La verse géométrique des structures élancées courbées 

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Loi de Hooke

Dans le cas où la phase condensée est un solide, les molécules sont figées les unes par rapport aux autres, elles sont seulement libres de se déplacer autour de leur position d’équilibre re de r ≫ re. La forme de l’énergie potentielle de Lennard-Jonnes autour de la position d’équilibre est : 1 @2Ep Ep(re + r) ∼ −U + Œ ‘r=re r2 (1.23).
Elle est semblable à celle d’un ressort de constante de raideur k ∼ U ~re2. La phase condensée peut être modélisée comme un ensemble de molécules liées entre elles par des ressorts de raideur k. C’est pourquoi tout objet solide est déformable. On le voit très bien en appuyant sur du caoutchouc, beaucoup moins bien en appuyant sur une dalle de béton, mais c’est le cas pour tous les solides. Une autre configuration mettant en évidence la flexibilité des matériaux est celle où ils sont sous la forme de tiges, soumises à leur propre poids. Ici nous avons utilisé trois tiges : a) en élastomère (polyvinylsiloxane fabriqué par Marie Le Merrer [51]), b) en bois (hêtre) et c) en nylon. Nous avons placé chaque tige dans un tube creux horizontal puis augmenté sa longueur. La figure 1.11 permet de voir que les trois tiges ont des comportements différents. L’élastomère s’aligne rapidement avec la gravité (dont la direction est représentée sur la figure 1.11 a), tandis que le bois reste plutôt horizontal, et la tige de nylon a un comportement intermédiaire.

Ascension capillaire dans un coin

Nous présentons ici nos expériences d’ascension capillaire dans des coins formés par l’associa-tion de deux plans (coins linéaires) ou de deux cylindres (coins quadratiques). Nous désignons ces géométries comme des géométries ouvertes par opposition aux géométries fermées constituées par un tube capillaire, par exemple. De telles études ont été menées pour l’ascension capillaire dans des coins plans. Dans le cas de la statique, Taylor 1712 [64] et Hauksbee 1712 [65] ont mené les premiers des expériences d’ascension capillaire dans des coins formés par l’association de deux plaques de verre. Ils ont mis en avant le fait que la hauteur atteinte par le ménisque dans l’espace formé par les deux plaques varie comme l’inverse de la distance au coin.
Dans le cas du coin plan d’angle , voir la figure 2.3, Concus et Finn 1969 [66] ont établi la relation entre et l’angle de contact afin qu’il y ait ascension capillaire : + 2 < (2.1).
L’angle du coin ne peut dépasser 90° si on veut avoir ascension. Le critère sur est plus restrictif que pour le cas d’une géométrie fermée où il suffit d’avoir < ~2. Si par exemple = ~2, alors il faut < ~4. La dynamique a été étudiée bien plus tard que la statique : Tang et Tang 1994 [67] ont prédit une dynamique en t1~3 en 1994 et Higuera et al.2008 [68] l’ont observée expérimentalement en 2008 dans des coins linéaires d’angle = 0:75°. Ce que nous avons cherché à faire, c’est étendre cette étude à tout type de coin. Si l’ascension capillaire est possible dans tout type de coin, alors elle est sûrement aussi possible dans les coins formés par les vaisseaux conducteurs de sève.
Expérimentalement, il y avait deux difficultés pour faire ces expériences d’ascension ca-pillaire. Il faut être capable de construire un coin de bonne qualité (tailles des rugosités très inférieures à la longueur capillaire) sur une grande hauteur (environ 30 cm). Et il faut être capable d’observer cette ascension. En effet il y a très peu de liquide qui se place dans le coin et ce que l’on a à observer est très haut et très peu fin. Ce n’est pas facile d’observer des objets avec un grand rapport d’aspect. La solution a été de faire nos expériences d’ascension capillaire dans des coins quadratiques [voir la figure 2.3 b)] que nous avons fabriqués en associant deux cylindres en Plexiglass.

Une loi universelle

Ce que nous venons de montrer avec le modèle de l’orgue est indépendant de la forme du coin. Pour la démonstration, nous n’avons pas eu besoin de spécifier la fonction r(x) liant le rayon des tubes imaginaires à la distance au coin. En d’autres termes, l’équation (2.6) peut s’appliquer à tout type de coin. Nous avons utilisé trois types de coin pour vérifier cette affirmation : des coins linéaires, quadratiques et cubiques. Les coins linéaires sont obtenus en format un angle 2 avec deux plaques planes. La relation r(x) est alors r = tan x. Nous avons travaillé avec = 2:5° et = 6:5° et comparé nos résultats à ceux de [68], obtenus avec une géométrie identique mais plus confinée : = 0:75°. Les coins quadratiques sont ceux que nous avons réalisés avec des cylindres pleins, alors r(x) = x2 ~D où D est le diamètre du cylindre. Et nous avons obtenu des coins cubiques en contraignant deux feuilles flexibles contre une plaque solide. Alors la distance entre les murs élastiques suit la loi r(x) ≈ x3~L2, où L est la longueur de chaque feuille flexible (voir la figure 2.12).
Chacun de ces différents coins est mis au contact avec une huile silicone V20, de viscosité 20 mPas, et nous mesurons la hauteur du ménisque en fonction du temps. Nous présentons toutes les données adimensionnées sur la figure 2.13.
On vérifie ainsi l’indépendance de l’ascension capillaire vis-à-vis de la fonction r(x). Et c’est pourquoi on peut dire que la loi a un caractère universel, elle peut être appliquée à toute forme de coin.

Conséquences pour un milieu poreux

Il y a des situations où on rencontre à la fois des géométries fermées et des géométries ouvertes, par exemple dans des milieux poreux ou dans des granulaires. La géométrie fermée donnerait une dynamique en t1~2, type loi de Washburn et la géométrie ouverte où pourrait se trouver des coins donnerait une dynamique en t1~3, comme nous venons de le voir dans les paragraphes précédents. Nous avons alors réalisé une expérience d’ascension capillaire où ces deux dynamiques apparaissent simultanément, et nous observons leur coexistence.
Pour obtenir une telle géométrie, nous avons repris le montage du coin formé par l’association d’une plaque rigide et de deux plaques flexibles, mais de telle sorte que cette fois-ci l’espace entre les plaques soit de taille submillimétrique, voir la figure 2.14. Cet espace va jouer le rôle de la géométrie fermée, tandis que les trois coins qui l’entourent jouent le rôle de la géométrie ouverte, dans laquelle nous savons que l’ascension se fait en t1~3.
Nous avons mis en contact ce dispositif avec une huile silicone de viscosité 20 mPas, et suivi l’ascension du liquide dans le centre du canal et dans un des trois coins. Puis nous avons tracé la hauteur des deux ménisques sur le graphe 2.15. Nous avons aussi ajouté sur ce graphe les points correspondant à l’ascension capillaire du même liquide dans un coin formé par l’association de deux cylindres pleins de 30 mm de diamètre.

Ascension capillaire dans des rameaux

Une application à la montée de la sève dans les arbres (dans le cas où les vaisseaux conduc-teurs de sève sont embolisés) a été tentée en collaboration avec Éric Badel et Hervé Cochard au laboratoire PIAF (laboratoire de Physique et Physiologie Intégratives de l’Arbre Fruitier et Forestier) à l’INRA de Clermont-Ferrand.
Dans les expériences d’ascension capillaire précédentes nous étions libres de modifier chaque partie du montage afin de rendre l’expérience possible ou de faciliter les observations. Par exemple le choix des cylindres en Plexiglass a été très important, il a permis d’obtenir des coins quadratiques de bonne qualité et de les observer aisément. Dans le cas de l’observation en biologie, il n’est pas possible de faire de telles modifications. Ici par exemple, les tiges de bois sont opaques. Nous présentons tout d’abord le protocole expérimental que nous avons suivi, puis les résultats que nous avons obtenus.
Pour faire les expériences d’ascension capillaire dans les tiges de bois, nous voulions être le plus proche possible de tiges dans une situation embolisée. Nous avons donc coupé des tiges de bois sur pied que nous avons mises à sécher une semaine. Ces tiges étaient écorcées pour faciliter leur déshydratation. Ainsi nous avions des tiges embolisées, dans lesquelles de l’eau pourrait monter par ascension capillaire.
Pour éviter tout problème de mouillage (l’angle de contact de l’eau sur les parois des vais-seaux varie d’une espèce d’arbre à l’autre, Kohonen 2006 [70]), nous avons utilisé comme liquide de l’éthanol qui mouille totalement le bois. Les tiges de bois étant opaques, la seule solution pour observer la présence de l’éthanol dans les vaisseaux conducteurs de sève ou dans les méats est de faire une coupe transversale de la tige et d’observer cette coupe à la loupe binoculaire ou au microscope. Afin d’observer l’éthanol, nous lui avons ajouté un colorant rouge, de la cya-nosine. Les coupes transversales sont faites avec un outil appelé microtomographe. C’est une lame de rasoir fixée à un rail. Cela permet de faire des états de surface convenables pour une observation au microscope. Sur la figure 2.16 nous montrons trois photos de section transversale d’une tige de hêtre. Les photos a) et b) ont été faites à la loupe binoculaire. La photo c) a été faite avec un microscope. Lorsqu’un microscope est utilisé pour regarder une lamelle, l’éclairage peut être fait à travers la lamelle, mais ici nous regardons la surface d’une tige, l’éclairage doit être oblique (par le côté) et c’est pour cela qu’il y a des reflets et des ombres sur la photo c).
Sur la photo a), le bois est intact, c’est une tige avant le début de l’expérience. Au centre, il est possible de distinguer la moelle de la tige. Les rayons blancs qui vont de la moelle à la périphérie de la tige sont les rayons ligneux. Tous les petits points noirs que l’on voit, qui ont une taille d’environ 50 m correspondent à des vaisseaux conducteurs de sève. La photo b) a été prise après une expérience d’ascension capillaire d’éthanol. Presque toute la surface est rouge et a donc été mouillée par l’éthanol. La photo c) montre en détail les vaisseaux conducteurs de sève. Le diamètre de leur section va de 15 m à 35 m, et a pour valeur moyenne 28 m. C’est à partir de telles images que nous avons mesuré les rayons moyens des vaisseaux pour toutes les essences de bois utilisées. Sur le tableau 2.1, nous indiquons les valeurs des rayons de vaisseaux que nous avons mesurées en fonction de l’essence de bois.

Vitesse critique pour un ensemble de plaques

Pour connaître la force exercée par le vent sur une plante, il faut savoir quelle est la vitesse du vent dans le couvert, en fonction de la vitesse du vent en surface. D’après Finnigan 2000 [71], la taille des écoulements turbulents qui pénètrent le couvert varie en loi d’échelle avec la hauteur des plantes (ou plaques) qui constituent le couvert et leur vitesse varie comme la vitesse du vent à l’extérieur du couvert.
Alors, en loi d’échelle, la force qui s’exerce sur une plaque est de l’ordre de Fvent vent U2Lb. La force élastique de rappel de la plaque est Fp 2 , avec ici I 12 bh3 . Une plaque qui se L ∼ EI bh3 couche sur sa longueur, vient au contact avec L d autres plaques, ce qui a pour conséquence ∼ Ebh3 = ∼ le fait que la force totale de réaction élastique est~ Ft . En équilibrant ces deux forces, on Ld déduit la vitesse critique à partir de laquelle les plaques sont mises au sol : ∼ ∗ = vent LSd ¾ U E I (3.1).
Cette vitesse augmente avec le module de Young de la plaque, si c’est une plante qui forme le couvert végétal, alors pour une même géométrie, la plante qui a le plus grand module de Young sera la plus résistante à la verse de vent. La vitesse critique dépend aussi de la masse volumique de l’air, qui peut augmenter sensiblement s’il pleut, il y a alors un plus grand risque de verse. Il y a aussi une dépendance de la vitesse critique avec la géométrie de la plante, par le terme LSI . Et une diminution de l’espacement entre plants fait augmenter U∗ et rend le couvert plus résistant au vent. On peut retracer les résultats de toutes les expériences avec les vitesses adimensionnées par U∗ et on voit sur la figure 3.4 que toutes les courbes se rejoignent.
On peut maintenant comparer les vitesses de vents mesurées en plein champ à celles prédites par le modèle qui vient d’être présenté. On trouve chez Py 2006 [72] les caractéristiques phy-siologiques des plants de blé : hauteur L = 0:68 m, fréquence propre f0 = 2:5 Hz, espacement entre tiges d = 0:05 m et masse de la tige m = 7:4 g. Ici, ce sont la fréquence propre et la masse de la tige qui sont indiquées, et non son module de Young et son moment d’inertie, Nous allons donc réécrire la vitesse critique¼en fonction de ces paramètres, en utilisant l’expression de la fréquence d’une tige (f0 = 3:515 4∗ E r2 ) : L ¾ ∗ = 3:515 Sd U 2 f0 m L2 (3.2).
En prenant S = 2rL, où r = 2 mm, on trouve U∗ = 20 m/s, ce qui est proche de la vitesse critique de verse de 22 m/s pour le blé, d’après Berry 2002 [73].

Prévention du phénomène de verse

Pour éviter la verse des céréales, on cherche à augmenter cette vitesse U ∗. De la même façon que dans les expériences précédentes, on peut essayer de raccourcir leur taille ou de les rapprocher. Mais comme on l’a vu plus haut, on ne peut plus diminuer la hauteur des céréales utilisées actuellement. Les rapprocher est également délicat. Il y aurait alors compétition entre les plants pour la lumière, l’eau et les nutriments venant du sol. Dans des champs de céréales très rapprochées, les champignons se transmettent aussi beaucoup plus facilement.
On peut alors essayer de sélectionner des céréales de plus grand module de Young. Mais aussi améliorer la géométrie de la tige pour augmenter le moment quadratique. Nous avons vu que les tiges creuses remplissent très bien cette fonction : pour une même masse de tige, une tige creuse aura un moment quadratique plus élevé qu’une tige pleine, et sa vitesse critique de verse sera alors plus élevée.

Pli déclenché par un couple

Ici, nous allons déclencher le pli du ruban en exerçant un couple. Le ruban sera toujours encastré à une extrémité et le couple exercé sera soit une force localisée à l’extrémité libre, soit une force aérodynamique répartie sur toute la surface du ruban. Nous nous rapprochons ainsi des sollicitations réelles auxquelles peuvent être soumises les plantes.

Expériences de flexion

Le ruban est fixé dans un étau à une extrémité et est libre à l’autre extrémité. C’est à l’extrémité libre que nous exerçons une force en accrochant un récipient que nous remplissons d’eau petit à petit. La courbure transversale doit pouvoir varier librement tout le long du ruban, et surtout à la position d’encastrement. C’est pourquoi nous plaçons un cylindre plein entre les mors de l’étau comme cela se voit sur la figure 4.23.
La série d’images 4.24 montre une expérience de flexion avec un ruban en acier de longueur L = 50 cm, de largeur b = 19 mm, d’épaisseur h = 0:14 mm et de rayon de courbure transversale r = 11:9 mm. Sur l’image a), le ruban n’est soumis qu’à son propre poids, il est presque horizontal. De l’image b) à l’image f), la masse à l’extrémité du ruban augmente par pas de 10 g. Lorsque la masse augmente, le ruban se courbe de plus en plus, jusqu’à atteindre son rayon de courbure critique, et alors il forme un pli. Cela se produit pour la masse mc = 50 g.
Nous traçons sur la figure 4.25 l’évolution de la masse critique mc pour former le pli en fonction de la longueur L du ruban et de sa largeur b.
La variation de la masse mc avec b est étudiée pour trois longueurs de ruban (L = 0:1; 0:6 et 1:2 m). Pour chaque longueur, la largeur du ruban varie de b = 15 mm à b = 25 mm. La limite supérieure de b est la largeur initiale du ruban et la limite inférieure est la largeur critique pour avoir formation d’un pli, en-dessous de cette largeur, le ruban passe continûment vers l’état enroulé. L’évolution de la masse critique avec b est importante. Par exemple pour la longueur L = 1:2 m (sur la figure 4.25 : +) la masse critique varie de 7 à 46 g. Pour les trois longueurs de ruban, la masse critique varie comme b3.
Sur le graphique de gauche de la figure 4.25 est tracée l’évolution de mc avec la longueur L. Pour des longueurs allant de 0:1 à 1:2 m, la masse mc varie comme 1~L : le couple critique imposé au ruban à la position d’encastrement est toujours le même. Cependant, à grand L, la masse mc s’écarte de la tendance 1~L, car la masse propre du ruban n’est plus négligeable devant mc.

Table des matières

1 Modélisation physique des milieux condensés 
1.1 Capillarité
1.1.1 La tension de surface
1.1.2 Loi de Laplace
1.1.3 Mouillage
1.1.4 Ascension capillaire dans un tube
1.2 Élasticité
1.2.1 Loi de Hooke
1.2.2 Flambage d’Euler
I Ascension capillaire et montée de la sève 
2 Ascension capillaire dans les coins 
2.1 Introduction
2.2 Ascension capillaire dans un coin
2.3 Le modèle de l’orgue
2.4 Une loi universelle
2.5 Conséquences pour un milieu poreux
2.6 Ascension capillaire dans des rameaux
2.7 Conclusion
II Vitesse critique de verse 
3 La verse de structures groupées 
3.1 L’expérience
3.2 Vitesse critique pour un ensemble de plaques
3.3 Prévention du phénomène de verse
3.4 Conclusion
4 La verse géométrique des structures élancées courbées 
4.1 Le mètre à ruban
4.1.1 Faits remarquables
4.1.2 Le pli
4.2 Expérience de flambage
4.3 Modèle
4.3.1 Transition d’état liquide-gaz
4.3.2 Transition d’état du ruban
4.3.3 Comparaison aux expériences
4.4 Pli déclenché par un couple
4.4.1 Expériences de flexion
4.4.2 Expériences en soufflerie
4.5 Perspectives
4.5.1 Longueur de transition
4.5.2 Bourrasque
4.6 Conclusion
5 Le verse géométrique de structures tubulaires 
5.1 Motivation
5.2 Expériences
5.3 Discussion
5.4 Conclusion
6 La verse par flexion des structures élancées fragiles 
6.1 Motivations physiologiques
6.1.1 Vitesse critique de verse
6.1.2 Types de verse
6.1.3 Organisation du chapitre
6.2 Expériences
6.2.1 Résultats
6.2.2 Résumé des expériences
6.3 Modèle
6.3.1 Critère de rupture classique
6.3.2 Critère de Griffith
6.4 Retour à la physiologie
6.4.1 Flambage sous son propre poids
6.4.2 Détermination de la vitesse de vent critique
6.5 Conclusion
7 Une variante : la torsion 
7.1 Motivation physiologique
7.2 Expérience
7.3 Analyse
7.4 Retour à la physiologie
III Annexes 
A Rayon de courbure d’une structure élancée encastrée 
B Courbure d’une structure élancée soumise à une force aérodynamique 
B.1 Direction de la force sur une structure élancée
B.1.1 La soufflerie conventionnelle
B.1.2 La soufflerie du pauvre
B.2 Résultats expérimentaux
B.2.1 Mesure de la traînée
B.2.2 Direction de la force aérodynamique
B.2.3 Déformées des tiges de bois
B.3 Courbure de la structure élancée sous l’effet de la force aérodynamique

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