Soutenance mémoire
Les Programmes d’enseignement du cycle des apprentissages fondamentaux (cycle 2)
Avant de s’intéresser au contenu des Programmes, rappelons que l’appellation « cycle des apprentissages fondamentaux » recouvre deux réalités sémantiques : jusqu’en juin 2016, le cycle 2 prenait fin à l’issue du CE1, alors qu’il s’étale désormais du CP jusqu’au CE2.
La géométrie dans les Instructions Officielles de juin 2008
Dans les textes de juin 2008, le domaine géométrique englobe des connaissances en termes « d’orientation et de repérage » (M.E.N., 2008, p.18), deux aspects distincts mais complémentaires. Il s’agit, en ce qui nous concerne, de reconnaitre et décrire des figures planes, en utilisant « des instruments et des techniques pour reproduire ou tracer » ces figures,et un « vocabulaire spécifique ». Les instruments constituent alors des outils d’étude, mais ils ne sont pas l’unique entrée didactique : la construction peut être seconde, et n’intervenir qu’après une situation problème, qui donnerait plus de sens à ces propriétés.
La géométrie dans les Instructions Officielles de novembre 2015
Les textes de 2015 s’inscrivent dans la continuité des Programmes d’enseignement de l’école maternelle, en reliant l’enseignement géométrique à d’autres domaines. L’importance de l’acquisition progressive de termes précis est rappelée, afin de permettre aux élèves d’atteindre les attendus de fin de cycle qui sont les suivants :
– (Se) repérer et (se) déplacer en utilisant des repères et des représentations.
– Reconnaitre, nommer, décrire, reproduire quelques solides.
– Reconnaitre, nommer, décrire, reproduire, construire quelques figures géométriques.
– Reconnaitre et utiliser les notions d’alignement, d’angle droit, d’égalité de longueurs, de milieu, de symétrie.
L’étude des formes géométriques
Les définitions données ci-dessous le sont pour les besoins de notre étude, mais ne seront pas formulées ainsi auprès des élèves. Il s’agira alors de construire un « répertoire de mots » (Dias, 2012, pp.68-70), composé de noms de figures, de relations géométriques, etc. Ce travail n’est possible qu’après utilisation des termes en situation porteuse de sens, de manière progressive, pour contourner l’obstacle de la spécificité et de la polysémie de ces mots.
Quelques définitions dans le plan
Les définitions des figures géométriques mobilisées – polygone, quadrilatère, rectangle, carré, triangle – sont empruntées à M. Fénichel et al. (2004) et proposées en annexe n°1.
Ces figures dites simples peuvent être obtenues en faisant le contour d’un gabarit, tandis qu’une figure dite composée nécessitera l’usage de plusieurs gabarits (Mangiante-Orsola, Perrin-Glorian, 2013), ainsi que le détail des relations qui les relient.
Relations spatiales
Les connaissances spatiales, définies par R. Berthelot et M.-H. Salin (2000, in Fénichel et al., 2004), sont celles « qui permettent à un sujet un contrôle convenable de ses relations à l’espace sensible ». Elles sont présentes chez les élèves, avant l’enseignement de la géométrie, mais font l’objet de séquences d’apprentissages structurées à l’école maternelle (Berthelot et Salin, 1993-1994). Les problèmes spatiaux sont relatifs à l’espace et sont résolus dans l’espace physique ; la solution est validée par comparaison entre résultat attendu et résultat obtenu (Fénichel et al., 2004).
La place du repérage dans l’espace dans les Programmes
Les élèves de cycle 2 enrichissent leurs connaissances et compétences en matière de repérage spatial, le plus souvent en situation vécue, suite au travail effectué à l’école maternelle. Ainsi, les situations proposées par l’enseignant les amènent à « situer des objets ou des personnes les uns par rapport aux autres ou par rapport à d’autres repères » (M.E.N., 2015 b, p.83), en
utilisant un vocabulaire positionnel adapté : « gauche, droite, au-dessus, en dessous, sur, sous, devant, derrière, près, loin », etc.
Positions spatiales et choix langagiers
Ce vocabulaire positionnel fait partie des connaissances à acquérir par les élèves, car comme le montre B. Victorri dans son étude (2003), les relations spatiales peuvent être exprimées par le langage. Généralement, on utilise des prépositions qui revêtent, entre autres, un sens spatial. L’auteur parle de « préposition spatiale » : sur, sous, dans, etc. (B. Victorri, 2003). Le langage employé est alors un signe de l’activité cognitive conduite. Toutefois, ce vocabulaire a des limites, puisqu’il est souvent polysémique. Il permet surtout d’exprimer des « relations topologiques », or les élèves sont amenés à sortir d’une perception orientée selon l’espace de la feuille pour dégager les propriétés des figures, quelle que soit leur orientation. Il conviendra donc de prendre en compte ces mots à leur juste valeur.
Relations géométriques
Les connaissances géométriques, quant à elles, permettent de résoudre des problèmes, et elles doivent être enseignées pour que les élèves se les approprient (Berthelot et Salin, 1993-1994).
Elles sont plus organisées que les connaissances spatiales, car faites d’axiomes reliés logiquement. Les problèmes géométriques admettent une solution mathématiquement prouvée, dans un espace conceptualisé et non plus physique (Fénichel et al., 2004). Les propriétés géométriques sollicitées s’appuient sur des relations spatiales visibles, vérifiables perceptivement, puis par mesurage instrumenté, et enfin par déduction.
Sommets et côtés communs
Perceptivement, les élèves peuvent identifier le fait que des formes se touchent par une pointe ou qu’elles sont collées l’une contre l’autre. D’un point de vue géométrique, il sera dit de deux figures A et B qu’elles admettent un sommet commun si l’un des sommets de A constitue également un sommet de B.
De même, deux figures C et D ont un côté commun si, et seulement si, un côté de C constitue également un côté de D. On dira donc que C et D ont un côté commun lorsque ces deux figures ont deux sommets en commun.
Egalités de longueurs
Des longueurs égales peuvent être perçues, mais la vérification avec un outil de mesurage est utile pour le confirmer. Ainsi, on dira qu’une figure E a des côtés de même longueur si ces côtés admettent la même mesure. De même, admettre que les figures E et F ont un côté de même longueur signifie que la mesure d’un côté de la figure E est strictement identique à la mesure d’un côté de la figure F.
Alignement
La notion d’alignement est liée à celle de droite : une droite est une ligne non limitée, qui passe par une infinité de points. Les points qui appartiennent à une même droite sont dits alignés. Nous pourrons donc considérer que les côtés de deux figures G et H sont alignés s’il existe une seule droite reliant leurs sommets consécutifs.
Perpendicularité et angle droit
Tout angle se définit comme étant une portion de plan limitée par deux droites.
L’angle droit a pour particularité qu’il mesure exactement 90°. On dira de deux droites qu’elles sont perpendiculaires si, et seulement si, elles se coupent en formant un angle droit. Dire que les côtés de deux figures I et J sont perpendiculaires, ou qu’ils forment un angle droit, signifie donc que les droites portées par leurs côtés sont perpendiculaires.
Manipuler : des outils pour construire des connaissances mathématiques
Plusieurs auteurs s’accordent pour reconnaitre l’importance de cette manipulation, à la fois « déclencheur de réflexion » et « validation de réflexion » (Fénichel et al., 2004).
C. Berdonneau (2006 b) définit deux phases qui permettent de construire un concept mathématique : une « phase d’action » et une « phase de représentation mentale ». C’est lors de la première phase qu’intervient la manipulation qui permet à l’élève d’interagir avec son environnement, pour en retirer des enseignements et se construire une image mentale.
Quel rôle pour l’enseignant ?
Le rôle de l’enseignant est donc de proposer aux élèves ce « milieu », au croisement des savoirs que l’enseignant maitrise et des connaissances que les élèves vont acquérir, grâce à un dispositif particulier, à du matériel choisi avec soin, à des consignes précises permettant aux élèves de se confronter à une situation-problème et à des interactions.
Les interactions entre l’élève et le milieu d’apprentissage
Définitions : manipulation, manipuler, expérimenter, quelles différences ?
Une première définition de la manipulation indique qu’il s’agit d’un « exercice au cours duquel des élèves, des chercheurs, etc., réalisent une expérience ; cette expérience ellemême » (Larousse, 2008, p.616). Il s’agit, plus précisément, de l’ « action de soumettre quelque chose à des opérations diverses, en particulier dans un but de recherche ou d’apprentissage » (Larousse en ligne). D’un point de vue didactique, C. Berdonneau (2006 b, p.1) définit la manipulation comme une « activité de l’élève » caractérisée par la petite taille des objets manipulés, de telle sorte que l’enfant puisse facilement les déplacer et agir sur eux ; les gestes effectués ont un but, ils « sont guidés par sa pensée » et permettent d’apprendre. Manipuler est synonyme de déplacer, toucher, palper, actionner, utiliser, tandis qu’expérimenter implique de contrôler, essayer, tester, vérifier, éprouver. Cette distinction de T. Dias (2012) rappelée, il me semble intéressant de préciser que cet espace « expérimental » est justement à la rencontre entre espace vécu et espace géométrique : expérimenter dans le concret, pour parvenir à une abstraction conceptuelle, tel est l’enjeu, le défi pour l’enseignant et ses élèves. La manipulation qui nous intéresse revêt donc un aspect expérimental.
Les apports de la manipulation
Pour l’enseignant
La manipulation fournit à l’enseignant un outil de repérage de l’activité des élèves, tout en permettant une mise au travail plus facile et rapide (Berdonneau, 2006 a). Pour cette auteure, le nombre d’exemples, supérieur aux possibilités d’une version papier-crayon, aide à la gestion de l’hétérogénéité et donne des outils de résolution supplémentaires aux élèves en difficulté. De plus, les situations manipulatoires informent sur le niveau de vigilance des élèves, sur le raisonnement mis en œuvre et sur le degré d’acquisition des notions (Berdonneau, 2006 b). Le temps accordé à la manipulation est donc un moment précieux pour l’enseignant, puisqu’il lui permet d’accéder à l’état des connaissances de ses élèves (Dias, 2012). Du point de vue du professionnel, la manipulation constitue un outil d’évaluation formative fort instructif. Toutefois, il faut veiller à analyser les difficultés rencontrées par les élèves : il peut parfois s’agir d’un problème de motricité manipulatoire, et non d’une mauvaise conceptualisation de la notion. A ce stade d’analyse, le langage complétera alors utilement l’observation de la manipulation, en permettant de verbaliser ce qui est fait et de le relier aux connaissances en jeu (Victorri, 2003 ; Mangiante-Orsola, Perrin-Glorian, 2013).
Pour les élèves
S. Dessertine (in Dias, 2012) voit dans l’investigation manipulatoire « un temps de recherche consécutif à un questionnement qui aboutit à la construction d’une connaissance », et débouche sur un temps de communication. Dans une situation de manipulation et de recherche, les élèves sont alors acteurs de leurs apprentissages, ils recherchent des solutions aux problèmes qui leur sont posés. Des bénéfices de la manipulation qui sont repris par C. Berdonneau (2006 a, 2006 b), pour qui les supports à manipuler sont une aide pour élaborer des représentations mentales. Ils permettent également, d’après elle, de canaliser l’attention des élèves, de centrer leurs efforts sur l’essentiel des apprentissages, de donner la possibilité d’essais multiples, sans laisser de trace à long terme des erreurs, tout en favorisant l’entrée progressive dans l’abstraction. Quel que soit l’âge des élèves, cette manipulation répond à un besoin de l’enfant, celui d’explorer par les sens, et l’aide à évaluer la qualité de son travail.
La manipulation en géométrie, avec quel matériel ?
Le choix du matériel est une étape importante, c’est une variable didactique qui conditionne les procédures et réponses des élèves. L’atout majeur des formes à manipuler tient dans la variété des représentations graphiques qu’elles permettent, éloignant ainsi le risque d’image mentale erronée due à une présentation systématiquement prototypique. Ces objets concrets doivent cependant rester des outils, sans être une finalité d’apprentissage : leur manipulation permet l’élaboration de concepts, avant que leur usage ne soit plus indispensable car la solution doit être mathématique et non pratique (Berdonneau, 2006 a ; Fénichel et al., 2004).
Les instruments géométriques : outils ou contraintes ?
Les instruments géométriques – règle, équerre, compas, gabarits, etc. – sont bien plus fiables que la seule perception pour vérifier des hypothèses sur une forme (A. Norfalise, Y. Matheron, 2009). Ils s’intègrent dans une approche instrumentée de la géométrie, et permettent une transition vers la géométrie déductive enseignée à partir du collège.
Toutefois, T. Dias (2012) attire notre attention sur l’état du matériel à disposition et la nécessité d’adapter les attentes, car ces instruments géométriques impliquent une maitrise suffisante de la motricité, un contrôle du geste. Son questionnement est partagé par C. Berdonneau (2007), qui accorde, elle aussi, un rôle d’aide au raisonnement au dessin, mais questionne la place du tracé à main levée ou instrumenté. Le choix des instruments, conventionnels ou non, est alors une variable à ne pas négliger (Duval, Godin, 2005).
Classes de problèmes et situations géométriques propices à la manipulation
Faire acquérir des connaissances géométriques à l’école élémentaire, c’est offrir aux élèves la possibilité de mener de nombreuses expériences, de construire leurs connaissances en agissant sur des objets de la réalité, pour donner sens au vocabulaire employé (Dias, 2012). L’auteur distingue ainsi trois étapes dans le cheminement, d’après le modèle de Raymond Duval.
Reproduire ou construire des figures géométriques
Les tâches de reproduction de figures font partie des compétences à faire acquérir aux élèves. Toutefois, il convient de bien expliciter les attentes, et de concevoir des situations d’apprentissages progressives. Les outils à disposition conditionneront les procédures possibles et le résultat obtenu : le degré de difficulté et les objectifs visés ne sont pas les mêmes entre les tâches de reproduction avec du matériel mobile ou un gabarit, la construction partielle avec gabarit incomplet ou la construction à partir d’instruments conventionnels.
Exemple des situations de communication ou « situations de messages »
Lors d’activités de type « jeu de messages », un élève doit élaborer un message qui décrit une figure qu’il a à disposition, pour permettre à un autre élève de retrouver cette figure parmi d’autres ou de la reconstituer. La validation se fait par comparaison, directe ou indirecte, entre le modèle initial et la réalisation finale.
Une situation, deux rôles
Les deux rôles sont tenus alternativement ou successivement par les élèves, afin qu’ils se retrouvent à la fois en situation de construction du message et en situation de décodage.
Etre l’émetteur du message : concevoir
La première phase d’action consiste à concevoir le message : l’élève émetteur décrit verbalement, à l’oral ou à l’écrit, la figure. La description de figures planes est une activité difficile et complexe, d’après C. Berdonneau (2007), car elle mobilise plusieurs activités cognitives : il faut d’abord identifier les caractéristiques, pour ensuite choisir le vocabulaire adapté (Fénichel et al., 2004), et donc faire le lien entre les propriétés d’un objet manipulable ou, du moins, visible, et les mots. Autrement dit, l’émetteur doit « prendre en compte certains objets de l’espace sensible […] et sélectionner des éléments pour les communiquer » (Noirfalise, Matheron, 2009, pp.30-32). Dans le cas de figures complexes, il est essentiel de dépasser la vision globale, pour percevoir les sous-figures utilisées : un message « La figure ressemble à une maison. » deviendra alors « La figure est composée d’un carré et d’un triangle. », par exemple. Les élèves doivent donc être capables de reconnaitre visuellement et d’isoler mentalement des figures simples dans une figure complexe (Berdonneau, 2007).
Etre le récepteur du message : décrypter et interpréter
Dans la deuxième phase d’action, les élèves sont récepteurs: ils doivent prendre connaissance du message émis, le comprendre et agir en fonction de celui-ci, c’est-à-dire « mettre en correspondance les éléments qu’il[s] reçoi[ven]t, issus d’une modélisation, avec la réalité sensible » (Noirfalise, Matheron, 2009, pp.30-32). Qu’il s’agisse de reconnaitre ou de reconstituer la figure, cela implique alors de prendre en compte d’autres figures et de comprendre le vocabulaire pour faire une analyse perceptive et / ou analytique de la forme (Fénichel et al., 2004). Le recours aux instruments permet de vérifier les propriétés indiquées.
Quel contenu pour les messages ?
Comme le rappelle C. Berdonneau (2007), le contenu des messages va différer selon la tâche demandée : selon qu’il faudra identifier la figure parmi d’autres, ou la représenter, les informations fournies ne seront pas les mêmes.
Identifier l’objet décrit
Si l’objectif est de retrouver la figure décrite parmi d’autres, le message doit tenir compte de l’objet cible et des autres possibilités, afin de transmettre des critères discriminants efficaces.
On décrira alors la figure selon ce qu’elle est, mais aussi en fonction de ce qu’elle n’est pas par rapport aux autres réponses proposées. A. Noirfalise et Y. Matheron (2009) résument cela de la manière suivante : il faut trier les informations du monde sensible, pour ne donner que celles qui sont essentielles.
Représenter, construire l’objet décrit
A l’inverse, si l’objectif est de construire la figure décrite, l’analyse de l’émetteur doit anticiper la construction pour ordonner les informations : nom de la catégorie, positions des figures, propriétés, étapes de construction. La figure est décrite pour elle-même ; les acteurs doivent porter leur attention sur les propriétés des figures et se détacher d’une reconnaissance globale perceptive (Berdonneau, 2007). Dans ce type d’activité, la présence d’un objet géométrique visible et manipulable sert alors de modèle pour dégager les propriétés et palier des difficultés motrices dans la construction.
Perspectives d’amélioration
Afin de remédier à certaines difficultés énoncées ci-dessus, il me semblerait pertinent de prévoir des étapes supplémentaires avec, entre les séances 1 et 2, un jeu de portrait incluant des assemblages : les élèves retrouveraient le bon assemblage parmi d’autres, assez proches, à partir d’un message correct. Il serait également utile d’introduire d’autres assemblages confrontant les élèves à l’imprécision d’un message du type « Je suis composé de deux triangles rectangles. Les formes qui me composent ont 1 côté en commun et 2 sommets en commun. » Ici, l’assemblage cible formait un rectangle, retrouvé parfois implicitement. Le choix des assemblages étant une variable didactique importante dans cette situation, on aurait pu proposer deux triangles rectangles ayant en commun un autre côté que l’hypoténuse, une disposition moins intuitive chez les élèves.
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Table des matières
INTRODUCTION
PARTIE THEORIQUE
ÉTAT DE L’ART
1. APPROCHE HISTORICO-PRATIQUE DE LA GEOMETRIE
1.1. La géométrie dans l’Antiquité
1.1.1. Les prémices de la géométrie
1.1.2. Etymologie d’une science
1.1.3. L’âge d’or grec
1.2. La géométrie au croisement des civilisations
1.2.1. Les apports de l’Orient
1.2.2. En Occident : la Renaissance mathématique
1.2.3. Vers une géométrie moderne
2. LA STRUCTURATION GEOMETRIQUE CHEZ L’ENFANT
2.1. L’enfant et la relation à l’espace : les stades de Piaget
2.1.1. L’espace vécu perceptif : le stade sensori-moteur
2.1.2. L’espace perçu représentatif : le stade préopératoire
2.1.3. L’espace conçu projectif : le stade des opérations concrètes
2.2. Les espaces de Brousseau
2.2.1. Le micro-espace
2.2.2. Le méso-espace
2.2.3. Le macro-espace
3. DE LA GEOMETRIE A SON ENSEIGNEMENT A L’ECOLE
3.1. L’entrée de la géométrie parmi les disciplines scolaires
3.1.1. Les débuts de l’enseignement géométrique
3.1.2. L’apparition de la géométrie dans les Instructions Officielles
3.1.3. La circulaire de juin 1986 sur les « Activités géométriques, compléments aux Programmes et Instructions du 13 mai 1985 »
3.2. Les attentes institutionnelles à l’école maternelle
3.2.1. Le choix de la terminologie
3.2.2. Une approche perceptive de la géométrie
3.3. Les attentes institutionnelles à l’école élémentaire
3.3.1. Espace et géométrie, concret et abstrait : quels enjeux d’enseignement ?
3.3.2. Une géométrie instrumentée
3.4. Les Programmes d’enseignement du cycle des apprentissages fondamentaux (cycle 2)
3.4.1. La géométrie dans les Instructions Officielles de juin 2008
3.4.2. La géométrie dans les Instructions Officielles de novembre 2015
3.4.3. Eléments de géométrie plane
4. L’ETUDE DES FORMES GEOMETRIQUES
4.1. Quelques définitions dans le plan
4.2. Relations spatiales
4.2.1. La place du repérage dans l’espace dans les Programmes
4.2.2. Positions spatiales et choix langagiers
4.3. Relations géométriques
4.3.1. Sommets et côtés communs
4.3.2. Egalités de longueurs
4.3.3. Alignement
4.3.4. Perpendicularité et angle droit
5. MANIPULER : DES OUTILS POUR CONSTRUIRE DES CONNAISSANCES MATHEMATIQUES
5.1. Construire un environnement d’apprentissage
5.1.1. Définition du « milieu »
5.1.2. Quel rôle pour l’enseignant ?
5.2. Les interactions entre l’élève et le milieu d’apprentissage
5.2.1. Définitions : manipulation, manipuler, expérimenter, quelles différences ?
5.2.2. Les apports de la manipulation
5.2.2.1. Pour l’enseignant
5.2.2.2. Pour les élèves
5.3. La manipulation en géométrie, avec quel matériel ?
5.3.1. Le tangram
5.3.2. La « moisson des formes »
5.3.3. Les instruments géométriques : outils ou contraintes ?
6. CLASSES DE PROBLEMES ET SITUATIONS GEOMETRIQUES PROPICES A LA MANIPULATION
6.1. Trier et classer
6.2. Reproduire ou construire des figures géométriques
6.3. Exemple des situations de communication ou « situations de messages »
6.3.1. Une situation, deux rôles
Les deux rôles sont tenus alternativement ou successivement par les élèves, afin qu’ils se retrouvent à la fois en
situation de construction du message et en situation de décodage.
6.3.1.1. Etre l’émetteur du message : concevoir
6.3.1.2. Etre le récepteur du message : décrypter et interpréter
6.3.2. Quel contenu pour les messages ?
6.3.2.1. Identifier l’objet décrit
6.3.2.2. Représenter, construire l’objet décrit
ÉLABORATION DE LA PROBLEMATIQUE
HYPOTHESES
ETUDE
METHODE
Participants
Situation de communication
Matériel
Procédure
RESULTATS
1. Reconnaissance de figures géométriques planes simples
2. Encodage des messages décrivant des figures complexes
3. Décodage des messages décrivant des figures complexes
DISCUSSION
Re-contextualisation
Analyse des résultats et mise en lien avec les recherches antérieures
Limites et perspectives
CONCLUSION
BIBLIOGRAPHIE
TABLE DES ANNEXES
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