La transformée en ondelettes

La transformée en ondelettes

INTRODUCTION

L’indice de rugosité international (IRI) est devenu l’échelle standard de prédiction de l’uni de la chaussée dans de nombreux pays du monde depuis son établissement en 1986. Le ministère des Transports du Québec (MTQ) impose depuis 1994 des spécifications contractuelles sur l’IRI à la suite d’une réhabilitation ou d’une réfection d’une chaussée. Cet indice indispensable dans le système de gestion routière influe crucialement sur l’espérance de vie de la chaussée d’où il est nécessaire d’envisager des exigences d’uni plus sévères et ainsi amener tous les intervenants à mettre en oeuvre des méthodes plus talentueuses.
Selon les instructions du MTQ, les sous-lots assujettis aux exigences d’uni ne doivent pas comprendre des joints de dilatation, des dalles d’approche, des tabliers de viaduc ou de pont, des intersections, des regards, des puisards, des zones de transition (début et fin de chantier), ou autres contraintes provoquant un arrêt de la paveuse. Nonobstant ces instructions, dans le cas d’une réhabilitation de chaussée, une intervention de planage et de ressurfaçage avec absence de correction des singularités manquerait aux exigences contractuelles de l’IRI.

Objectifs

Dans ce cadre de contrat de performance basé sur l’IRI, mesure quantifiable de l’uni, il est important de développer un outil d’analyse des profils longitudinaux relevés préréhabilitation pour apprécier la réduction des distorsions lors d’une intervention de planage et de ressurfaçage. Basée sur la théorie des ondelettes pour l’analyse des profils longitudinaux à différentes échelles et le filtrage des profils longitudinaux pré réhabilitation, cette approche suggérée permettra :

a) de décrire les propriétés des profils longitudinaux à plusieurs échelles de fréquence (cycles/m) simultanément;
b) d’étudier la régularité locale des profils longitudinaux à une échelle de fréquence élevée;
c) d’identifier les sous-lots non conformes aux exigences contractuelles de l’IRI;
d) d’estimer les profils longitudinaux postréhabilitation ainsi que les valeurs de l’IRI correspondantes.

Envergure

La transformée en ondelettes présente des caractéristiques importantes pour l’analyse des profils longitudinaux. Par son association de la distance et la fréquence, basée sur l’inégalité de Heisenberg, elle permet d’extraire les informations sur une base de fonctions élémentaires concentrées en distance et fréquence. En déterminant d’une façon précise le paramètre de l’échelle, on découvrira les caractéristiques et les propriétés des singularités du profil longitudinal de la chaussée, d’où sa caractéristique nommée zoom multi-échelle.
Selon le TRRL, les défauts observables du profil longitudinal de la chaussée peuvent être classés selon cinq catégories (Mann et McManus, 1999). La distinction nette de ces cinq catégories de défauts est possible par l’intermédiaire des longueurs d’onde incluses dans chacune de ces catégories. Les défauts liés à la structure de la chaussée, et influents sur le confort et la sécurité, correspondent en général à des longueurs d’onde comprises entre 0.5m jusqu’à 35m. Cette gamme de longueurs d’onde dépend du module de rigidité de la chaussée, du temps, du climat, des propriétés du sol naturel et de la vitesse de roulement.

 La transformée en ondelettes

En 1983, Jean Morlet fut la première personne à avoir proposé le nom d’ondelette et à avoir utilisé la méthode dans l’analyse de données issues de sondages sismiques effectués pour des recherches géologiques (Truchetet, 1998). Cette méthode d’analyse est une transformation qui fournit les caractéristiques fréquentielles des signaux non stationnaires tout en conservant la localisation en vue d’une représentation ou d’une analyse espace-échelle qui est de l’intérêt de notre projet.
Dans le cadre de ce projet, nous présenterons les ondelettes correspondant à l’analyse espaceéchelle, dont les fonctions de base reposent sur une forme unique de longueur de segment proportionnelle à l’échelle spatiale de résolution liée à leur fréquence par l’inégalité de Heisenberg. La figure (2.1) représente les pavages du plan temps-fréquence pour la représentation temps-échelle (Truchetet, 1998).

 Les ondelettes à support compact

Les ondelettes de Daubechies sont caractérisées par leur support de longueur minimale par rapport au nombre de moments nuls donnés. Ces ondelettes orthogonales possèdent des supports de longueur d’au moins égaux à 2p-1, où p est le nombre de moments nuls de l’ondelette considérée (Daubechies, 1992). Le choix d’une ondelette à support court permet de déceler les irrégularités incluses dans les signaux et d’avoir des temps de calcul plus courts, mais un compromis temps-fréquence doit être déterminé.

 Mesures de régularité par ondelettes

La régularité des ondelettes de Daubechies s’accroit en augmentant le nombre de moments nuls. L’influence de cette régularité sur la reconstitution du signal à partir de ses coefficients d’ondelettes se traduit par une erreur régulière comparée à une erreur irrégulière, à énergie égale dans le cas d’ondelettes ayant un support compact de petite taille. Un meilleur compromis entre les supports d’ondelettes et les nombres de moments nuls peut être obtenu en appliquant le traitement par multiondelettes de Geronimo et al, car il utilise plusieurs fonctions d’ondelettes et fonctions d’échelle (Mallat, 2000).

 Conclusion

Ce quatrième chapitre a présenté les trois modèles préliminaires et a mis en évidence l’absence de ces modèles à permettre d’estimer les profils longitudinaux postréhabilitation ainsi que les valeurs de l’IRI. La revue des méthodes de filtrage par ondelette proposées par Donoho et Johnstone, ont permis d’identifier des techniques de filtrage simples et performantes et ont indiqué qu’un modèle d’estimation par seuillage répondra aux besoins du projet.
Pour bénéficier des avantages de chacune des méthodes présentées, une combinaison de deux techniques pourrait atteindre des résultats meilleurs qu’exploiter distinctement. Le prochain chapitre viendra expliquer en détail la méthode de seuillage par ondelette et l’estimateur par seuillage qui a été développé spécifiquement pour ce projet et qui potentiellement permettra d’estimer le profil longitudinal postréhabilitation de la chaussée après un ressurfaçage sachant son profil pré-réhabilitation.

Table des matières

1 INTRODUCTION
1.1 Problématique
1.2 Objectifs
1.3 Envergure
1.4 Méthodologie
CHAPITRE 2 REVUE DOCUMENTAIRE
2.1 Introduction
2.2 La transformée de Fourier
2.3 L’analyse temps-fréquence
2.4 La transformée de Fourier à fenêtre
2.5 La transformée en ondelettes
2.5.1 Définition d’une ondelette
2.5.2 Transformées en ondelettes
2.6 Bases d’ondelettes
2.6.1 Approximations multirésolution
2.6.2 Fonction d’échelle
2.7 Les ondelettes de Daubechies
2.7.1 Les filtres associés aux fonctions d’échelle
2.7.2 Moments nuls des ondelettes
2.7.3 Les ondelettes à support compact
2.7.4 Mesures de régularité par ondelettes
2.7.5 Décomposition et reconstruction par ondelettes
2.8 Conclusion
CHAPITRE 3 UNI DE LA CHAUSSÉE
3.1 Introduction
3.2 L’uni des chaussées
3.3 Défauts d’uni de la chaussée souple et longueurs d’ondes
3.4 L’IRI (Indice de rugosité international)
3.5 Appareils de mesure de l’uni longitudinal
3.6 Conclusion
CHAPITRE 4 LES MÉTHODES DE FILTRAGE
4.1 Introduction
4.2 Densité spectrale de puissance
4.3 Filtrage par moyenne mobile
4.4 Filtrage par bandes passantes
4.5 Filtrage par ondelette
4.5.1 Méthode de seuillage
4.5.1.1 Seuillage dur
4.5.1.2 Seuillage doux
4.5.1.3 Seuillage de Kwon
4.5.2 Choix du seuil
4.5.2.1 Seuil universel
4.5.2.2 Seuils SURE
4.6 Conclusion
CHAPITRE 5 MÉTHODOLOGIE UTILISÉE ET DIAGNOSTIC PRÉLIMINAIRE
5.1 Introduction
5.2 Présentation et analyse des pseudo-profils
5.3 Description de la méthodologie
5.3.1 Méthodes de calcul du Seuil
5.3.1.1 Méthode du seuil universel
5.3.1.2 Méthode des seuils SURE multi-échelles
5.3.1.3 Méthode des seuils multi-échelles
5.3.2 Estimation des pseudo-profils avant ressurfaçage
5.3.3 Choix de la fonction analysante
5.3.4 Estimateur par seuillage proposé
5.4 Diagnostic préliminaire
5.5 Conclusion
CONCLUSION ET RECOMMANDATIONS

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