La théorie des ensembles ﬂous

La théorie des ensembles ﬂous

Opérations sur les sous-ensembles ﬂous

Proposition 2.3.1. On déﬁnit en théorie des sous-ensembles ﬂous les mêmes notions qu’en théorie des ensembles classique .pour deux sous-ensembles ﬂous A et B de l’ensemble X : Egalité :A = B ssi ∀x ∈ X,fA(x) = fB(x). Inclusion :A ⊂ Bssi∀x ∈ X,fA(x) ≤ fB(x) . on peut construire par leur fonction d’appartenance : ∩ et ∪ Intersection :A∩B est déﬁni par : fA∩B −→ min(fA(x),fB(x)) . Union :A∪Best défini par : fA(x) 7−→ max(fA(x),fB(x)). La fa¸con dont cela est fait est de reconnaître que les ensembles booléens peuvent être considérés comme un cas particulier d’ensembles ﬂous ou` les fonctions d’appartenance sont un et zéros et que l’opérateur et est le minimum de A et B et l’opérateur ou est le maximum de A et B .Donc l’intersection des ensembles une fonction d’appartenance avec des valeurs non nulles entre 25 et 30, surlignées en rouge et l’union des ensembles a des valeurs entre 20 et 40. Nous pouvons voir a` partir de ces diagrammes que l’intersection des deux fonction d’appartenance est une fonction d’appartenance dont la valeur pour chaque valeur de température est le minimum des valeurs de chaque fonction d’appartenance `a chaque température

Normes et co-normes triangulaires

Déﬁnition 2.5.1. Une norme triangulaire (t-norme) est une application T : [0,1]×[0,1] −→ [0,1] telle que : i)T(x,y) = T(y,x) (commutativit´e). ii)T(x,T(y,z)) = T(T(x,y),z)(associativit´e). iii)T(x,y) ≤ T(z,t)six ≤ zety ≤ t (monotonie). iv)T(x,1) = x(1 est élément neutre).
L’opérateur min satisfait ces propri´et´es. Toute t-norme est un opérateur d’intersection, ie on peut déﬁnir A∩T B (en accord avec la proposition 2.3.1 ) par sa fonction d’appartenance de la mani`ere suivante : ∀x ∈ X,fA∩T B(x) = T(fA(x),fB(x)).
Déﬁnition 2.5.2. Une conorme triangulaire (t-conorme) est une application ⊥: [0,1]×[0,1] −→ [0,1]telle que : i) ⊥ (x,y) =⊥ (y,x)(commutativit´e). ii)⊥ (x,⊥ (y,z)) =⊥ (⊥ (x,y),z)(associativité). iii)⊥ (x,y) ≤⊥ (z,t) si x ≤ z et y ≤ t (monotonie). iv)⊥ (x,0) = x (0 est ´el´ement neutre).
L’opérateur max satisfait ces propriétés. Toute t-conorme est un opérateur d’union, ie on peut déﬁnir A∪⊥ B (en accord avec la proposition 2.3.1 ) par sa fonction d’appartenance de la manière suivante :
∀x ∈ X,fA∪⊥B(x) =⊥ (fA(x),fB(x)).
Proposition 2.5.1. On peut passer d’une t-norme à une t-conorme (et vice versa) par une négation n : [0,1] −→ [0,1] telle que n(0) = 1,n(1) = 0, et n(x) ≤ n(y) si x ≥ y,, de la fa¸con suivante : n(T(x,y)) =⊥ (n(x),n(y)).

Quantités ﬂoues sur R

Déﬁnition 2.7.1. On dit que F est un sous-ensemble ﬂou convexe de R si : ∀(x,y) ∈R×R,∀z ∈ [x,y],fF(z) > min(fF(x),fF(y)). Proposition 2.7.1. Le sous-ensemble ﬂou F est convexe si et seulement si toute α−coupe de F est une partie convexe de R.
Déﬁnition 2.7.2. une quantité ﬂoue Q est un sous-ensemble ﬂou quelconque de la droit réele généralement normalisé (∃x ∈ X tel que µQ(x) = 1).
Comme tous ensemble ﬂou,une quantité ﬂoue peut se représenter soit par sa fonction d’appartenance µQ ou par ses α−coupes, Qα = {x ∈R : µQ(x) > α}pour α ∈ [0,1] . Q est appelée quantité ﬂoue .Une quantité ﬂoue est souvent interpr´et´ee comme une distribution de possibilit´e sur les valeurs qu’une variable x peut prendre. Elle repr´esente alors soit un ensemble des valeurs préférées pour x, soit un ensemble des valeurs plus ou moins plausibles, si la valeur de x est mal connue et non controˆlable. Une quantité ﬂoue peut présenter une, plusieurs, voire une inﬁnit´e des valeurs modale. L’absence de normalisation de la distribution de possibilit´e signiﬁerait que la variable x peut prendre des valeurs en dehors du domaine considéré, on peut ne pas avoir de valeur du tout Exemples : dans le cas ou` x représenterait la durée estimée d’un voyage qui ne sera peut-ˆetre pas entrepris. d’une manière générale , la hauteur d’une quantité ﬂoue est déﬁnie comme le maximum des degrés d’appartenance de cette quantité, h(Q) = sup x∈X µQ(x). Elle peut ˆetre vue comme une mesure de coh´erence interne

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Table des matières

1 Rappels sur la théorie des ensembles classique
1.1 Les ensembles
1.2 Inclusion, Union , Intersection, Compl´ementaire
1.3 Produit cart´esien
1.4 La th´eorie des ensemles classique
2 La théorie des ensembles ﬂous
2.1 Généralités
2.2 Notions caract´eristique
2.3 Opérations sur les sous-ensembles ﬂous
2.4 Les α-coupes
2.5 Normes et co-normes triangulaires
2.6 Relations ﬂoues
2.7 Quantités ﬂoues sur R
3 Le raisonnement en logique ﬂoue
3.1 Les implications ﬂoues
3.2 Les propositions ﬂoues
3.3 Conjonction de proposition ﬂoue
3.4 la méthode de mamdani
3.5 Un exemple : le pendule invers´e
3.6 Références
Bibliographie