Soutenance mémoire
INTRODUCTION GENERALE
La mathématique est une science exacte omniprésente dans toutes les autres sciences. Dans ce mémoire de fin d’étude à l’Ecole Normale Supérieure, nous allons l’utiliser dans la Mécanique Générale. Notre thème est intitulé : L’ajustement mathématique et ses applications pour le traitement des résultats de recherche en Mécanique Générale. En général, le raisonnement de l’ajustement mathématique est basé sur des variables statistiques. A l’initiation à la statistique, on utilise souvent le tableau statistique à deux colonnes : une colonne pour les valeurs de la variable, l’autre pour les effectifs ou les fréquences. Effectivement, l’ajustement a deux étapes : la première pour la détermination de sa courbe, la seconde est la recherche de son équation. Ainsi, on peut citer comme ajustement à savoir l’ajustement graphique par une droite ou une parabole, l’ajustement mécanique par moyennes échelonnées ou par la méthode des moyennes mobiles ou par moyennes mobiles pondérées et l’ajustement analytique : méthode des moindres carrés qui est un ajustement à l’aide d’une droite, d’une parabole, d’une fonction exponentielle et d’une fonction puissance. Ce travail est divisé en deux chapitres. Le premier chapitre fait un bref rappel des notions théoriques des types d’ajustement. Le deuxième présente les applications pour le traitement des résultats numériques. Pour réaliser ce travail, nous faisons appel à un logiciel de programmation, le MATLAB 6.5 (MATrix LABoratory) pour tracer les points et pour trouver la forme des courbes ainsi que celle des équations d’ajustement cherchées. Aux termes de la réalisation de ce mémoire, nous pensons avoir au moins des notions en programmation, et au plus maîtriser beaucoup de commandes dans ce logiciel de calculs scientifiques.
Programme P.13
function figammaco;%variation de fiM en fonction de gamma
clc;
hold on;
x=[2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8];
%y=[70.7288 73.1753 75.1354 76.7208 78.0202 79.1003 80.0090 80.7830 81.4488 82.0275
82.5346 82.9821];%beta=0
%y=[74.1419 76.2555 77.9142 79.2395 80.3155 81.2042 81.9490 82.5804 83.1224 83.5923
84.0031 84.3652];%beta=0,2
%y=[77.7424 79.4566 80.7767 81.8172 82.6549 83.3419 83.9148 84.3984 84.8127 85.1707
85.4830 85.7580];%beta=0,4
%y=[81.5519 82.7953 83.7338 84.4626 85.0441 85.5168 85.9093 86.2393 86.5206 86.7636
86.9750 87.1606];%beta=0,6
y=[85.6136 86.2972 86.8008 87.1858 87.4895 87.7347 87.9364 88.1054 88.2493 88.3724
88.4802 88.5741];%beta=0,8
xi=[2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8];
%yi=[70.7288 73.1753 75.1354 76.7208 78.0202 79.1003 80.0090 80.7830 81.4488 82.0275
82.5346 82.9821];%beta=0
%yi=[74.1419 76.2555 77.9142 79.2395 80.3155 81.2042 81.9490 82.5804 83.1224 83.5923
84.0031 84.3652];%beta=0,2
%yi=[77.7424 79.4566 80.7767 81.8172 82.6549 83.3419 83.9148 84.3984 84.8127 85.1707
85.4830 85.7580];%beta=0,4
%yi=[81.5519 82.7953 83.7338 84.4626 85.0441 85.5168 85.9093 86.2393 86.5206 86.7636
86.9750 87.1606];%beta=0,6
yi=[85.6136 86.2972 86.8008 87.1858 87.4895 87.7347 87.9364 88.1054 88.2493 88.3724
88.4802 88.5741];%beta=0,8
g=spline(x,y);
plot(x,y,’b’,xi,yi,’*’);
%f=inline(’90-27.9459*exp(-0.1797*x)’); %beta=0
%f=inline(’90-23.0398*exp(-0.1834*x)’); %beta=0,2
%f=inline(’90-17.8502*exp(-0.1874*x)’); %beta=0,4
%f=inline(’90-12.3239*exp(-0.1917*x)’); %beta=0,6
f=inline(’90-6.4094*exp(-0.1966*x)’); %beta=0,8
fplot(f,[2.5,8],’k’);
hold off;
Programme P.14
function figammaco2;%variation de fim en fonction de gamma
clc;
hold on;
x=[2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8];
%y=[289.2715 286.8250 284.8643 283.2789 281.9795 280.9000 279.9913 279.2172
278.5515 277.9728 277.4657 277.0182];%beta=0
%y=[292.5030 289.7917 287.5669 285.7432 284.2352 282.9741 281.9078 280.9968
280.2102 279.5255 278.9244 278.3933];%beta=0,2
%y=[295.5379 292.6479 290.1980 288.1577 286.4543 285.0207 283.8032 282.7593
281.8563 281.0679 280.3746 279.7610];%beta=0,4
%y=[298.3317 295.3838 292.7568 290.5240 288.6395 287.0427 285.6796 284.5073
283.4898 282.6000 281.8167 281.1223];%beta=0,6
%y=[300.7851 297.9805 295.2394 292.8422 290.7916 289.0406 287.5383 286.2411
285.1130 284.1240 283.2520 282.4779];%beta=0,8
y=[302.6776 300.3960 297.6350 295.1105 292.9115 291.0162 289.3804 287.9629
286.7258 285.6401 284.6804 283.8278];%beta=1
xi=[2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8];
%yi=[289.2715 286.8250 284.8643 283.2789 281.9795 280.9000 279.9913 279.2172
278.5515 277.9728 277.4657 277.0182];%beta=0
%yi=[292.5030 289.7917 287.5669 285.7432 284.2352 282.9741 281.9078 280.9968
280.2102 279.5255 278.9244 278.3933];%beta=0,2
%yi=[295.5379 292.6479 290.1980 288.1577 286.4543 285.0207 283.8032 282.7593
281.8563 281.0679 280.3746 279.7610];%beta=0,4
%yi=[298.3317 295.3838 292.7568 290.5240 288.6395 287.0427 285.6796 284.5073
283.4898 282.6000 281.8167 281.1223];%beta=0,6
%yi=[300.7851 297.9805 295.2394 292.8422 290.7916 289.0406 287.5383 286.2411
285.1130 284.1240 283.2520 282.4779];%beta=0,8
yi=[302.6776 300.3960 297.6350 295.1105 292.9115 291.0162 289.3804 287.9629
286.7258 285.6401 284.6804 283.8278];%beta=1
g=spline(x,y);
plot(x,y,’b’,xi,yi,’*’);
%f=inline(‘270+27.9464*exp(-0.1797*x)’); %beta=0
%f=inline(‘270+32.5925*exp(-0.1762*x)’); %beta=0,2
%f=inline(‘270+36.9687*exp(-0.1727*x)’); %beta=0,4
%f=inline(‘270+41.0585*exp(-0.1691*x)’); %beta=0,6
%f=inline(‘270+44.8047*exp(-0.1652*x)’); %beta=0,8
f=inline(‘270+48.0146*exp(-0.1604*x)’); %beta=1
fplot(f,[2.5,8],’k’);
hold off;
CONCLUSION GENERALE
Ce mémoire est un des plusieurs témoins de l’utilité et de l’application des sciences mathématiques dans les autres sciences, particulièrement la Mécanique générale. Nous avons appliqué l’ajustement mathématique pour traiter des résultats obtenus en recherche sur la Mécanique générale. Les programmes qui permettent de tracer les graphiques sont directement intégrés dans le texte pour faciliter la lecture et la compréhension, particulièrement pour ceux veulent s’initier à l’étude du logiciel utilisé. Nous nous excusons que la nature des grandeurs mécaniques rencontrées dans ce travail est encore gardée confidentielle du fait qu’il s’agit de résultats obtenus dans un mémoire pour l’obtention du Doctorat et qui fait l’objet d’une proposition d’article de publication. Actuellement, cette publication n’est pas encore sortie. D’une part, l’essentiel est pour nous et pour le moment de savoir utiliser l’ajustement mathématique pour la recherche des lois de dépendance qui existent entre ces grandeurs, et d’autre part, de nous initier à la programmation, une autre discipline que nous avons étudiée à l’Ecole Normale Supérieure, mais sans l’approfondissement convenable. La réalisation de ce mémoire est donc pour nous une occasion rêvée non seulement pour approfondir nos connaissances en mathématiques, mais aussi de mettre les premiers pas dans le domaine de la recherche scientifique.
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Table des matières
INTRODUCTION GENERALE
Chapitre 1 : Rappels sur les notions théoriques en ajustement mathématique
1.1 Introduction
1.2 L’ajustement linéaire
1.3 L’ajustement sous forme de parabole
1. 4 L’ajustement à l’aide d’une fonction exponentielle
1. 5 Ajustement à l’aide d’une fonction puissance : ay Bx =
1.6 Conclusion
Chapitre 2 : Traitement de résultats de recherche en Mécanique Générale par l’ajustement mathématique
2.1 Introduction
2.2 Ajustement de forme polynomiale
2.2.1 Présentation des valeurs des paramètres
2.2.2 Procédure de recherche de la forme de dépendance
2.2.3 Recherche de la dépendance de γ par rapport à β
2.2.4 Recherche de la dépendance de ϕ1m par rapport à β
2.2.5 Recherche de la dépendance de ϕ1m par rapport à γ
2.2.6 Recherche de la dépendance de 1mk par rapport à β
2.2.7 Recherche de la dépendance de 1mk par rapport à γ
2.2.8 Conclusion
2.3 Ajustement de la forme 1 B x y Ae = +
2. 3. 1 Démarche à suivre
2.3.2 Applications numériques
2.3.2.1 Détermination des valeurs de A et B
2.3.2.2 Récapitulation des fonctions d’ajustement
2.4 Ajustement de la forme : 1 Bx y Ae = − −
2.4.1 Démarche à suivre
2.4.2 Applications numériques
2.4.3 Récapitulation des fonctions d’ajustement obtenues
2.5 Ajustement de la forme ( ) Bx f x y C Ae = = −
2.5.1 Démarche à suivre
2.5.2 Application : tableau n° 2. 6
2. 6 Ajustement de la forme ( ) B x g x L Ae = =
2.6.1 Démarche à suivre
2.6.2 Application : tableau n° 2.6
2.7 Ajustement de la forme 1( ) 90 B xMf x Ae = = − ϕ
2.7.1 Démarche à suivre
2. 7. 2 Application : tableau n° 2.7
2.8 Ajustement de la forme 1( ) 270 B xmg x Ae = = + ϕ
2.8.1 Démarche à suivre
2.8.2 Application : tableau 2.8
2.9 Conclusion
CONCLUSION GENERALE
Bibliographie
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