La théorie des registres de représentation sémiotique de Duval

La théorie des registres de représentation sémiotique de Duval

Importance de la visualisation et les recommandations faites par la recherche

Beaucoup de recherches soulignent l’importance de l’utilisation de la visualisation en enseignement des concepts mathématiques, car l’utilisation des représentations visuelles permet de mieux construire et facilite l’appréhension des concepts mathématique (Duval, 1993; Eisenberg & Dreyfus, 1991; Tall, 1991). Selon Eisenberg et Dreyfus (1991), il serait essentiel de développer des méthodes pédagogiques pouvant permettre le développement des habiletés de visualisation plutôt que de laisser cette tâche aux étudiants, car l’utilisation de différentes représentations (algébriques, graphiques, etc.) pour représenter un concept mathématique faciliterait l’appréhension de ce dernier (Duval, 1993). Dans cette même vision, Artigue (1999) propose aux praticiens de procéder à un changement du niveau de conceptualisation en intégrant différentes représentations aux concepts mathématiques. Selon elle, la représentation d’un concept mathématique par différents registres de représentation est une tâche indispensable pour favoriser l’apprentissage. Toutefois, il semblerait que, dans l’enseignement postsecondaire, les tâches dans le registre graphique sont déléguées aux étudiants, car l’enseignement traditionnel prend rarement en considération les activités de changement de registres de représentation et considère les représentations visuelles comme un simple moyen de communication malgré le fait qu’elles soient essentielles dans l’activité cognitive de l’étudiant (Duval, 1993). Il est important aussi de mentionner que les recherches sur le rôle des représentations ont pris un essor depuis la publication du livre sur les représentations de Janvier (1987). Ainsi, ces recherches ont incité l’émergence d’activités dans les manuels scolaires donnant une priorité à trois types de représentation : numérique, graphique et algébrique. Cependant, dans le cas de notre recherche, la représentation numérique est implicitement incluse dans la représentation algébrique. En ce qui a trait au concept de série, Alcock et Simpson (2004) ont souligné que les étudiants qui ont tendance à utiliser des images visuelles dans leurs travaux (étudiants visuels) semblent avoir plus de facilité à accéder aux objets mathématiques et sont en mesure d’utiliser adéquatement certains critères mathématiques tels que le critère de comparaison. Aussi, ces étudiants semblent avoir plus de facilité à donner un sens rigoureux au concept de série et sont souvent confiants dans leurs tâches. Ces chercheurs recommandent fortement l’encouragement des étudiants à utiliser les représentations visuelles et surtout d’établir les liens entre ces dernières et les représentations algébriques. En revanche, Alcock et Simpson (2005), qui avaient pour but d’examiner le comportement des étudiants qui travaillent avec uniquement des représentations algébriques dans le cadre de leur premier cours en Analyse, ont révélé que ces étudiants non visuels s’occupent seulement de l’utilisation des définitions et de leurs représentations algébriques; ils focalisent sur les caractères symboliques sans faire de lien avec d’autres concepts mathématiques.

L’enseignement classique et les sommes infinies

Connaissant les principales difficultés et fausses conceptions en lien avec l’apprentissage du concept de série identifiées par la recherche, il serait essentiel de savoir si elles sont prises en compte par l’enseignement au niveau collégial et de prendre conscience de l’impact de ce dernier sur l’apprentissage des étudiants. Cela nous permettra d’avoir une conjecture sur l’enseignement du concept de série au niveau collégial de manière générale.L’enseignement des séries a fait l’objet de certains travaux de recherche pionniers dans les années 80. Malheureusement, après ces travaux il n’y a pas eu de suite dans la littérature internationale. Parmi les résultats de ces travaux de recherche, Boschet (1983) affirme qu’il existe un vigoureux écart entre ce qui est transmis aux étudiants dans les cours, qui constitue un descriptif de la théorie enseignée du concept de convergence, et les problèmes à résoudre qu’on propose aux étudiants. Ces activités sont souvent réduites à l’application d’un simple algorithme. De plus, dans les manuels et le contenu des cours utilisés en enseignement des suites numériques à cette époque, il y a peu de représentations visuelles et la notion de convergence est exposée sans faire appel à des commentaires ou à des dessins, ce qui engendrait des difficultés et des confusions chez certains étudiants. Par exemple, certains d’entre eux ne traitaient pas les suites comme des fonctions bien qu’elles soient un cas particulier de fonction. Dans cette même perspective, Robert (1982) met l’accent sur le fait que l’enseignement a un impact sur l’apprentissage et précise que les exercices utilisés en enseignement à l’époque où sa recherche a été réalisée (années 80) ne permettaient pas aux étudiants de construire une notion adéquate de la convergence d’une série. Il est important de préciser que ces deux résultats de recherche datent de plus de 30 ans, ce qui ne nous permet pas de nous prononcer sur l’enseignement actuel des séries au niveau postsecondaire étant donné que ces derniers pourraient ne plus être valides.
Selon González-Martín (2010), certains professeurs au niveau collégial ignoreraient différentes représentations et applications du concept de série. Même si ces professeurs semblent maitriser le contenu mathématique sur les séries, le type de tâches offertes aux étudiants est souvent axé sur des démarches algorithmiques. Pour introduire le concept de série, la plupart des professeurs utilisent des objets mathématiques sophistiqués ou des exemples contextualisés qui ne sont pas réalistes (manger continuellement une partie d’un gâteau, puis une partie du reste et ainsi de suite, rebondissement d’une balle indéfiniment, etc.). Aussi, la plupart des tâches utilisées dans leur enseignement sont souvent axées sur l’étude des critères de convergence d’une série et le calcul des sommes partielles. Ainsi, ils utilisent rarement les applications et les représentations visuelles du concept de série et les liens entre différentes représentations sont principalement absents dans leur enseignement. Dans ce cas, ce n’est pas évident que les étudiants puissent être capables d’atteindre un niveau approfondi de conceptualisation. Cette façon de procéder risque de ne pas permettre aux étudiants de bien appréhender les concepts, car ils pourraient être mieux appréhendés lorsqu’ils sont présentés avec différents types de représentation (Artigue, 1999).
Les conséquences des pratiques d’enseignement sur l’apprentissage des étudiants ont été abordées par González-Martín (2013a, 2013b), qui indique que dans l’enseignement actuel, les difficultés principales dans l’apprentissage des séries ayant été identifiées par la recherche, semblent être ignorées par les organisations praxéologiques, dans lesquelles la majorité des tâches concernant les séries sont liées aux critères de convergence et aux applications de procédures algorithmiques. À tout prendre, cette approche pourrait éventuellement avoir de sérieuses conséquences sur l’apprentissage des étudiants. En effet, l’habileté avec la visualisation n’est pas développée chez certains étudiants et même si ces derniers mettent beaucoup de temps et d’énergie pour résoudre les tâches sur les critères de convergence, ils ne seraient pas en mesure d’interpréter des représentations visuelles en référence avec de très simples séries à étudier (González-Martín, 2014). En somme, ces résultats de recherche nous laissent croire que la stratégie d’enseignement adoptée par des professeurs dans l’enseignement actuel s’ajouterait aux nombreuses sources de difficultés identifiées par la recherche chez certains étudiants au niveau collégial. Par ailleurs, il est donc très probable que le fait qu’il y ait peu de recherche en lien avec ce concept n’inciterait pas l’enseignement actuel à changer ou à ajuster son approche qui semble être traditionnelle (González-Martín et al., 2011).

Manuels et leur importance

Le manuel scolaire représente un des artefacts les plus importants dans l’enseignement des mathématiques (Sträẞer, 2009). En ce qui a trait à la relation entre le manuel et l’enseignant, il y a un lien entre la planification choisie par l’instructeur et l’outil didactique utilisé (Sträẞer, 2009). Ainsi, l’enseignant, en consultant un manuel, pourrait ajuster, modifier ou consolider sa planification en lien avec le concept mathématique à enseigner. Ici, l’enseignant assure le rôle de médiateur entre le contenu du manuel et l’apprenant. Cette relation est appelée médiation sémiotique. Dans la médiation sémiotique, deux utilisateurs d’artefact assurent la médiation entre l’apprentissage et l’enseignement : l’enseignant qui représente l’expert dans la matière et l’apprenant qui représente le débutant. Selon Sträẞer (2009), dans la recherche en enseignement des mathématiques, il est très important d’identifier l’utilisation des schémas qui pourrait se faire par les professeurs en prêtant une attention particulière sur les activités (problèmes, exercices, etc.) qu’ils proposent aux étudiants. En effet, le choix de ces activités qui sont souvent tirées des manuels avant de les soumettre aux étudiants dépend du schéma planifié par l’enseignant. Lithner (2004) a effectué une étude approfondie sur les différents exemples apparus dans les manuels ainsi qu’une analyse de différents types de tâches en se basant sur des grilles d’analyse quantitative, mais ce travail de recherche n’est pas centré sur un seul concept mathématique, mais sur plusieurs concepts tels que les limites, les fonctions, etc. Selon elle, il y a un lien étroit entre la stratégie d’enseignement des professeurs et le contenu des manuels utilisés autant qu’il y a un lien entre le raisonnement adopté par l’étudiant dans sa stratégie de résolution de problèmes en mathématiques et le type de problèmes qui apparaissent dans les manuels. Ainsi, cet outil didactique pourrait permettre à la recherche d’avoir des informations significatives sur l’enseignement et l’apprentissage d’un concept mathématique quelconque. Lithner (2004) a identifié trois types d’exercices tirés des manuels analysés en se basant sur la stratégie de résolution que ces derniers imposent aux étudiants et qui sont les suivants :
a. Identifier une similarité (IS) : identifier un exemple similaire pour retrouver la solution.
b. Raisonnement local plausible (LPR) : Le choix de stratégie est fondé sur des ressemblances identifiées entre des composants dans l’exercice et les composants dans une situation dans le texte.
c. Raisonnement global plausible (GPR) : Le choix de stratégie est principalement fondé en considérant les propriétés mathématiques intrinsèques des composantes de l’énoncé d’un exercice.
Cette analyse a permis de souligner que la plupart des exercices dans les manuels analysés sont de type IS qui peuvent être principalement résolus en fouillant dans des résolutions d’exercices similaires à ces derniers afin d’appliquer des algorithmes et des méthodes déjà utilisées dans d’autres situations. Cette façon de faire pourrait influencer sur l’apprentissage des étudiants en les empêchant de mieux comprendre le concept mathématique en question

Table des matières

Introduction
1. Problématique
1.1 Le concept de somme infinie
1.2 Importance des séries dans les domaines mathématique et extramathématique
1.3 Difficultés et fausses conceptions
1.4 Importance de la visualisation et les recommandations faites par la recherche
1.5 L’enseignement classique et les sommes infinies
1.6 Manuels et leur importance
2. Cadre conceptuel
2.1. La théorie des registres de représentation sémiotique de Duval
2.1.1. Aspects principaux de la théorie des registres de représentation sémiotique de Duval.
2.1.2. Les systèmes de représentation
2.1.3. Les représentations sémiotiques
2.1.4. Les registres de représentation
2.2. Sémiosis et registres de représentation
2.2.1. Exemples de traitement
2.2.2. Exemple de traitement en lien avec le concept de série
2.2.3. Exemple de conversion et de représentations sémiotiques
2.2.4. Exemples de conversion et de représentations sémiotiques en lien avec le concept de série
2.3. Noésis : Les règles de la conversion et de la coordination entre les registres
2.4. Applications du concept de série
2.5. Objectifs de recherche
3. Méthodologie
3.1. Type de recherche
3.2. Échantillon et choix de manuels comme outil didactique à analyser
3.3. Éléments à observer dans les manuels et grilles d’analyse
3.3.1. Classification des représentations visuelles
3.3.2. Utilisation des registres graphique et algébrique dans les exemples
3.3.3. Applications du concept de série et type d’activités dans les manuels
3.4. Grille récapitulative
4. Analyse et interprétation des données
4.1. Analyse individuelle par manuel
4.2. Analyse récapitulative
4.3. Analyse cluster
4.3.1. La classification hiérarchique
4.3.2. Développement de l’arbre hiérarchique
5. Conclusions
Bibliographie

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