La transposition didactique interne : quel est le savoir enseigne ?

Propositions relatives à des expérimentations et recherches didactiques

Sous le prisme de la transposition didactique, les propositions des didacticiens apparaissent comme une impulsion donnée pour faire entrer un objet d’enseignement dans les préconisations des programmes. Grâce à de nombreuses expérimentations, ils justifient l’intégration de la calculatrice au regard de sa complémentarité avec l’enseignement existant.
Plusieurs réflexions et expérimentations viennent expliciter diverses utilisations pertinentes de la calculatrice à l’école élémentaire. Ces expérimentations sont publiées sur des revues destinées aux enseignants : Mathecole, et Grand N notamment.
Dès 1978, un article de Mathecole est consacré à la calculatrice dans l’enseignement primaire (Hutin, 1978). Raymond Hutin y rapporte son compte rendu suite à un forum dont le thème principal était « la calculatrice de poche dans l’enseignement des mathématiques et s on influence sur les plans d’étude de la scol arité obligatoire ». Les didacticiens et enseignants suisses s’interrogent sur la portée de l’intégration d’un nouvel artefact à l’école. Raymond Hutin relate deux faits fondant ces interrogations : premièrement les élèves peuvent disposer de calculatrice chez eux, pour faire leurs devoirs notamment, et l’école ne peut l’ignorer ; en second lieu, la société change avec ce nouveau moyen de calcul et il serait intéressant de former les travailleurs de demain à l’utiliser avec pertinence. Au-delà de ces considérations, Hutin expose l’utilité de la calculatrice pour les apprentissages. Tout d’abord, elle peut étendre les connaissances mathématiques : elle permet d’agir sur des nombres plus grands et donc d e dépasser les expérimentations matérielles réalisables par les élèves. En second lieu, elle est source d’engagement: chacun peut « accéder à la joie de la découverte personnelle » (Hutin, 1978) car celle-ci ne dépend plus uniquement des compétences en calcul. Dès les années 80’, les didacticiens semblent plaider pour une utilisation de la calculatrice , mais quelle serait l’intégration de cet artefact en classe ?
Malgré une intégration reconnue et légitimée par tous les didacticiens écrivant sur le sujet, le statut de la calculatrice reste interrogé.

Auxiliaire de calcul ou outil pédagogique ?

Dans un article de Grand N (1992-1993), Éric Bruillard se prononce sur le statut que devrait avoir la calculatrice et défend celui d’auxiliaire de résolution. Pour que l’intégration de la calculatrice soit légitime et pérenne, il faut qu’elle reste un outil qui « prolonge les possibilités » de l’utilisateur. Bruillard signale à ce sujet que la calculatrice ne peut accompagner la pratique d’un élève que si celui-ci est en mesure d’exercer un contrôle du résultat produit. Ainsi, l’objectif premier serait d’amener les élèves à « résoudre avec les outils ». En ce sens, la mission de l’école serait de mener un apprentissage lié à l’utilisation de l’outil, tout comme elle mène un apprentissage des techniques opératoires, pour résoudre.
L’utilisation de la calculatrice deviendrait alors un objectif d’apprentissage : savoir utiliser une calculatrice en étant conscient de ses portées et de ses limites. En statuant en faveur du rôle d’auxiliaire de résolution, Bruillard exclut la perspective « d’outil pédagogique ». En effet, la calculatrice peut être un moyen de créer de nouvelles situations permettant d’aborder des notions différemment, elle peut aussi être le support de nouveaux problèmes. Bruillard avertit du danger de ces modalités qui réside dans leur caractère facultatif : la calculatrice serait alors assimilée à un moyen comme un autre d’accéder à certaines compétences. Son utilisation pourrait alors être rapprochée d’une innovation pédagogique discutable et ne jamais faire l’objet d’un apprentissage dans les écoles.
Roland Charnay rejoint la vision de Bruillard en admettant que « la calculatrice est d’abord un auxiliaire de calcul » (Charnay, 2004). Lorsqu’elle exerce ce rôle, elle permet de libérer les élèves des calculs coûteux et de concentrer leur effort sur le développement des compétences visées par la résolution de problèmes : la compréhension de la situation, l’anticipation des calculs et l’organisation des données. Alors que Bruillard (1992-1993) s’interroge sur le moment pertinent pour intégrer la calculatrice au regard de la technique opératoire, Charnay annonce que « le recours à la calculatrice est d’autant plus intéressant qu’on ne sait pas (encore) calculer par d’autres moyens ». Certaines situations de découverte de nouvelles opérations sont simplifiées au regard des compétences en calcul des élèves et ne leur permettent pas d’étendre leurs connaissances mathématiques à d’autres contextes plus complexes qui font davantage sens. Un décalage se crée donc entre les compétences visées par la situation (le sens) et les procédures effectives des élèves qui s’appuient sur des savoir -faire antérieurs sans les faire évoluer (dénombrement, dessin…). La calculatrice pourrait, selon Charnay, remédier à ce décalage en favorisant des situations adaptées aux capacités de compréhension réelles des élèves pour justement faire évoluer leurs procéd ures de résolution.
De même que la dictée à l’adulte permet de dépasser des contraintes motrices pour être au plus près de ce que les élèves sont capables de produire ; la calculatrice pourrait permettre d’engager les élèves dans des situations qu’ils sont déjà capables de comprendre et de résoudre en dépassant leurs capacités en calcul (limitées aux petits nombres). L’auxiliaire de calcul est alors un outil qui « prolonge les possibilités » (Bruillard, 1992-1993). Loin de nuire aux compétences mathématiques des élèves, la calculatrice accompagnerait leur développement. Pour illustrer cette modalité d’utilisation, Charnay commente une activité de recherche du complément dans une classe de CE1 (Grand N, 2004).

Étendre les connaissances mathématiques et favoriser la recherche autonome

Floris et Del Notaro (2011) exposent une expérimentation menée avec des élèves de 6 et 7 ans. Ils se placent dans l’optique de la Théorie des situations de Brousseau (1998) et intègrent donc la calculatrice à un mil ieu qui convoque les connaissances des élèves et les fait évoluer. Je ne synthétiserai pas l’intégralité de l’étude, suivie sur plusieurs années, elle est composée de nombreuses situations progressivement introduites par des modifications de contrat didactique. L’activité que je présenterai ici a été mise en place après un travail sur la calculatrice comprenant une approche des entiers naturels et de leur suite (par additions itérées), un aperçu de la parité des nombres, et une institutionnalisation de ces savoirs. La calculatrice est présentée comme un authentique vecteur de savoir mathématique (Floris, 2005, p. 20). Le but de l’activité est d’atteindre un nombre cible par additions itérées du même chiffre (ex : 2 + 2 + 2 pour atteindre 6), en faisant le moins de manipulations possible à la calculatrice. Par le biais de leurs découvertes successives, les élèves sont amenés à remplir un tableau des nombres cibles, voici un exemple pour la cible 8 (exemple de tableau d’élève Annexe 1)
L’étude menée par Floris et Del Notaro amène à penser la calculatrice comme « un très bon moyen pour étudier le nombre et cela dès les premiers degrés de la scolarité élémentaire ».
Grâce à la rapidité et la fiabilité (sauf erreur de frappe) qu’elle offre aux élèves, ceux-ci ont pu s’intéresser aux suites de nombres et étendre leurs connaissances mathématiques. Les élèves ont généré des suites de nombres et ont observé des phénomènes numériques : parité/ imparité, relation entre les nombres, l’équivalence entre l’addition itérée et la multiplication…
Le remplissage du tableau des nombres cibles permettait aux élèves d’observer des régularités entre les nombres : tous les nombres qu’on atteint en tapant plusieurs fois [+5] se terminent par le chiffre 0 ou le chiffre 5. Le langage oral produit lors de la mise en commun permettait de développer certaines notions mathématiques qui prenaient du sens dans le contexte des nombres cibles : pour obtenir 24 j’ai tapé 6 fois [+4], cette verbalisation donne du sens à l’équivalence entre additions itérées et multiplication. De plus la calculatrice offre des possibilités d’observation de la commutativité de l’addition la multiplication : dans le tableau des cibles on retrouvera le nombre 4 (6 fois) pour atteindre 24, mais aussi le nombre 6 (4 fois) pour atteindre le même nombre. Malgré la complexité de ces situations prises en charge par des experts de la didactique des mathématiques, cette expérimentation montre « la richesse d’investigation » que peut procurer l’intégration de la calculatrice. Ces élèves de 6-7 ans ont pu mener une investigation autonome, régularisée par les mises en commun, ils ont été détenteurs de leurs découvertes et ont étendu leurs connaissances mathématiques en explorant les relations entre les nombres.
D’autres situations, peut-être plus facilement exploitables ont été proposées par Roland Charnay (2004). Il propose notamment d’engager les élèves à mémoriser leurs tables par l’utilisation de la calculette : elle fournit en effet un résultat rapide et permet de contrôler son appropriation du calcul mental. La calculatrice permet alors aux élèves d’être plus autonomes pour l’entraînement au calcul mental, et de disposer de moyens fiable s de vérification (le professeur n’est plus l’unique détenteur du résultat). Par binôme les élèves peuvent se livrer à des révisions de tables de multiplication ou d’addition et jouer pour apprendre.

Une évolution mitigée en 2015

Les programmes de 2015 réaffirment l’importance de l’articulation des différents moyens de calcul : « Le calcul mental, le calcul posé et le calcul instrumenté sont à construire en interaction » (p. 201). Cependant, la calculatrice n’est pas citée dans les compétences des élèves de cycle 2. Elle n’apparaît qu’à partir du cycle 3 « Utiliser une calculatrice pour trouver ou vérifier un résultat ». Loin des préconisations des programmes de 2002, les programmes de 2015 rendent l’utilisation de la calculatrice assez facultative ou du moins assez incertaine. Les élèves doivent maîtriser cette compétence mais rien n’est formulé pour expliquer ce qui y contribue.
Le document d’accompagnement « Le calcul aux cycles 2 et 3  » intègre le calcul instrumenté aux divers moyens de calculer. L’utilisation de la calculatrice a alors pour objectif de :
– « Libérer l’esprit et centrer la réflexion sur l’élaboration d’une démarche de résolution »
– Permettre des essais et ajustements lors de calculs répétitifs.
– Sensibiliser les élèves au contrôle de leurs calculs par vérification à la calculatrice.
Malgré la présence de la calculatrice, les programmes de 2015 n’encouragent pas une réelle intégration de cet artefact. Ils ne précisent pas les modalités de mise en œuvre en classe et ne permettent pas d’envisager un enseignement qui met en lien la calculatrice avec les autres moyens de calcul.
Alors que les recherches et expérimentations didactiques tendent à montrer un intérêt à l’utilisation de la calculatrice en classe, les programmes actuels ne préconisent pas une utilisation fréquente et durable de cet outil. La transposition externe effectuée sur l’objet calculatrice est donc mitigée et ne conduit pas à une utilisation légitimée . Outre les éclairages didactiques et les préconisations des programmes, l’intégration d’un objet d’enseignement est aussi influencée par les représentations des enseignants à son égard et par les moyens dont ils disposent pour l’associer à leurs pratiques.
Quel regard les enseignants portent-ils sur la calculatrice en classe ? Légitiment-ils son intégration ? De quelles ressources disposent-ils pour construire l’interaction des différents moyens de calcul préconisée par les programmes de 2015 ?

Les ressources disponibles

Lors des entretiens, le manque de ressources disponibles a été souvent évoqué : « On devrait l’utiliser plus souvent et souvent dans les méthodes elles ne sont pas proposées, on te dit pas comment faire pour que ce soit bénéfique » (Mathilde, CM1-CM2) « Moi je suis le Cap-Maths donc oui elle y est des fois, mais ça me convainc pas assez pour l’intégrer vraiment à ce que je fais donc je fais des activités avec mais j’essaie je teste » (Emmanuelle, CE2-CM1)
« La calculette elle peut servir en plus à faire des petits concours, faire de vraies séances ludiques autour du calcul, mais je sais pas si il existe des séquences détaillées pour lancer les enseignants sur ça » (Julie, CP) « c’est notre rôle on devrait l’utiliser plus souvent en classe, mais c’est un manque d’habitude aussi, quand on est pas sûr de ce que ça apporte et quand on sait pas trop par où commencer c’est compliqué, j’ai vu des activités intéressantes sur la calculatrice mais c’est un peu décroché on sait pas trop où ça s’insère » (Emma, CE1-CE2)
Ces propos rapportés mettent en lumière un des freins à l’intégration de la calculatrice : le manque de ressources pour articuler l’utilisation de l’outil aux compétences visées.
Contrairement aux constats de Bruillard ou de Charnay, ces enseignantes ne considèrent pas la calculatrice comme un facilitateur de la pratique mathématique, ou comme un frein au développement des compétences visées. Ici, leur réticence semble davantage provenir du manque d’apports didactiques relatifs à une intégration pratique de cet instrument.
Un des leviers d’intégration de la calculatrice à l’école élémentaire serait donc la formation continue des professeurs des écoles.

Fréquence d’apparition

Le manuel « J’apprends les maths » ne propose qu’une activité autour de la calculatrice, en période 5. Aucune découverte de l’outil n’est engagée, le guide pédagogique stipule néanmoins que « si cela s’avère nécessaire, la séance commencera en rappelant comment on allume la calculette, comment on remet l’affichage à 0, quelles sont les touches dont on apprendra plus tard l’usage, etc. » (p 203). Cette phrase confirme l’hypothèse évoquée précédemment : les rédacteurs de ce manuel semblent reporter l’apprentissage du calcul instrumenté en cycle 3. La séance proposée re ssemble d’ailleurs à une situation d’initiation, aucune autre utilisation de la calculatrice n’est proposée dans la suite du manuel.
Le manuel « Vivre les maths » propose deux séances relatives à la calculatrice, une en période 3 et une en période 5. Ce nombre n’exprime pas une forte fréquence, néanmoins les informations didactiques exposées dans le guide pédagogique laissent à l’enseignant le choix de l’utiliser plus souvent. Cet ouvrage didactique reprend les préconisations des programmes en évoquant son utilité pour développer la compétence « choisir le moyen de calcul le plus approprié à la situation que l’on doit traiter », « pour mieux se concentrer sur les stratégies de résolution » ou pour permettre « le recours à des nombres assez grands » (p 204). Le choix de la mettre à disposition des élèves, ou de certains élèves, est laissé à l’enseignant. Mais cette modalité intéressante n’est pas accompagnée : les situations (résolution, vérification, recherche) ne sont pas annotées pour permettre à l’enseignant de l’intégrer (pour tous les élèves ou en différenciation). L’utilisation de la calculatrice reste alors facultative bien qu’appuyée par les programmes et reprise avec pertinence par ce manuel.
Le manuel « Maths tout terrain » consacre une page d’explications didactiques relatives à la calculatrice dans son guide du maître. Dans ces commentaires destinés aux enseignants, les auteurs du manuel rappellent que la calculatrice est un sujet « riche qui a suscité bon nombre de controverses qui ne sont, pour la plupart, pas encore tranchées à l’heure actuelle » (p 29). Ils axent alors l’intégration de la calculatrice dans un souci d’initiation à l’outil de travail. Ces remarques explicites attestent du manque de prise de position des programmes de 2015 qui exposent le calcul instrumenté dans les moyens dont l’élève dispose pour calculer mais qui ne précisent pas, ou peu, les modalités didactiques de son intégration. L’utilisation de la calculatrice est peu fréquente dans ce manuel (une seule séance), cependant son intégration anticipée permet une utilisation dans les périodes suivantes, notamment avec des informations méthodologiques dans le fichier de l’élève.

La calculatrice est souvent l’objet d’activités décrochées

Les manuels semblent suivre les orientations des programmes en intégrant la calculatrice aux apprentissages mathématiques des élèves de CE2. Néanmoins, ces pratiques sont sommaires et ne s’articulent pas aux autres activités du domaine « Nombres et calculs ». Hormis dans le manuel « Cap Maths », la calculatrice fait l’objet d’une séance décrochée indiquée comme telle dans le sommaire. Elle n’est pas reconnue comme un moyen de calcul « ordinaire » comme le préconisait Roland Charnay (1993-1994) puisqu’elle ne fait pas partie des ressources des élèves pour résoudre. En consacrant une ou deux pages d’activités composites où tous les emplois de l’outil sont présents, les manuels n’engagent pas une pratique réfléchie : tous les rôles sont confondus dans la même séance (vérification, aide à la résolution, support du problème…) et ne peuvent de cette manière être intégrés aux pratiques des élèves. Le manuel Cap Maths, quant à lui, donne à voir une interaction accessible des différents moyens de calcul. La calculatri ce est intégrée aux activités en étant une ressource disponible pour résoudre (indiquée dans la colonne « matériel »). Contrairement aux autres manuels qui développent les différentes utilisations indépendamment des autres apprentissages, dans le « Cap Maths » chaque emploi est étudié en adéquation avec la situation en jeu et la compétence visée : la calculatrice n’est pas l’objet de la séance mais un élément du milieu didactique.
– Il existe peu d’accompagnement didactique pour encourager les pratiques :
En présentant la calculatrice dans une séance décrochée, et sans informations didactiques supplémentaires pour expliciter son intérêt dans d’autres situations, son utilisation en classe est soumise au jugement du professeur. Cette difficulté est évoquée par les enseignants dans les entretiens étudiés précédemment : peu de ressources permettent d’envisager une réelle intégration de la calculatrice en classe. Les recherches didactiques donnent des pistes d’exploitation mais sont majoritairement axées sur des séquences isolées, et les manuels ne se prononcent pas en faveur d’une utilisation fréquente et assimilée aux autres apprentissages.
Lors des entretiens, les enseignants témoignaient tous d’une utilisation lors de la résolution de problèmes, or aucune ressource ne vient accompagner cet emploi. Pourtant cette pratique se doit d’être réfléchie, Roland Charnay (2004) évoquait à ce titre l’importance de prendre en considération la manière dont l’élève conçoit la situation afin que la calculatrice ne soit pas un frein à la résolution. Il précisait alors que l’enseignant avait la responsabilité de l’introduire « au bon moment » en prenant en compte l’objectif de la situation (démarche ou calcul), les nombres en jeu (permettent-ils le recours à des procédures personnelles ?), la conception de l’élève et ses compétences (levier de différenciation). Seul le manuel Cap Maths soutient le choix du professeur en donnant des exemples de résolution d’élèves et en indiquant si le recours à la calculatrice est pertinent. Les autres manuels ne définissent pas clairement les enjeux de l’utilisation de la calculatrice en classe. Le manuel « Vivre les maths » s’y essaie, en admettant les mêmes perspectives que le « Cap Maths » :
« Pour éviter les automatismes, il est nécessaire d’habituer les élèves à recourir à toutes les techniques de calcul. Savoir calculer, c’est choisir le moyen le plus approprié à la situation que l’on doit traiter : technique opératoire traditionnelle, calcul mental ou outils modernes que la technologie met à notre disposition. En particulier, il faut utiliser une calculette dans les situations où son usage s’avère pertinent. La calculette permet à l’élève de se libérer de tâches annexes de calcul pour mieux se concentrer sur les stratégies de résolution, et par exemple, procéder par « essais et erreurs ». Elle autorise aussi le recours à des nombres assez grands, sans compliquer inutilement le travail demandé.
Son utilisation dans les premières étapes d’un apprentissage numérique ne soit pas constituer une entrave à l’élaboration de procédures personnelles nécessaires à la bonne compréhension de la notion en jeu. Il appartient à l’enseignant de distinguer les cas où la calculette peut être mise à la disposition des élèves, ces cas pouvant d’ailleurs varier d’un élève à l’autre.
Il est conseillé de toujours vérifier des opérations faites à la calculette en faisant appel aux ordres de grandeur. » (Guide pédagogique, p 204)
Néanmoins, ces informations intéressantes n’apparaissent que dans la section consacrée à la calculatrice, et ne sont pas reprises lors des autres situations, dans lesquelles la calculatrice aurait pu avoir un intérêt.
Le peu d’accompagnement didactique présent dans les manuels peut provenir du manque de prise de position des instructions officielles de 2015. Les programmes ne légitiment pas clairement une utilisation fréquente de la calculatrice mais indiquent pourtant la nécessité d’une interaction entre les différents moyens de calcul. Les manuels reprennent ces directives en présentant chacun un module consacré à la calculatrice, mais restent évasifs quant à son utilisation dans l’année scolaire.
– Les rôles attribués à la calculatrice sont relativement restreints :
Tous les manuels évoquent une découverte (guidée ou non) de l’objet calculatrice : ceci permet de constater qu’aucun ne considère la calculatrice comme « un objet entièrement maîtrisé » (Favre et Tièche Christinat, 2007, p 107). Ils intègrent tous la nécessité d’une appropriation de l’outil pour que son utilisation soit intéressante.
Outre cette découverte de l’outil, les manuels présentent néanmoins des emplois différents de la calculatrice. Alors que le rôle d’auxiliaire de résolution est le plus recommandé et qu’il admet l’unanimité des consentements des chercheurs, ce n’est pas le plus exposé par ces supports didactiques. Ceci peut s’expliquer par le fait que ce rôle suppose de considérer la calculatrice comme « un moyen de calcul ordinaire » (Charnay, 1993-1994) mis à disposition des élèves lorsque la situation le permet. Or, pour que cette position soit prise par les manuels, il faudrait que cet emploi soit reconnu et légitimé dans les programmes. Seul le manuel Cap Maths revendique cette position en indiquant, dans ses avant-propos, que les calculatrices peuvent être utilisées « comme outil de calcul dans certaines activités ou pour vérifier un résultat obtenu mentalement ou par écrit. Elles peuvent alors aussi être mises à la libre disposition des élèves pour résoudre des problèmes lorsque l’enseignant l’estime nécessaire » (p XIX).

Table des matières

INTRODUCTION 
I. LA CALCULATRICE ET SON PROCESSUS DE « TRANSPOSITION DIDACTIQUE »
A. LE SAVOIR A ENSEIGNER DU POINT DE VUE DES DIDACTICIENS
1. La calculatrice : un artefact complexe
2. Propositions relatives à des expérimentations et recherches didactiques
a) Auxiliaire de calcul ou outil pédagogique ?
b) Étendre les connaissances mathématiques et favoriser la recherche autonome
c) Outil de différenciation pédagogique
B. LA CALCULATRICE ET L’EVOLUTION DES INSTRUCTIONS OFFICIELLES 1980-2016
1. Un tournant majeur en 2002
2. Un recul observé en 2008
3. Une évolution mitigée en 2015
II. LA TRANSPOSITION DIDACTIQUE INTERNE : QUEL EST LE SAVOIR ENSEIGNE ? 
A. LES REPRESENTATIONS DES PROFESSEURS
1. Méthodologie
2. Résultats
a) L’utilisation personnelle
b) Les pratiques de classe :
c) Les ressources disponibles :
B. ANALYSE DES RESSOURCES
1. Moment de l’intégration
2. Fréquence d’apparition
3. Rôles attribués à la calculatrice
C. CONCEPTIONS DES ELEVES
1. Méthodologie
2. Résultats
a) École 1
b) École 2
III. EXPERIMENTATION DIDACTIQUE : INTEGRER LA CALCULATRICE AUX APPRENTISSAGES MATHEMATIQUES EN CE2 
A. DEMARCHE GENERALE
1. Le mode d’emploi personnel
2. Les « bons calculatrice »
3. Le répertoire d’activités
B. DEVELOPPER DES COMPETENCES DE CALCUL MENTAL
1. L’activité « Plus vite que la calculette »
2. Les résultats
a) La gestion de classe
b) Les savoirs en jeu
c) L’aspect motivationnel
C. ACCOMPAGNER LA RESOLUTION D’UN PROBLEME
1. Résolution par le calcul instrumenté
2. Vérification
D. RENFORCER LA CONNAISSANCE DU SYSTEME DE NUMERATION DECIMAL
1. Dictées de nombres sur la calculatrice
2. Modifier un ou plusieurs chiffre(s) d’un nombre affiché
CONCLUSION 
IV. ANNEXES 
Annexe 1: Exemple tableau des nombres cibles d’élève
Annexe 2: Guide d’entretien
Annexe 3: Questionnaire initial, classe de CE2
Annexe 4: Résultats du questionnaire initial CE2
Annexe 5: Exemples de modes d’emploi personnels
Annexe 6: Répertoire d’activités
Annexe 7: Exemples de carnets « Plus vite que la calculette
Annexe 8: Exemples de procédures personnelles pour la résolution du problème 1
Annexe 9: Fiche issue du « Guide d’activités pour la calculatrice »
V. BIBLIOGRAPHIE

Télécharger le rapport complet