Soutenance mémoire
En général, les méthodes employées en traitement du signal pour sélectionner les informations importantes consistent à appliquer des opérateurs invariants, dans l’espace ou dans le temps, laissant à l’égard le traitement de ces informations telles que la méthode nommée transformée de Fourier. Dans le cadre de ce projet, on présentera les transformations qui permettent de :
• calculer la transformée du signal modulé à partir de sa transformée initiale;
• déterminer les caractéristiques fréquentielles locales et globales du signal;
• reconstruire le signal à partir des coefficients de sa transformée.
La transformée de Fourier
En 1807, Joseph Fourier présenta à l’Institut de France un mémoire où il déclare que toute fonction périodique peut être décomposée en séries trigonométriques convergentes; cette idée de séries de Fourier a été complétée par la théorie des intégrales de Fourier (Mallat, 2000). L’intégrale de Fourier est un outil fondamental dans l’étude des ondelettes. Elle est utilisée pour concevoir les filtres des fonctions d’échelle et des ondelettes, qui à leur tour nous permettent de construire les fonctions d’échelle et les ondelettes.
L’analyse temps-fréquence
La construction d’une transformée basée sur des fonctions bien concentrées en temps et en fréquences, appelées atomes temps-fréquences, est arrimée par le principe d’incertitude de Heisenberg.
La transformée de Fourier à fenêtre
Pour remédier à l’inconvénient de la transformation de Fourier qu’on a mentionné auparavant et qui est lié au fait du manque d’information temporelle du signal, Dennis Gabor a introduit en 1946 les atomes de Fourier à fenêtre. La méthode consiste à pondérer le signal par une fonction fenêtre de sorte à conserver uniquement les parties d’intérêt du signal.
La transformée en ondelettes
En 1983, Jean Morlet fut la première personne à avoir proposé le nom d’ondelette et à avoir utilisé la méthode dans l’analyse de données issues de sondages sismiques effectués pour des recherches géologiques (Truchetet, 1998). Cette méthode d’analyse est une transformation qui fournit les caractéristiques fréquentielles des signaux non stationnaires tout en conservant la localisation en vue d’une représentation ou d’une analyse espace-échelle qui est de l’intérêt de notre projet. Dans le cadre de ce projet, nous présenterons les ondelettes correspondant à l’analyse espaceéchelle, dont les fonctions de base reposent sur une forme unique de longueur de segment proportionnelle à l’échelle spatiale de résolution liée à leur fréquence par l’inégalité de Heisenberg.
Les ondelettes de Daubechies
En 1987, Ingrid Daubechies a construit une famille de fonctions de base dans le cadre de l’analyse multirésolution en ondelettes (Daubechies, 1992). Ces ondelettes sont caractérisées par la compacité de leur support tout en préservant l’orthonormalité par translation de ces fonctions. L’avantage d’une fonction de base en ondelette à support compact réside dans son filtre associé qui procure une économie en coût de calcul du fait que le filtrage peut être appliqué par un simple produit de convolution court. Un des inconvénients des ondelettes de Daubechies est la propriété antisymétrique qui n’a aucune incidence sur notre cas d’étude. Le choix de l’ondelette dans une application de débruitage relève de sa capacité à produire un maximum de coefficients d’ondelettes négligeables dans les échelles fines. Cette capacité dépend de la taille du support, du nombre de moments nuls de l’ondelette et essentiellement de la régularité du signal à étudier (Mallat, 2000).
Moments nuls des ondelettes
Le nombre de moments nuls d’une ondelette est le degré ultime des polynômes orthogonaux à la fonction d’ondelette considérée. Cette caractéristique de l’ondelette entraine une décroissance des coefficients d’ondelette aux échelles les plus fines ce qui est opportun pour la compression, le débruitage et la vitesse de calcul (Mallat, 2000).
Les ondelettes à support compact
Les ondelettes de Daubechies sont caractérisées par leur support de longueur minimale par rapport au nombre de moments nuls donnés. Ces ondelettes orthogonales possèdent des supports de longueur d’au moins égaux à 2p-1, où p est le nombre de moments nuls de l’ondelette considérée (Daubechies, 1992). Le choix d’une ondelette à support court permet de déceler les irrégularités incluses dans les signaux et d’avoir des temps de calcul plus courts, mais un compromis temps-fréquence doit être déterminé.
Mesures de régularité par ondelettes
La régularité des ondelettes de Daubechies s’accroit en augmentant le nombre de moments nuls. L’influence de cette régularité sur la reconstitution du signal à partir de ses coefficients d’ondelettes se traduit par une erreur régulière comparée à une erreur irrégulière, à énergie égale dans le cas d’ondelettes ayant un support compact de petite taille. Un meilleur compromis entre les supports d’ondelettes et les nombres de moments nuls peut être obtenu en appliquant le traitement par multiondelettes de Geronimo et al, car il utilise plusieurs fonctions d’ondelettes et fonctions d’échelle (Mallat, 2000).
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Table des matières
CHAPITRE 1 INTRODUCTION
1.1 Problématique
1.2 Objectifs
1.3 Envergure
1.4 Méthodologie
CHAPITRE 2 REVUE DOCUMENTAIRE
2.1 Introduction
2.2 La transformée de Fourier
2.3 L’analyse temps-fréquence
2.4 La transformée de Fourier à fenêtre
2.5 La transformée en ondelettes
2.5.1 Définition d’une ondelette
2.5.2 Transformées en ondelettes
2.6 Bases d’ondelettes
2.6.1 Approximations multirésolution
2.6.2 Fonction d’échelle
2.7 Les ondelettes de Daubechies
2.7.1 Les filtres associés aux fonctions d’échelle
2.7.2 Moments nuls des ondelettes
2.7.3 Les ondelettes à support compact
2.7.4 Mesures de régularité par ondelettes
2.7.5 Décomposition et reconstruction par ondelettes
2.8 Conclusion
CHAPITRE 3 UNI DE LA CHAUSSÉE
3.1 Introduction
3.2 L’uni des chaussées
3.3 Défauts d’uni de la chaussée souple et longueurs d’ondes
3.4 L’IRI (Indice de rugosité international)
3.5 Appareils de mesure de l’uni longitudinal
3.6 Conclusion
CHAPITRE 4 LES MÉTHODES DE FILTRAGE
4.1 Introduction
4.2 Densité spectrale de puissance
4.3 Filtrage par moyenne mobile
4.4 Filtrage par bandes passantes
4.5 Filtrage par ondelette
4.5.1 Méthode de seuillage
4.5.1.1 Seuillage dur
4.5.1.2 Seuillage doux
4.5.1.3 Seuillage de Kwon
4.5.2 Choix du seuil
4.5.2.1 Seuil universel
4.5.2.2 Seuils SURE
4.6 Conclusion
CHAPITRE 5 MÉTHODOLOGIE UTILISÉE ET DIAGNOSTIC PRÉLIMINAIRE
5.1 Introduction
5.2 Présentation et analyse des pseudo-profils
5.3 Description de la méthodologie
5.3.1 Méthodes de calcul du Seuil
5.3.1.1 Méthode du seuil universel
5.3.1.2 Méthode des seuils SURE multi-échelles
5.3.1.3 Méthode des seuils multi-échelles
5.3.2 Estimation des pseudo-profils avant ressurfaçage
5.3.3 Choix de la fonction analysante
5.3.4 Estimateur par seuillage proposé
5.4 Diagnostic préliminaire
5.5 Conclusion
CONCLUSION
