L’apprentissage des aspects de la numération

La numération dans les programmes

Les programmes de 2008 Dans les programmes de 2008, le CE2 fait partie du cycle 3, le cycle des approfondissements fondamentaux, ce qui le place comme première année du cycle. Ainsi, nous allons, tout d’abord, nous intéresser à ce que doit savoir un élève en fin de CE1, soit en fin de cycle 2 au sujet de la numération. Puis, nous analyserons les références à la numération dans les programmes de cycle 3. Dans le bulletin officiel hors série n°3 du 19 juin 2018, on voit apparaître, pour le cycle 2, dans “nombres et calculs”, une référence à l’aspect décimal de la numération “des élèves apprennent la numération décimale inférieure à 1 000.” Dans la partie “les nombres entiers naturels” pour le cycle 3, il y a des notions faisant références aux principes de la numération :
→ “ principes de la numération décimale de position : valeur des chiffres en fonction de leur position dans l’écriture des nombres “
→ “désignation orale et écriture en chiffres et en lettres”
Ainsi, on voit que dans les programmes de 2008 les deux aspects de la numération apparaissent de façon explicite.

Les programmes en vigueur à la rentrée 2018 Dans le programme de 2018, le CE2 fait partie du cycle 2, cycle des apprentissages fondamentaux. Il est donc le dernier niveau de ce cycle. Ainsi, c’est à la fin du CE2 que les élèves doivent avoir acquis les attendus de fin de cycle. Afin d’analyser la numération dans le programme de cycle 2, nous allons, tout d’abord, nous appuyer sur les programmes des enseignements de cycle 2 en vigueur depuis la rentrée 2018, mais également, sur les attendus de fin d’année de CE2 et les repères annuels de progression. Cette analyse va permettre d’observer les différences notables par rapport aux programmes de 2008. Afin d’analyser la numération, nous allons nous intéresser au domaine “Nombres et calculs”. En cycle 2, les élèves vont uniquement travailler sur des nombres entiers. Comme le rappellent les programmes “la connaissance des nombres entiers et du calcul est un objectif majeur du cycle 2”. Les nombres mis en jeu vont toujours être inférieurs ou égaux à 10 000. En fin de cycle 2, les élèves doivent être capables de :
– “Comprendre et utiliser des nombres entiers pour dénombrer, ordonner, repérer, comparer” ainsi que
– “Nommer, lire, écrire, représenter des nombres entiers”
– “Résoudre des problèmes en utilisant des nombres entiers et le calcul”
– “Calculer avec des nombres entiers”.
Dans le sous-domaine “Comprendre et utiliser des nombres entiers pour dénombrer, ordonner, repérer comparer”, nous pouvons voir que l’élève en fin de cycle 2 doit être capable de différencier “le chiffre des milliers, le chiffre des centaines, le chiffre des dizaines et le chiffre des unités”. Cela fait référence à l’aspect de position de la numération. Ainsi, en fin de cycle 2, il doit valider la compétence suivante : “Dénombrer, constituer et comparer des collections en les organisant, notamment par des groupements par dizaines, centaines, milliers”. De plus, dans le sous-domaine “Nommer, lire, écrire, représenter des nombres entiers”, nous pouvons voir que l’élève en fin de cycle 2 “connaît et utilise les diverses représentations d’un nombre” dont notamment la “décomposition additives m/c/d/u”. Par exemple, il doit savoir décomposer “en millier, centaines, dizaines et unités (7000 + 400 + 30 + 9)” et écrire un nombre en “unités de numération ( 7 milliers 4 centaines 3 dizaines 8 unités)”. Ainsi, en fin de cycle 2, il doit valider les compétences suivantes : “utiliser diverses représentations des nombres”, “Passer d’une représentation à une autre”, “Interpréter les noms des nombres à l’aide de unités de numération” et “utiliser des écritures en unité de numération :
→ unités de numération (unités simples, dizaines, centaines, milliers) et leurs relations (principe décimal de la numération en chiffres)
→ valeurs des chiffres en fonction de leur rang dans l’écriture d’un nombre (principe de position)
→ nom des nombres“ Ici, on voit apparaître les termes relatifs aux deux aspects de la numération.
En plus de cela, nous pouvons analyser les repères de progression. Dès le CP, les élèves étudient la numération décimale, “Dès le début d’année, les élèves étudient de façon systématique la numération décimale écrite en chiffres (dizaines, unités simples) pour les nombres jusqu’à 100. La désignation orale des nombres est démarrée en période 3 : « 53, c’est 5 dizaines et 3 unités ; c’est (5 fois 10) et (3 fois 1) ». Cela se poursuit en CE1 “Dès le début de l’année, les élèves poursuivent l’étude de la numération décimale en travaillant avec des centaines.”. Et se complexifie à nouveau en CE2 “Dès le début de l’année, les élèves poursuivent l’étude de la numération décimale en travaillant avec des milliers”. Ainsi l’apprentissage de l’aspect décimal de la numération se poursuit tout au long du cycle en allant vers des nombres de plus en plus complexes. On voit, dans le programmes de 2008, que tout au long du cycle, un travail est réalisé sur les opérations posées ainsi cela permet “de renforcer la compréhension du système décimal de position et de consolider la mémorisation de position et de consolider la mémorisation des relations numérique élémentaire.” Cet apprentissage a lieu lorsque les élèves se sont approprié des stratégies de calcul basées sur des décompositions/recompositions liées à la numération décimale, souvent utilisées également en calcul mental ou écrit.” Nous pouvons conclure que, dans les programmes de 2018, les références aux aspects de la numération sont multiples et explicites. De plus, avec les repères annuels des progressions, les enseignants ont des bases sur les connaissances à transmettre aux élèves du CP au CE2, niveau par niveau. Par rapport aux programmes de 2008, il semble qu’en 2018, les programmes soient plus précis quant aux aspects de la numération.

La numération dans les manuels

               F. Tempier, réalise 2010 une étude sur “des programmes et manuels sur la numération décimale au CE2”. Cette étude fait le constat général que l’aspect de position est plus travaillé que l’aspect décimal. Cet aspect serait mis de côté dans le contenu des manuel. En 2012, il s’intéresse également aux guides des maîtres. Ce sont les guides qui sont destinés aux enseignants afin de mettre en place les différentes séances. F. Tempier fait le constat que l’aspect décimal apparaît très peu dans ceux-ci. Cela ne permet donc pas aux enseignants d’avoir une connaissances des enjeux de cet aspect dans les différentes tâches proposées aux élèves. Or, nous pouvons nous questionner car d’après le référentiel de compétence de 2013, un enseignant se doit de maîtriser les savoirs disciplinaires et leur didactique Face à ses constats, F. Tempier décide de créer une ressource internet afin d’aider les enseignants à maîtriser davantage les deux aspects de la numération et donc de mieux les enseigner. Cette ressource a d’ailleurs été le point de départ de mes recherches sur la numération et m’a permis, personnellement, de découvrir, de comprendre et de mieux maîtriser les deux aspects de celle-ci.

La multiplication posée

                          Concernant la multiplication par un nombre à un chiffre, on va utiliser la décomposition du nombre à plusieurs chiffres afin de multiplier chacun de ses termes au nombre à un chiffre. Par exemple, pour 678 x 4. On va réaliser une décomposition canonique de 678. 678 est également à 6 centaines + 7 dizaines + 8 unités (aspect de position). Ainsi, on multiplie chacun des termes (distributivité de la multiplication par rapport à l’addition) par 4. On commence par multiplier 4 unités par 8 unités, on trouve alors 32 unités. Or, on ne peut pas écrire 32. Il faut donc il faut convertir 32 unités en 3 dizaines et 2 unités (aspect décimal) et donc marquer trois retenues. Ensuite, on va multiplier 4 par 7. Ici, les élèves doivent comprendre que l’on multiplie 4 unités par 7 dizaines car le chiffre est en seconde position (aspect de position). Ainsi, on trouve 28 dizaines auxquelles on ajoute les retenues soit 3 dizaines. On obtient alors 31 dizaines. Il faut à nouveau convertir les dizaines en centaines et dizaines : 31 dizaines = 3 centaines et 1 dizaine. On marque alors 3 comme retenue. Puis, on multiplie 4 par 6 centaines, on trouve 24 centaines, puis on ajoute les 3 centaines des retenues. On obtient 27 centaines. Ici, il n’est pas indispensable de convertir les centaines en centaines et milliers car on n’aura plus de multiplication à réaliser. Concernant la multiplication par un nombre à plusieurs chiffres, nous allons prendre pour exemple la multiplication de 678 par 34. Pour réaliser cette multiplication, on doit commencer par décomposer le multiplicateur : 34 unités = 3 dizaines + 4 unités (aspect de position). On a donc 678 x 36 = 678 x (3 dizaines + 4 unités), soit 678 x 3 dizaines + 678 x 4 unités, c’est-à-dire (678 x 3) dizaines + (678 x 4) unités. On va donc réaliser deux multiplications : 678 x 4 puis 678 x 3. Etant donnée que la seconde multiplication (678 x 3) est une multiplication par le chiffre des dizaines, on écrit un 0 à droite de ce nombre pour le convertir en unité (aspect décimal). Une fois les deux multiplications réalisées, on doit additionner les deux résultats comme une addition afin de trouver le résultat final, ici 23952.

Analyse de la séance 1 du module 9

             Cette séance est celle dans laquelle j’ai analysé les différents aspects de la numération comme cité plus tôt. Elle fait partie du neuvième module dont les objectifs sont les suivants : la connaissance des nombres, le calcul mental, les unités de mesure et l’évaluation. Ce module est composé de six séances. Cette séance s’inscrit dans les domaines de nombres et calculs ainsi que grandeurs et mesures. La séance se découpe en trois phases : activités ritualisées, calcul mental et apprentissage. Chaque phase va alterner entre des temps en classe entière et des temps de travail individuel.

Analyse préalable Tout d’abord, dans la première phase, il s’agit de s’entraîner à écrire en écriture chiffrée des nombres écrits en lettres, soit passer d’une représentation d’un nombre à une autre. Par exemple, les élèves devaient, tout d’abord, écrire sur leur ardoise en chiffres le nombre “mille-sept-cent-deux” (cf annexe 7). Cela met en jeu l’aspect position de la numération. En effet, il faut écrire chaque chiffre du nombre à la bonne position pour construire l’écriture chiffrée du mot, du nom du nombre énoncé. Il ne s’agit pas d’un nouveau savoir. Ensuite, il s’agit de comparer deux nombres en utilisant les symboles appropriés (< et >) puis de calculer la différence entre ces deux nombres, c’est-à-dire réaliser une soustraction. L’objectif est de s’entraîner à comparer deux nombres et à utiliser les symboles associés. Il ne s’agit toujours pas d’un nouveau savoir. On va faire de nouveau appel à l’aspect position de la numération afin de comparer les chiffres des nombres rang après rang, étant donné que les nombres ont autant de chiffres chacun. Puis concernant la soustraction, il faut soustraire le chiffre des unités du premier nombre au chiffre des unités du second nombre, puis le chiffre des dizaines du premier nombre au chiffre des dizaines du second nombre et ainsi de suite. Par exemple, les élèves avaient à comparer 1134 et 1156. Pour faire cela, il faut, tout d’abord, que les élèves constatent que les deux nombres ont autant de chiffres. Ensuite, il faut qu’ils comparent les chiffres des deux nombres rang après rang en partant du rang le plus à gauche : 1 millier = 1 millier, 1 centaine = 1 centaine, 3 dizaines < 5 dizaines. Ainsi 1134 > 1156. Puis, ils devaient soustraire 1156 à 1134 mentalement. Ici, il suffit de faire 56 – 34. Les élèves devaient commencer par faire 6 (unités) – 4 (unités) = 2 (unités) puis 5 (dizaines) – 3 (dizaines) = 2 donc 56 – 34 = 22 et 1156 – 1134 = 22. Dans la seconde phase, celle de calcul mental, l’objectif est d’être capable de calculer mentalement sous la contrainte du temps en mettant en place des stratégies efficaces. C’est la première fois que la contrainte de temps est mise en place ainsi. L’objectif est d’aller vers des procédures de plus en plus efficaces (lâcher les doigts pour utiliser les faits numériques mémorisés) et de créer cette prise de conscience chez les élèves. Cet exercice est réalisé sur une fiche (cf annexe 5). J’ai pu faire le lien entre le calcul mental et la numération. En effet, les additions et soustractions proposées mettent en jeu le principe de position puisqu’il s’agit d’ajouter ou de soustraire les chiffres des unités, dizaines, centaines ou milliers. Par exemple pour 1500 + 400, il faut voir que, dans 1500, il y a 15 centaines. Ainsi on peut ajouter les 4 centaines de 400, soit 19 centaines, ce qui s’écrit 1900 car 19 centaines sont égales à 1 millier + 9 centaines + 0 dizaine + 0 unité. Pour finir, dans la troisième phase, l’objectif est d’être capable de résoudre des problèmes de proportionnalité. Cette phase se réalise sur fiche : la fiche balance (cf annexe 6). Ensuite, concernant les calculs, l’objectif est d’être capable d’utiliser l’aspect décimal de la numération pour comprendre qu’une centaine est égale à 100 unités, que deux centaines sont égales à 200 unités et que 5 centaines sont égales à 500 unités puis de réaliser les opérations. Dans cette séance, aucun temps de mise en commun ne semble prévu. Ainsi, les élèves n’ont aucune possibilité de valider ou réfuter leur réponse ni même les procédures, les méthodes qu’ils ont mises en oeuvre. Pour remédier à cela, je propose lors de la phase d’activité ritualisée, pour la première tâche, en tant que correction, de faire lire le nombre à haute voix par un élève, ensuite de faire venir un élève au tableau afin qu’il écrive le nombre en chiffre à la vue de tous. Cela permet à chaque élève de comparer sa réponse à celle écrite au tableau. De plus, je fais un point sur la méthode : je propose aux élèves qui le souhaitent de réaliser un tableau de numération sur leur ardoise afin de les aider à écrire les nombres en écrivant chaque chiffre dans le bon rang, à la bonne position. Malheureusement cela n’aide pas pour tous les nombres, par exemple pour 85. Selon les besoins, je pourrais également passer par la schématisation à l’aide des plaques de mille, des plaques de cents, barres de dix, des cubes d’unités. Cela peut aider certains élèves à mieux se représenter le nombre en question. Lors de la phase de calcul mental, je propose, également, un temps de mise en commun afin de faire un point sur les méthodes utilisées et mettre en avant la ou les méthodes les plus efficaces afin de gagner en efficacité et donc en temps. Au fur et à mesure, je note certaines méthodes au tableau. Ici, l’important est de permettre aux élèves de comparer la méthode qu’ils ont utilisée et la ou les méthodes qui sont efficaces. De plus, il me semble important de faire comprendre aux élèves que cette compétence va pouvoir leur servir dans la vie quotidienne. En effet, dans la vie quotidienne, nous avons besoin de réaliser des calculs mentaux, notamment sur la monnaie. Par exemple, pour acheter plusieurs baguettes à la boulangerie, etc. Pour la troisième phase, je propose une mise en commun de la fiche Balance. C’est à nouveau l’occasion de faire un point sur les méthodes, les procédures utilisées : calcul en ligne, calcul mental, calcul posé, schématisation. J’invite les élèves à venir proposer leur méthode au tableau. Grâce à cette mise en commun, les élèves doivent prendre conscience qu’il y a plusieurs façons possibles de procéder pour résoudre à un problème. De plus, je fais le lien avec les multiplications et plus précisément avec la proportionnalité vers lesquelles on tend. Pour cela, j’énonce oralement : “trois pommes de terre pèsent trois fois plus lourd qu’une pomme de terre”,“deux fois plus” = “x 2”. Pour le temps de calcul, à la place de faire l’exercice sur le cahier, j’ai décidé de faire travailler les élèves sur ardoise. Ainsi, je peux voir en temps réel les difficultés rencontrées et faire des mises au point. Le soucis du cahier, sans mise en commun, c’est que je vais corriger les cahiers individuellement mais je n’apporterais aucune aide aux élèves ayant rencontrés des difficultés afin de les faire progresser sur le moment. Travailler sur ardoise permet de m’adapter et de proposer des solutions de remédiation en direct. Cependant, je suis bien consciente que travailler sur ardoise à aussi des inconvénients. En effet, cela ne permet pas de garder de trace et d’observer précisément les réponses de chaque élève et donc d’analyser à posteriori dans le but d’éventuellement faire des groupes de besoins. Cela peut également amener un certain stress pour des élèves qui n’oseraient pas se tromper alors que les autres élèves peuvent voir leur réponse ou encore de la triche. Dans le guide, il n’est pas précisé si les élèves doivent écrire le calcul qu’ils ont réalisé, c’est-à-dire la procédure qu’ils réalisent pour trouver le résultat, ou uniquement le résultat. J’ai fait le choix de faire écrire le calcul aux élèves afin de travailler spécifiquement sur l’aspect décimal de la numération. En effet, cela oblige à traduire le fait qu’une centaine est égal à 100 unités et ainsi de suite. Entre chaque calcul, j’interroge un élève puis je fais valider par la classe sa réponse. Cela permet à chaque élève de valider ou réfuter sa réponse. Je réalise une mise en commun en rappelant, ou en faisant rappeler par un élève, qu’une centaine correspond à 100 unités. J’écris cela dans un tableau de numération à la vue de tous. Dans cette séance, j’ai également fait le choix de supprimer la phase de présentation de la table de Pythagore. Je trouvais que la séance était trop longue. De plus, j’avais des difficultés à voir le lien avec les autres activités. En effet, il s’agissait des tables d’addition et non de multiplication. Je ferai donc cela à un autre moment.

Analyse a priori Concernant, les activités de la phase des activités ritualisées, les problèmes à résoudre ont déjà été expliqués. Pour la phase de calcul mental, les élèves doivent résoudre mentalement des additions et des soustractions en mettant en place des procédures efficaces, réinvestir des faits numériques mémorisés (les tables de multiplications ainsi que les doubles). Dans la phase d’apprentissage, les élèves doivent résoudre des problèmes impliquant des masses qui vont permettre d’aller vers la proportionnalité. Ils ont trois problèmes à résoudre. Dans le premier problème, ils peuvent calculer le poids d’une poire puis ils doivent trouver le poids de deux poires. Ensuite, sur une balance, ils peuvent calculer le poids de trois pommes de terre, puis ils doivent trouver le poids d’une seule pomme de terre. Pour finir, sur une balance, ils peuvent calculer le poids de quatre fraises et ils doivent trouver le poids de deux fois plus de fraises. Sur cette fiche, on se rapproche progressivement de la multiplication et plus précisément de la proportionnalité. Pour le temps de calcul, les élèves réussissent à ajouter ou à soustraire une ou plusieurs centaines à un nombre à quatre chiffres. Ensuite, ils doivent comprendre un énoncé oral, traduire cet énoncé oral en un calcul puis ajouter mentalement des centaines à des nombres à quatre chiffres. Concernant les procédures, je vais uniquement analyser les procédures pour la fiche Balance car celle-ci fait partie de la phase d’apprentissage et car c’est cette fiche qui m’a posée le plus question quand au rapport avec les aspects de la numération. Pour résoudre les problèmes, les élèves peuvent à chaque fois réaliser les calculs mentalement, en ligne ou posés. Ils peuvent également passer par la schématisation. Pour résoudre le premier problème sur la fiche Balance, les élèves peuvent utiliser plusieurs procédures. Ils peuvent réaliser une addition itérée (10+10+10+10 =40). Ils peuvent également commencer par calculer le poids d’une poire. 10 + 10 = 20. En déduire, qu’une poire pèse 20g. Et ensuite, pour trouver le poids de deux poires, faire une addition (20 + 20 = 40). Ils peuvent également calculer le poids d’une poire (10 + 10 = 20.) Et ensuite, voir qu’il y aura deux fois plus de poires et donc faire une multiplication (20 x 2 = 40). Cependant, cette procédure n’est logiquement pas encore accessible aux élèves et donc pas attendus étant donné qu’ils ont seulement appris à multiplier par 10. Pour résoudre le second problème, les élèves peuvent, tout d’abord, chercher le poids de trois pommes de terre grâce à une addition (20 + 5 + 5 = 30). Ensuite, ils doivent diviser 30 en trois. Pour cela, ils peuvent réaliser un schéma. Ils peuvent également trouver mentalement que 10 + 10 + 10 = 30. Dans 30, il y a 3 paquets de 10 unités donc une pomme de terre pèse 10g. Pour le troisième problème, les élèves peuvent calculer le poids des quatres fraises en réalisant une addition (100 + 100 + 50 = 250) Et ensuite, pour savoir le poids de huit fraises, réaliser le calcul suivant : 250 + 250 = 500. Les élèves peuvent également écrire le calcul 250 x 2. Ensuite, ils peuvent éventuellement passer par le double de 25 et ajouter 0. Mais cette procédure semble difficilement accessible à cette période de l’année pour des élèves de CE2. Pour les activités ritualisées, les élèves doivent connaître la correspondance chiffrée des nombres écrits en lettres. Ensuite, ils doivent savoir utiliser correctement les signes suivants : “<” et “>” et comparer entre eux deux nombres ayant le même nombre de chiffres. Pour la fiche chronomaths, les élèves doivent connaître les tables de multiplication ainsi que la notion de double. Pour réaliser la fiche balance, les élèves doivent être capables de lire et de comprendre l’énoncé des problèmes. Ils doivent connaître le fonctionnement d’une balance. Ils doivent se représenter l’énoncé et le traduire en schéma ou en calcul. Ensuite, ils doivent être capables de réaliser des opérations, ici des additions. Pour le temps de calcul, ils doivent connaître le rapport numérique entre centaines et unités. Cette séance ne permet pas réellement de procéder par essai et erreur. Pourtant, l’apprentissage par essai et erreur me semble important notamment en mathématiques. En effet, pour montrer cela, on peut s’appuyer sur le constructivisme, qui est une théorie de l’apprentissage. Cette théorie, développée par Piaget en 1964, met en avance que les “activités et les capacités cognitives inhérentes à chaque individue lui permettent de comprendre et d’appréhender les réalités qui l’entourent. Ainsi, une personne confrontée à une situation ou à un problème donné va être amenée à mobiliser un certain nombre de structures cognitives nommées schèmes opératoires. À partir de là, la personne peut soit incorporer les informations perçues au sein de sa structure cognitive (assimilation), soit modifier sa structure cognitive afin d’incorporer les éléments nouveaux provenant de la situation (accommodation)”. L’assimilation et l’accommodation vont permettre à l’individu d’atteindre un nouveau niveau d’équilibration. Ainsi, cette théorie incite à une participation active de l’élève afin de lui permettre de construire lui-même ses propres connaissances à partir des notions qu’ils possèdent déjà et de son expérience passée.

CONCLUSION

                 Dans cette partie, je vais tâcher de répondre à la problématique qui était la suivante “Sous quelles conditions les élèves de CE2 peuvent-ils acquérir des savoirs solides sur les deux aspects de la numération ? “. De plus, je vais faire part de l’apport de ce mémoire sur mes compétences professionnelles, ainsi que ce que j’ai mis en place en mathématiques durant le confinement. Face à la fermeture des écoles le lundi 16 mars en raison de l’épidémie de COVID-19, je n’ai pas pu analyser toutes les séances que je souhaitais. Ainsi, alors que je pensais analyser au moins 6 séances, j’ai actuellement analysé seulement 2 séances. Bien que cette expérimentation et cette analyse soient réduites, j’ai tout de même trouvé certaines réponses à la problématique. Tout d’abord, pour que les élèves puissent acquérir des savoirs solides sur les aspects de la numération, il faut que l’enseignant maîtrise ces deux aspects. En effet, la maîtrise de ces aspects va permettre à l’enseignant d’être précis, rigoureux, explicite et grâce à cela réaliser une transmission des savoirs à ces élèves. Ainsi, il est indispensable que l’enseignant réalise des fiches de préparation dans lesquelles il détermine les objectifs précis de chaque séance, de chaque activité. Il doit également déterminer les savoirs mis en jeu : les savoirs anciens ainsi que les savoirs nouveaux qui sont spécifiquement à enseigner. L’enseignant doit maîtriser les savoirs afin d’éviter un décalage entre les savoirs visés et les savoir enseignés. Lors de la préparation de sa séance, l’enseignant doit également faire du lien entre les différentes activités d’une même séance afin de créer du lien entre les différents apprentissages. En général, au sein d’une même séance, chaque activité n’est pas totalement détachée mais il y a une progression. Ainsi, comprendre la cohérence de cette progression va permettre d’être davantage explicite avec les élèves et de donner du sens aux activités. Lorsqu’un élève réalise une activité, il doit être capable de lui donner du sens, d’expliciter quels sont les objectifs de cette activité, ce qu’il est en train de travailler. Bien entendu, l’élève ne doit pas expliciter s’il travaille sur l’aspect décimal ou l’aspect positionnel de la numération. Ces notions restent du côté de l’enseignant, du côté de la didactique. Durant sa préparation de séance, l’enseignant doit également penser aux différents temps de celle-ci. L’enseignant doit réfléchir au déroulement de la séance. Il doit penser aux temps de correction et surtout aux temps de mise en commun, d’institutionnalisation. Ces temps d’institutionnalisation demandent un vrai travail approfondi en amont et nécessite à nouveau une certaine maîtrise didactique. Ces temps d’institutionnalisation sont importants car ils permettent de reconnaître les apprentissages réalisés et de leur assigner un nouveau statut de savoir ou de savoir-faire. Cette phase permet de faire avancer le temps didactique. Afin de garder une trace de ces temps, il est d’ailleurs intéressant de penser à une trace écrite qui peut, par exemple, prendre la forme d’une affiche. Ces temps sont extrêmement importants pour permettre à un maximum d’élève de maîtriser les savoirs travaillés, ici les aspects de la numération. L’enseignant doit également penser aux différentes modalités de chaque temps, chaque phase de la séance. Il doit être capable d’expliciter pourquoi il choisit telle ou telle modalité, par exemple, pourquoi travailler en binôme plutôt que de façon individuelle? L’enseignant doit également utiliser un vocabulaire adapté et précis. Cela nécessite donc une parfaite maîtrise des savoirs enseignés et donc à nouveau, un travail en amont de la séance. Mais aussi, l’enseignant doit être conscient de l’importance de la maîtrise de ces deux aspects de la numération pour d’autres savoirs, par exemple pour les calculs posés. Mais encore, l’enseignant doit être capable d’anticiper les difficultés que pourraient rencontrer les élèves. Il devrait, noter, sur cette fiche les réponses à ces différentes difficultées. Cela permettrait à l’enseignant de ne pas se trouver dépourvu face à une difficulté et donc de risquer de manquer de précision ou même de ne pas savoir répondre ou proposer une réponse inadaptée voir fausse. Cette anticipation des difficultés permettrait sans doute à tous les élèves d’aller vers une meilleure maîtrise des aspects de la numération, en leur permettant de dépasser les obstacles qu’ils rencontrent. Cette analyse reste une hypothèse, car je n’ai pas eu le temps d’analyser l’impact d’une anticipation des difficultés sur la maîtrise des deux aspects de la numération. Ainsi, je ne peux pas conclure que cela est une condition à cet apprentissage. L’enseignant a également un rôle, tout au long de la séance, celui de garantir l’activité des élèves. En effet l’enseignant doit enrôler les élèves dans les différentes activités, les guider, etc. Il doit, grâce aux prédictions de difficultés qu’il a émis, aider les élèves, proposer des remédiations, etc. Cette posture de l’enseignant, est une condition essentiellement afin de permettre à tous les élèves de maîtriser les deux aspects de la numération. Ainsi, on voit à travers ces analyses que pour que les élèves soient dans de bonnes conditions pour maîtriser les aspects de la numération, il faut que l’enseignant prépare minutieusement sa séance et maîtrise à la perfection les aspects de la numération et la didactique des mathématiques. Pour finir, pour maîtriser de façon solide les aspects de la numération, il faut que les élèves aient déjà d’autres acquis. En effet, lors de l’expérimentation, une élève en particulier, rencontre des difficultés globales sur le nombre. Elle maîtrise le principe de cardinalité du nombre mais la construction du nombre en tant qu’objet est très fragile. Elle maîtrise la suite numérique des nombres mais ne lui donne que peu de sens. Par exemple, dès lors que l’on dépasse 30 elle ne parvient pas passer du nom du nombre à son écriture chiffré. Ce manque de maîtrise du nombre bloque quant à la maîtrise des aspects de la numération. Ainsi, pour pouvoir construire ses aspects de la numération, il faut que les élèves aient acquis la construction du nombre lors des classes inférieures. Ce point aurait été à approfondir dans la suite de mon expérimentation afin d’être plus précise.

Table des matières

INTRODUCTION
PARTIE 1 : PRESENTATION DE MA PROBLÉMATIQUE
PARTIE 2 : PARTIE THÉORIQUE
1. Les aspects de la numération
1.1. L’aspect de position
1.2. L’aspect décimal
2. La numération d’un point de vue institutionnel
2.1. La numération dans les programmes
2.1.1. Les programmes de 2008
2.1.2. Les programmes en vigueur à la rentrée 2018
2.2. La numération dans les évaluations nationales de CP/CE1
2.2.1 Les évaluations nationales de CP
2.2.2 Les évaluations nationale de CE1
2.2.3 Les guides du professeur
2.3. La numération dans les manuels
2.4. La numération dans la méthode heuristiques de mathématiques
2.4.1. Présentation de la méthode heuristique
2.4.2 La numération
2.4.3. La numération en CE2
3. Les difficultés
3.1. Les difficultés concernant l’aspect de position
3.2. Les difficultés concernant l’aspect décimal
4. Les recommandations et les écueils à éviter pour les enseignants
5. L’importance des aspects de la numération dans d’autres enseignements mathématiques
5.1 Le calcul posé
5.1.1. L’addition posée
5.1.2. La soustraction posée
5.1.2.1. La méthode anglo-saxonne « par emprunt » (“par cassage”)
5.1.2.2. La méthode française « traditionnelle », méthode «par compensation»
5.1.3. La multiplication posée
5.1.4. La division euclidienne posée
5.2 Le calcul mental
5.3.. Le système métrique
5.4. Les décimaux
PARTIE 3 : LE CADRE D’ANALYSE
PARTE 4 : EXPÉRIMENTATION
1. Analyse de la séance 1 du module 9
1.1. Analyse préalable
1.2 Analyse a priori
1.3. Analyse à posteriori
1.4. Conclusion
2. Analyse de séance 2 du module 12
2.1. Analyse préalable
2.2 Analyse a priori
2.3. Analyse à posteriori
2.4. Conclusion
PARTIE 5 : CONCLUSION
BIBLIOGRAPHIE
ANNEXES

Télécharger le rapport complet