La théorie ondulatoire de Fresnel et la dualité onde-corpuscule

Il y a deux cents ans, la majorité des savants adhérait à la théorie corpusculaire de la lumière de René Descartes et d’Isaac Newton. En 1802, Thomas Young publie son première expérience sur les interférences entre deux fentes [15]. En 1818, Augustin Fresnel publie son premier mémoire, nommé Rêveries, sur la diffraction de la lumière où il s’oppose à la théorie corpusculaire de la lumière de Newton. Mais c’est sa réponse en 1818 au concours de l’Académie des sciences de Paris qui marque la condamnation de la théorie corpusculaire de Newton et la réhabilitation de la théorie ondulatoire de Huygens. La question du concours concernait les propriétés paradoxales de la lumière; en particulier l’explication du phénomène de la diffraction était posée sous la forme suivante :

« Les phénomènes de diffraction ont été ces derniers temps l’objet de recherches de nombreux physiciens […], mais on n’a pas encore déterminé suffisamment le mouvement des rayons à proximité des corps où se produit l’inflexion. […] Il importe […] d’approfondir […] la manière physique avec laquelle les rayons sont infléchis et séparés en diverses bandes. […] Ceci a conduit l’Académie à proposer cette recherche […] en la présentant de la manière suivante : 1. Déterminer […] tous les effets de la diffraction des rayons directs et réfléchis quand ils passent près des extrémités d’un corps. 2. Déduire de ces expériences, au moyen de l’induction mathématique, les mouvements des rayons dans leur passage près des corps. » [4] (tome1, p.254-255)

C’est un sujet exprimé en langage newtonien par un jury composé de savants de premier plan : Pierre Simon Laplace, Jean-Baptiste Biot, Siméon Denis Poisson, Louis Joseph Gay-Lussac – tous newtoniens – et Dominique Arago qui est le seul à croire à la théorie ondulatoire.

Ils ont tous en mémoire les rayons proposés par Newton dans le livre III de son Traité d’Optique (figure 1) pour les cas de diffraction par un cheveu et par une ouverture circulaire. Un jeune polytechnicien, ingénieur des Ponts et Chaussées, Augustin Fresnel (figure 2), encouragé par Arago, prit part au concours et soumit un mémoire fondé sur la théorie ondulatoire de la lumière [4]. Le mémoire de Fresnel développe une théorie ondulatoire mathématique qui parait contradictoire avec la thèse corpusculaire. Il décrit un nombre impressionnant d’expériences de diffraction toutes expliquées par un même principe : les franges sont dues aux interférences des ondelettes émises par chaque point de l’écran diffractant. C’est le principe de Fresnel qui précise et généralise le principe de Huygens appelé aujourd’hui principe de Huygens-Fresnel. En étudiant attentivement le mémoire, Poisson déduit de la théorie de Fresnel « que le centre de l’ombre d’un écran circulaire opaque.. [doit]…être aussi éclairé que si l’écran n’existait pas » [4]; ce point lumineux au centre de l’ombre est pour lui une preuve de l’impossibilité de la théorie de Fresnel car contraire aux ombres de la vie quotidienne. Mais le président de la commission, François Arago décida de réaliser l’expérience. Il fit monter un disque métallique de 2 mm sur une plaque de verre avec de la cire et parvint à reproduire la tache de diffraction, ce qui acheva de convaincre la plupart des savants de la nature ondulatoire de la lumière; ils attribuèrent le prix à Fresnel au mois de novembre 1819 Cette découverte marque le début de l’acceptation de la thèse ondulatoire et du rejet de la thèse corpusculaire. C’est l’exemple même d’une experimentum crucis. Ce point lumineux, que l’on appelle aujourd’hui le point de Poisson ou point d’Arago, avait en fait été observé bien des années auparavant (1723) par Maraldi, qui n’avait pas publié ses travaux.

L’objet de cet article est de montrer qu’il est maintenant possible de compléter la réponse de Fresnel et de montrer que les lignes de flux d’énergie sont, dans le cas d’une onde monochromatique dans le vide, la réponse à la question de l’Académie des sciences :« déduire au moyen de l’induction mathématique, les mouvements des rayons dans leur passage près des corps ». Nous étudions d’abord par simulation le cas de la diffraction par une ouverture circulaire ainsi que celui de la diffraction par un disque opaque de façon à retrouver le point de Poisson-Arago, ce qui est aujourd’hui un exercice des cours de physique [12]. Puis, nous montrons sur ces deux cas que les lignes de flux d’énergie moyenne correspondent aux rayons de Newton [6]. Nous discutons ensuite l’interprétation de ces lignes de flux d’énergie comme les rayons lumineux de l’optique ondulatoire ou même comme des trajectoires de photons. En conclusion, nous évoquerons l’actualité de Fresnel et des applications du point de Poisson-Arago avec des particules massives.

Les densités de probabilité calculées par le principe de Fresnel

La densité de probabilité derrière une ouverture circulaire

Considérons une onde plane monochromatique arrivant perpendiculairement à une ouverture circulaire (respectivement un disque opaque) placée dans le plan xy, avec un écran placé plus loin, parallèlement au plan diffractant, à la distance z. Le calcul de la densité après l’ouverture circulaire est calculée à partir du principe de Fresnel. Soient (X, Y ) les coordonnées d’un point M dans le plan diffractant et (x, y) celles d’un point P d’observation sur l’écran. Si on ne tient pas compte de la polarisation et que l’on suppose que l’onde incidente est de la forme Aeikz sur l’ouverture .

Les lignes de flux d’énergie pour une onde monochromatique

Considérons un champ électromagnétique monochromatique (de fréquence ω). En un point donné de l’espace le flux instantané d’énergie S passant par unité de surface est appelé vecteur de Pointing, et on note u la densité d’énergie électromagnétique instantanée en ce point à cet instant. Comme en mécanique des fluides, S et u vérifient la loi de conservation de l’énergie ∂u/∂t + ∇S = 0. Puisque les fréquences optiques sont très grandes (ω est de l’ordre de 10¹⁵ s−1 ), on ne peut observer les valeurs instantanées de chacune de ces quantités qui peuvent osciller rapidement, mais seulement leur moyenne temporelle prise sur un intervalle qui est grand par rapport à la période fondamentale T = 2π/ω [1, 8]. Par analogie avec les lignes de courant en mécanique des fluides, on appelle lignes de flux d’énergie moyennes les lignes obtenues par l’équation :  dr/dt =< S > / < u >

où < S > est la moyenne temporelle du flux d’énergie et où < u > est la moyenne temporelle de la densité d’énergie. Pour les problèmes de diffraction, ces lignes de flux d’énergie ont été discutées depuis longtemps. En 1952, elles ont été calculées numériquement pour la diffraction à deux dimensions sur un demi-plan par Braunbeck et Laukien et rappelées dans le livre de Born et Wolf [1]. En 1976, Prosser [11] propose une interprétation de la diffraction et des interférences en termes de lignes de transport d’énergie.

Lignes de flux d’énergie pour l’expérience des fentes de Young

Complétons ces simulations numériques par la détermination des lignes de flux d’énergie pour l’expérience des fentes de Young. Réalisée en 1802 par Thomas Young, quelques années avant la théorie de Fresnel, cette expérience est la première montrant la nature ondulatoire de la lumière [15]. Considérons une onde plane monochromatique de lumière (λ = 0.5 µm) perpendiculaire à deux fentes placées dans le plan xy, et un détecteur dans un plan parallèle à la distance z. Les fentes ont une largeur d = 5 µm le long de x et infini le long de y ; 2d est la distance entre les fentes, centre à centre.

Les rayons lumineux de l’optique ondulatoire dans le vide et la dualité onde-corpuscule 

Pour des ondes monochromatiques dans le vide, ces lignes de flux d’énergie correspondent aux rayons diffractés proposés par Newton dans les Principia de 1687:

« Et les rayons en passant près des angles des corps opaques ou transparents tels que l’extrémité d’une lame de couteau, d’une pièce de monnaie, d’un morceau de verre, ou de pierre, etc.,  s’infléchissent autour de ces corps comme s’ils en étaient attirés : c’est ce qu’a découvert Grimaldi il y a longtemps en faisant entrer un rayon de lumière par un trou dans une chambre obscure, et ce que j’ai vérifié. » (Livre I, section XIV). 

Ces lignes de flux d’énergie peuvent-elles être interprétées comme des rayons de lumière ? Quand la lumière est incohérente, nous devons rejeter cette interprétation. En effet, quand la lumière n’est pas monochromatique, elle doit être considérée comme un mélange d’ondes monochromatiques comme Newton l’a montré dans ses fameuses expériences de décomposition de la lumière de l’Optique (1704). Chaque onde monochromatique de la lumière blanche donne des lignes de flux d’énergie qui dépendent de la longueur d’onde. La réponse est différente pour une onde monochromatique dans le vide. Ces lignes de flux d’énergie sont alors une généralisation des rayons de l’optique géométrique. En effet, si nous accroissons la fréquence de l’onde lumineuse vers l’infini (ce qui est équivalent à décroitre la longueur d’onde vers zéro), les lignes de flux d’énergie convergent vers les rayons rectilignes de l’optique géométrique .

Table des matières

I)INTRODUCTION
II) GENERALITES
III) METHODOLOGIE
IV) RESULTATS
V) COMMENTAIRES ET DISCUSSION
VI) CONCLUSION  
VII) REFERENCES
ANNEXES
RESUME

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