner une réponse. L’histoire des mathématiques a permis, sur cette activité, de créer un contexte . Ce n’était pas une activité « à la manière de ». J’ai pu voir, qu’à contrario des activités « à la manière de », mes élèves ont de suite été motivés par la lecture des lettres et le fait de donner une réponse aux deux mathématiciens.
Pour conclure, l’introduction d’histoire de mathématiques afin de mettre du contexte à une activité ou de raconter une histoire, permet un fort impact sur la motivation et l’intérêt des élèves. En ce qui concerne les activités « à la manière de », il serait intéressant d’impliquer davantage les élèves afin de créer du lien. En effet, ces activités permettent de mettre en évidence une civilisation ou un peuple historique. Un moyen de donner du sens aux activités « à la manière de » serait de demander aux élèves de réaliser de courts exposés sur des civilisations ou des peuples ayant apporté au monde des mathématiques. Une fois ces exposés réalisés, une activité « à la manière » des différents peuples pourrait alors être réalisée. Ainsi, une progression sur l’année, regroupant des exposés réalisés par les élèves, des activités historiques, ou encore des activités « à la manière de » doit être réfléchie et incorporée dans la progression annuelle afin de créer du lien et donner un sens à la mise en place de telles activités.

Table des matières
I- Difficultés et réticences
a. Difficultés et réticences
b. Un manque de formation
II- Utilité et bénéfices 
a. Théorie de Jankvist
b. Potentialité didactique
III- Comment ?
a. Nature des éléments historiques
b. Modalités d’entrée lors d’une séance
IV- Textes officiels 
a. Programmes scolaires
b. Analyse des manuels
V- L’avis d’une historienne des Mathématiques, Evelyne Barbin 
VI- Outils pour analyser une tâche 
a. La typologie SAMAH
VII- Perspective envisagée au terme de notre première année de Master 
a. Présentation d’une possible expérimentation
b. Analyse des activités proposées
VIII- Expérimentation en classe
a. Présentation des classes en charge
b. Modalités et consignes de travail
c. Cadre théorique d’analyse
1. Les étapes du processus de problématisation
2. Les étapes de notre analyse
d. Expérimentation Juliette Rotger
1. Analyse a priori
i. Analyse globale
ii. Analyse des tâches proposées aux élèves
iii. Conditions de travail des élèves
2. Méthodologie du recueil
3. Analyse a posteriori
i. Schéma des différents registres
ii. Activité des élèves à maxima et à minima
iii. Questionnaire aux élèves : bilan sur l’activité
e. Expérimentation Pauline Tison
1. Analyse des tâches proposées
2. Conditions de travail des élèves
3. Méthodologie de recueil
4. Analyse a posteriori
i. Schéma des différents registres
ii. Analyse de l’activité à maxima et à minima
iii. Questionnaire aux élèves : bilan sur l’activité
IX- Conclusions 
Bibliographie
Annexe
4e de couverture

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